La simetria en Matemáticas y en Física

Simetrías

En la vida cotidiana llamamos simétricos a los objetos que son idénticos a ambos lados, izquierda y derecha; así, el cuerpo humano es simétrico: tanto a la izquierda como a la derecha tenemos brazos y piernas. Si trazamos un eje imaginario que pase por el centro de la cabeza, a ambos lados del eje somos aproximadamente iguales. Las palabras palíndromas tienen la misma lectura de izquierda a derecha y por tanto también son simétricas; "Dábale arroz a la zorra el abad" es el más conocido.

En matemáticas definimos la simetría como la invariáncia frente a una transformación; las transformaciones de los ejemplos anteriores consisten en realizar un giro de 180 grados en torno al eje de simetría: són las simetrías izquierda-derecha. Hay muchas más simetrías; por ejemplo si pensamos en el cuadrado de vértices ABCD en el plano eucĺídeo, vemos que los giros alrededor de cualquiera de los cuatro ejes ac, db, AC, BD lo dejan invariante. Fijándonos bien, veremos que, además, hay otros cuatro giros en torno al centro del cuadrado que también son invariantes, correspondiendo a los ángulos de giro 90, 180, 270 y 360 grados. En total tenemos pues 4 + 4 = 8 transformaciones de invariancia para el rectángulo.

Clasificando simetrías

Pasando de las descripciones anteriores a la generalización, decimos que una simetría es un conjunto de giros g y simetrías axiales s: {g1, g2,..., gn, s1, s2, ..., sm}. Así, el cuadrado pertenece a la simetría {g1, g2, g3, g4, s1, s2, s3, s4}. De hecho el giro g4 de 360 grados es especial porque deja a los vértices en la posición original, así que le damos un papel distinto: es el giro “neutro”, denominado g0.

Fijémonos además que las transformaciones se pueden concatenar, dando lugar a otras transformaciones; por ejemplo podemos aplicar una simetría axial de 180 grados respecto al eje ac seguido de un giro de 90 grados respecto al centro. Si partimos de la posición ABCD, pasaremos a la posición BADC y acabaremos en CBAD. Simbolicemos la concatenación de transformaciones con el símbolo “●”, de forma que nuestro ejemplo se escribiría g1● s2 (en este orden: primero escribimos la última transformación). 

Se plantea una pregunta: ¿la transformación g1● s2 equivale a alguna de las transformaciones “elementales” {g1, g2, g3, g0, s1, s2, s3, s4}? Pues sí: equivale a la simetría axial en torno al eje BD, que denominamos s4. Escribiremos g1● s2 = s4. Siempre tendremos que la concatenación de transformaciones producirá otra transformación elemental. 

En tres dimensiones se incrementan el número de posibles transformaciones de simetría. Por ejemplo, para un cubo tenemos tres giros por los ejes que pasan por los centros de las caras, cuatro giros alrededor de los ejes que pasan por los vértices, y seis giros alrededor de los ejes que pasan por los puntos medios de las aristas; un total de 24 rotaciones.

Pasemos a otras figuras más complejas. ¿Cuantos transformaciones tendrá el octaedro? Resultan ser las mismas que las del cubo; esta coincidencia se da en muchas otras figuras, como el dodecaedro y el icosaedro (120 transformaciones) y nos da una indicación de la utilidad de estudiar las transformaciones de simetría en sí mismas, independientemente de las figuras. Por otro lado, también pueden haber simetrías en los poliedros irregulares, y en dimensiones mayores. Para sistematizar la clasificación de simetrías de cualquier objeto en cualquier dimensión los matemáticos utilizan la teoría de grupos.

La totalidad y el orden implicado (III)

Siguiendo con nuestro análisis del libro de David Bohm, en esta tercera entrega hablaremos de las teorias de variables ocultas en mecánica cuántica.

