Simetrías
En la vida cotidiana llamamos simétricos a los objetos que son idénticos a ambos lados, izquierda y derecha; así, el cuerpo humano es simétrico: tanto a la izquierda como a la derecha tenemos brazos y piernas. Si trazamos un eje imaginario que pase por el centro de la cabeza, a ambos lados del eje somos aproximadamente iguales. Las palabras palíndromas tienen la misma lectura de izquierda a derecha y por tanto también son simétricas; "Dábale arroz a la zorra el abad" es el más conocido.
En matemáticas definimos la simetría como la invariáncia frente a una transformación; las transformaciones de los ejemplos anteriores consisten en realizar un giro de 180 grados en torno al eje de simetría: són las simetrías izquierda-derecha. Hay muchas más simetrías; por ejemplo si pensamos en el cuadrado de vértices ABCD en el plano eucĺídeo, vemos que los giros alrededor de cualquiera de los cuatro ejes ac, db, AC, BD lo dejan invariante. Fijándonos bien, veremos que, además, hay otros cuatro giros en torno al centro del cuadrado que también son invariantes, correspondiendo a los ángulos de giro 90, 180, 270 y 360 grados. En total tenemos pues 4 + 4 = 8 transformaciones de invariancia para el rectángulo.
Clasificando simetrías
Pasando de las descripciones anteriores a la generalización, decimos que una simetría es un conjunto de giros g y simetrías axiales s: {g1, g2,..., gn, s1, s2, ..., sm}. Así, el cuadrado pertenece a la simetría {g1, g2, g3, g4, s1, s2, s3, s4}. De hecho el giro g4 de 360 grados es especial porque deja a los vértices en la posición original, así que le damos un papel distinto: es el giro “neutro”, denominado g0.
Fijémonos además que las transformaciones se pueden concatenar, dando lugar a otras transformaciones; por ejemplo podemos aplicar una simetría axial de 180 grados respecto al eje ac seguido de un giro de 90 grados respecto al centro. Si partimos de la posición ABCD, pasaremos a la posición BADC y acabaremos en CBAD. Simbolicemos la concatenación de transformaciones con el símbolo “●”, de forma que nuestro ejemplo se escribiría g1● s2 (en este orden: primero escribimos la última transformación).
Se plantea una pregunta: ¿la transformación g1● s2 equivale a alguna de las transformaciones “elementales” {g1, g2, g3, g0, s1, s2, s3, s4}? Pues sí: equivale a la simetría axial en torno al eje BD, que denominamos s4. Escribiremos g1● s2 = s4. Siempre tendremos que la concatenación de transformaciones producirá otra transformación elemental.
En tres dimensiones se incrementan el número de posibles transformaciones de simetría. Por ejemplo, para un cubo tenemos tres giros por los ejes que pasan por los centros de las caras, cuatro giros alrededor de los ejes que pasan por los vértices, y seis giros alrededor de los ejes que pasan por los puntos medios de las aristas; un total de 24 rotaciones.
Pasemos a otras figuras más complejas. ¿Cuantos transformaciones tendrá el octaedro? Resultan ser las mismas que las del cubo; esta coincidencia se da en muchas otras figuras, como el dodecaedro y el icosaedro (120 transformaciones) y nos da una indicación de la utilidad de estudiar las transformaciones de simetría en sí mismas, independientemente de las figuras. Por otro lado, también pueden haber simetrías en los poliedros irregulares, y en dimensiones mayores. Para sistematizar la clasificación de simetrías de cualquier objeto en cualquier dimensión los matemáticos utilizan la teoría de grupos.