Este es un artículo "especial" que recupera parte de unos apuntes de matemáticas de 2º de Ciencias Físicas de la UB de los años 80 del siglo XX que eran en parte mecanografiados, en parte escritos a mano, del prestigioso matemático Emilio Elizalde en su época de profesor titular de la UB. Hasta mi conocimiento nunca llegaron a formar parte de ningún libro, y sólo eran accesibles como apuntes para los alumnos de la facultad. Con la ayuda de la cámara del móvil, una app de escaneado de documentos, el OCR incorporado en Google Docs y un poco de ayuda de IA, más una revisión manual, lo ofrecemos como material abierto. Su nivel a pesar de ser de 2º de carrera es más bien alto, de hecho en mi época de estudiante los veía como bastante "duros", pero su interés científico creo que es indudable. Esta es una primera versión incompleta que debería mejorarse usando LaTex para las fórmulas matemáticas.
La noción de conjunto no puede definirse. ¿Qué es un conjunto? Para poder trabajar con ellos basta decir qué elementos (entes matemáticos) los forman. Esto se puede hacer por extensión y/o por comprensión. Actualmente la Matemática estudia relaciones entre objetos deliberadamente no conocidos más que por algunas de sus propiedades, que se toman como axiomas de partida de su teoría. Es decir, no se parte ya de dichos objetos (clásicamente números, magnitudes y figuras geométricas) sino de unos cuantos axiomas. El contenido de verdad de los axiomas de las teorías matemáticas (ej. Elementos de Euclides) no se había puesto en duda hasta épocas muy recientes. Se consideraban "verdades evidentes que no necesitaban demostración." Sin embargo ya Aristóteles se había dado cuenta de que una definición no implicaba la existencia de la cosa definida. En el siglo XIX los axiomas dejaron de ser "evidentes", pasando a ser hipótesis cuya adaptación a la representación matemática del mundo sensible se trataba de comprobar. Así, por ejemplo, se buscaba una comprobación experimental sobre cuál era la geometría correcta (¿suman 180° los ángulos de un triángulo material?).
Posteriormente se razonó que aunque una geometría no estuviese de acuerdo con la realidad experimental, sus teoremas no dejaban de ser verdades matemáticas. Actualmente los axiomas son convenciones para las que la noción habitual de "verdad" carece de sentido (¿las reglas del juego del ajedrez, son verdaderas o son falsas?)En el siglo XIX se produjo la aritmetización de las matemáticas clásicas. Es decir, se construyeron modelos para obtener todos los números conocidos a partir de los números naturales. Estos eran indeducibles, como "producto exclusivo de nuestro espíritu" (Gauss, 1832). El paso más difícil fue obtener un modelo de números irracionales dentro de los racionales (Cantor, Dedekind, etc). Hacia 1890 se produjo la axiomatización de la aritmética (Dedekind, Peano), pero para entonces ya había dejado de ser la disciplina primordial, en favor de la teoría de conjuntos (Cantor, hacia 1880). Esta trajo consigo multitud de problemas. De 1900 a 1930 se produce la llamada "Crisis de fundamentos": aparecen las paradojas. Algunas de ellas son:
- a) Burali-Forti: el conjunto de los ordinales es ordenado, luego isomorfo a un segmento de sí mismo.
- b) Cantor: el conjunto de todos los conjuntos es equipotente a una parte de sí mismo (contradice el hecho de que m < 2^m).
- c) Russell: el conjunto de conjuntos no elementos de sí mismos R = {x ∣ x no en x} da lugar a la paradoja x ∈ x si y sólo si x no en x.
La de Russell equivale a: al decir "yo miento", ¿digo la verdad?. O a la siguiente: la omnipotencia es una paradoja, pues una persona omnipotente podría, por ejemplo, construir una piedra que ella misma no fuese capaz de levantar.
Para evitar las paradojas deben eliminarse los conjuntos "demasiado grandes”, un conjunto no pueden constituirlo "cualesquiera elementos que cumplan una determinada propiedad", ya que aparecen, como vemos, conjuntos paradójicos. No tendremos en cambio dificultades si los elementos que satisfacen la propiedad pertenecen a su vez a un conjunto o clase mayor. Es decir, B = {x es de A | con la propiedad P(x)} define adecuadamente un conjunto (Zermelo, 1980: Aussonderung).