El fin del determinismo en Física

La formulación estándard de la mecánica cuántica -la teoria física que explica el comportamiento de la materia i la radiación a escala subatómica- trata exclusivamente con probabilidades, de forma que no le es posible decidir la trayectoria precisa de una cierta partícula en movimiento; de hecho el termino “trayectoria precisa” ni siquiera tiene sentido. Sólo puede calcular la probabilidad de que la partícula esté en una posición en un instante de tiempo. Es por tanto una teoria indeterminista.

Este aspecto de la teoria llevó a que diversos físicos de renombre intentaran encontrar otra formulación que no conllevara un abandono del determinismo; la conocida opinión de Einstein al respecto, “Dios no juega a los dados con el Universo”, resume esta postura.

Teorias de variables ocultas

Una forma de eludir el indeterminismo es postular que existen en la naturaleza parámetros adicionales desconocidos y no detectables que son deterministas; es nuestro desconocimiento de estos parámetros -variables ocultas- lo que nos hace suponer que el comportamiento es no determinista. Así, una partícula tendria una trayectoria perfectamente definida, pero el acceso a todos los parámetros internos que la definen no nos es posible, y tenemos que conformarnos con estimaciones estadísticas. Llamamos a estas teorias de variables ocultas.

Entrelazamiento cuántico

En 1964 John S. Bell presentó un resultado teórico que establecia ciertos límites al entrelazamiento entre partículas; en mecánica cuántica se dice que dos o más partículas estan entrelazadas cuando las propiedades individuales de cada partícula dependen de las demás, incluso si estan separadas por grandes distáncias. Esta es una consecuéncia de la teoria cuántica que se conoce con el nombre de paradoja EPR. Bell demostró que las teorias de variables ocultas eran incompatibles con el entrelazamiento. Posteriormente en los años 80 del siglo XX AlainAspect realizó una sèrie de experimentos que demostraban que el entrelazamiento cuántico viola el teorema de Bell, de forma que las variables ocultas no pueden explicar las predicciones de la mecánica cuántica.

Así, sean por ejemplo un par de fotones emitidos simultaneamente desde el Sol que estan entrelazados, y uno de ellos es desviado por una lente situada en el espacio en un ángulo de 90 grados, de forma que se van alejando uno; si un año despues de la separación modificamos el estado de uno de los fotones, entonces a pesar de la separación enorme que tendriamos entre ellos el otro fotón quedaria también alterado debido al entrelazamiento, y esta alteración seria ¡instantánea!, violando por tanto la restricción que impone la teoria de la relatividad: ninguna señal puede viajar más rápido que la velocidad de la luz c=3·10⁸ m/s.

Estos resultados nos dejan en una situación extraña: ¿cómo “sabe” el segundo fotón que el primero ha sido alterado? Ninguna señal viajando de un fotón al otro puede viajar tan rápido. Así pues, no pueden enviarse "mensajes".

Variables ocultas no locales

Los resultados de Bell y Aspect no eliminaron definitivamente la teorias de variables ocultas, de hecho sólo lo hicieron con las denominadas variables ocultas locales, es decir aquellas que niegan la posibilidad de la acción a distáncia instantánea. Bohm, entre otros, formuló una teoria de variables ocultas no locales que es compatible con el entrelazamiento cuántico y al mismo tiempo no renuncia a la causalidad (relación causa → efecto determinista). No es nuestro proposito entrar en detalle en esta teoria, en cambio sí nos interesa detallar las profundas implicaciones que tiene con respecto a nuestro conocimiento de la realidad física. En efecto, enunciar la existéncia de variables no locales siginifica que cualquier partícula tiene propiedades que afectan (o estan entrelazadas) a la totalidad, lo cual tiene una relación directa con la no-separabilidad que es, como dijimos en anteriores artículos, la línia argumental de toda la obra. 

En los siguientes artículos veremos cómo Bohm usando este concepto de no-separabilidad relaciona el misterioso entrelazamiento cuántico con la teoria de la relatividad general, con la mente y con la consciéncia.