Hilbert creía aún en una verdad matemática objetiva (¿existe, o es un simple juego?). Pero la eliminación de paradojas aparece en muchos puntos arbitraria. Los propios matemáticos no se han puesto de acuerdo, dividiéndose en diversas tendencias: formalistas, intuicionistas, etc.
La ausencia de contradicción siempre ha sido una condición "sine qua non" de toda la Matemática, y mucho más con la aparición del punto de vista axiomático. ¿Podría ser contradictoria la propia Aritmética? (segundo problema de Hilbert, 1900). Incluso se formuló el principio de que la no contradicción equivale a la existencia de una teoría matemática. Otros problemas importantes son los de la independencia, completitud y decibilidad de los axiomas de la teoría.
Dada una teoría A se dice que sus axiomas A1,....,An, son independientes si para todo i, Ai no es un teorema con hipótesis Aj, con i distinto de j. El método de demostración de la independencia consiste en construir una teoría A’ no contradictoria, con Aj (distinto de i) y no Ai, como teoremas.
Una teoría T se dice completa si para toda afirmación A de T, A o no A es un teorema de T.
Gödel demostró que si T es no contradictoria y si los axiomas de la Aritmética formalizada son teoremas de T entonces T es no completa. Vio que existe una proposición P tal que en T no hay ninguna demostración ni de P ni de no P. Este es el llamado primer teorema de incompletitud de Gödel. Probó además que la consistencia de una teoría matemática solo es demostrable con métodos más potentes que los de la propia teoría (segundo teorema de incompletitud de Gödel). Notemos la gran analogía con el enunciado, en su forma más general, del principio de incertidumbre de Heisenberg. De todos modos, en el primer principio de Gödel la proposición P no tenía interés matemático directo. Sin embargo, él mismo demostró (en 1940) que T Unión {H.C.} es no contradictoria. H.C. es la llamada hipótesis del continuo, que afirma que 2^X0 = X1, donde X0 = Card Naturales, X1 = Card Reales, que tiene enorme interés matemático. Cohen (en 1963) completó la paradoja al demostrar que T Unión {2^X0 = X2} es no contradictoria, donde X2 = Card de las partes de los reales.
Se ha demostrado, por otra parte, que si T es la teoría de conjuntos ordinaria y A.E. es el axioma de la elección (que enunciaremos posteriormente) resulta que T Unión {A.E.} es no contradictoria si y sólo si T es no contradictoria. Esto por lo que respecta al problema de la completitud de las teorías matemáticas más usuales.
El problema de la decibilidad (Entscheidungsproblem) es muy ambicioso. Trata de hallar, en un lenguaje formalizado, un procedimiento universal que aplicado a una relación indique, al cabo de un número finito de pasos, si es verdadera o no. La idea se remonta a Leibniz y hasta el presente no ha dado resultados positivos. Los símbolos del lenguaje formal (conectivas, cuantificadores, variables x, x', x'',...) son:
¬ (no), ∧ (y), ∨ (o), ⇒ (implica), ⇔ (si y sólo si), ∀ (para todo), ∃ (existe), = (igualdad), ( ) (paréntesis)
Los símbolos se definen por sus reglas, no por el significado de las palabras descriptivas que son desde luego orientativas para su manejo). No son independientes (p. ej. ∀ equivale a ¬∃¬ ). Además se tiene: R, R', R',...(conjunto finito de símbolos para las relaciones) y c, c', c',...(símbolos para las constantes). En general suele escribirse x1, R2, c3 ... pero estos subíndices numéricos son siempre evitables.
Como ejemplo, la unicidad de la adición se expresa en lenguaje formalizado por:
∀ a, b, c (a + b = a + c ⇒ b = c)
“Para todo a, b, c, si a + b es igual a a + c, entonces b es igual a c.”
o la asociatividad del producto:
∀ a, b, c ((a · b) · c = a · (b · c))
y el hecho de que una ecuación cuadrática tiene a lo sumo dos raíces
∀ a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 ⇒ ∀ x₁, x₂, x₃ (ax₁² + bx₁ + c = 0 ∧ ax₂² + bx₂ + c = 0 ∧ ax₃² + bx₃ + c = 0 ⇒ (x₁ = x₂ ∨ x₁ = x₃ ∨ x₂ = x₃))
Generalizar esta propiedad a N arbitrario en este lenguaje es imposible.