La totalidad y el orden implicado (II)

En este artículo seguimos con el análisi del libro de Bohm, trabajando con su concepto de “La realidad y el conocimiento como un proceso”. La idea de base, la no-separabilidad de la realidad, se aplica aquí al pensamiento y al objeto del pensamiento.

El flujo y el todo

La idea de que el todo es movimiento es antigua en filosofia; Heráclito ya afirmaba que el fundamento de la realidad es el cambio. Bohm más allá y afirma que no sólo es el fundamento, sino que todo es flujo. Consideremos por ejemplo las llamadas partículas elementales de la Física. En su momento se creyó que los electrones, protones y neutrones constituian los últimos componentes de la materia, indestructibles e indivisibles. Pero los avances en la tecnologia de los aceleradores de partículas mostraron que de hecho eran divibles, y se encontraron nuevas partículas que tomaron el relevo del concepto partículas elementales, las cuales también consiguieron romperse... La visión moderna es que cualquier partícula constituyente de la materia (o de la energia) es sólo una forma más o menos estable surgida de algún nivel más profundo.

El pensamiento como flujo y la inteligéncia

Si todo es flujo, por coheréncia deberemos incluir nuestro propio pensamiento dentro de ese todo, y por tanto considerarlo también como flujo. Pero, ¿flujo de qué? Si consideramos el proceso de pensar, veremos que efectivamente hay un flujo sensorial, que interactúa con nuestra memória, produciendo una respuesta que a su vez modifica la memória condicionando las respuestas futuras. Este proceso es básicamente automático. La inteligéncia es un atributo adicional del acto de pensar que permite percibir nuevos órdenes o estructuras, más allá de la mera respuesta mecánica condicionada.

Llegados a este punto del razonamiento, Bohm afirma que, siendo la inteligéncia no-condicionada y de un órden más elevado que el proceso del pensamiento, se deduce que no puede ser explicada por ningún proceso mecánico que involucre objetos tales como células o moléculas, que obedecen a leyes mecánicas y condicionadas; más bien debemos relacionarla directamente con ese flujo del todo del cual emergen las formas. Así, mente y materia són aspectos distintos de un flujo total, y el pensamiento puede ser un vínculo entre ámbos.

Pensamiento y mundo material

Desde el actual punto de vista nos podemos preguntar, ¿cuál es la relación entre un objeto y la idea que tenemos de ese objeto? También ésta es una pregunta antigua; Platón sostenia que toda idea contenia la esencia más verdadera y pura de la cosa. En la línia de nuestro razonamiento, tanto cosa com idea de la cosa surgen de un flujo total, o proceso universal, y por tanto tienen un origen común. Es decir, no hay una correspondéncia definida objeto – idea sino que ambos son aspectos de una misma realidad. Evidentemente, a efectos prácticos en nuestro pensamiento debemos realizar esta correspondéncia y diferenciar claramente el objeto de nuestra idea del objeto. Lo que se afirma aquí es que, en el fondo, no existe tal diferenciación.

Pensamiento consciente y realidad

El pensamiento llega a hacerse consciente cuando es capaz de diferenciarse a sí mismo, como totalidad, de los objetos sobre los que piensa. En esta etapa de desarrollo alcanzada en los albores de la humanidad se identifica la realidad con todo los objetos externos al pensamiento, mientras que la actividad mental es irreal en el sentido de que no puede tocarse. Llamemos P al pensamiento y C a las cosas que son el objeto del pensamiento. Entonces enunciamos:

P no es O (el pensamiento no es un objeto)

Todo es P o C (la totalidad de la existéncia son cosas materiales i pensamientos)

Esta forma de diferenciación de la totalidad es la que sigue la lógica aristotélica clásica. En cambio siguiendo el razonamiento de Bohm tanto objetos como pensamientos forman parte de un mismo todo y no deberian diferenciarse:

P es O (el pensamiento es un objeto)

O es P(las cosas materiales son pensamientos)

Todo es a la vez, P y O, ambos se mezclan en un proceso único.

En definitiva, la tesis de Bohm es que no debemos ver el conocimiento como algo estático, acumulativo e independiente del entorno, sino como una parte del flujo total de un proceso básico que es la realidad.

La totalidad y el orden implicado

Por fin he podido terminar de leer "La totalidad y el orden implicado" (David Bohm), lo he tenido en la mesilla de noche durante meses pero hasta que no he tenido vacaciones no lo he conseguido. Bohm, físico de renombre mundial, era conocido por su peculiar interpretación de la mecánica cuántica que postulaba la existéncia de "variables ocultas", alejada de la interpretación oficial, la denominada "de Copenhague" por haber surgido en el círculo de físicos que seguian la línia de Niels Bohr. En este libro, Bohm amplia sus ideas para ofrecernos una teoria de "todo": desde la realidad física a la consciéncia.

Hay una única idea de base en todo el argumento: la no-separabilidad de la realidad. En el orden de magnitudes con las que se trabaja en mecánica cuántica la no-separabilidad no es una teoria sino un hecho comprobado. Bohm desarrolla las implicaciones de este hecho para formular su teoria de todo. Para conseguirlo, introduce los siguientes conceptos:

• La totalidad y la fragmentación conceptual
• Lenguaje no fragmentado: el "reomodo"
• La realidad como un proceso
• Teoria cuántica: variables ocultas, no-separabilidad, orden implicado y explicado
• El universo y la consciéncia

En este artículo trataré sobre los dos primeros apartados para no alargarnos demasiado, dejando el resto para otros artículos.

Logicomix: an epic search for truth

Leí este sensacional cómic el pasado mes de junio. Supe de él por la sección de cultura del periódico, y desde el primer momento pensé que pintaba bien, asi que lo busqué por Internet i lo encargué a una libreria inglesa en la versión original. Y no me defraudó, al contrario. De hecho yo ya habia leído con interés algunas publicaciones de Bertrand Rusell, tengo algún libro suyo per casa, así que sólo por eso el cómic ya me llamaba la atención, pero como decia, superó con mucho mis expectativas.

La línea argumental nos lleva desde la juventud de Russell, cuando su obsesión era la búsqueda de la verdad, de la verdad matemática para ser exactos, que centró en la lógica. Conforme avanzamos, vemos que esa búsqueda se imbrica con los fundamentos de la matemática y aparecen algunos de los grandes matemáticos de la primera mitad del siglo XX: Hilbert, Frege, Cantor, Whitehead, Poincaré, Gödel ... todos ellos tienen una participación en esa búsqueda de la verdad. En este nivel, la matemática se solapa con la filosofia, de modo que también participan algunos filósofos y sus ideas, como Ludwig Wittgenstein.

El mérito de Logicomix es que consigue introducir al neófito en la comprensión de los grandes avances de la matemàtica del siglo XX de forma amena, a la vez que muestra el viaje vital de Russell, desde su más bien triste infancia, pasando por sus diversos amorios, las dos grandes guerras, su pacifismo militante que le valió pena de cárcel, hasta su vejez, en la que realiza que su búsqueda de la verdad absoluta no ha sido todo lo fructífera que deseaba. 

Además, en mi caso particular he de reconocer que en buena parte comparto la inquietud de Russell por descubrir dónde está la línia divisoria entre verdad y falsedad; no solo tiene implicaciones filosóficas y morales, sino también científicas y técnicas. Hay todavia múltiples debates abiertos en este sentido; ¿puede un autómata reconocer la verdad? ¿se puede automatizar la demostración de teoremas matemáticos (como la del Teorema de Pitágoras, a² + b² = c², en la figura)? cuáles son los límites de la inteligéncia artificial? el reconocimento de la verdad, ¿sólo puede hacerlo un ser consciente?