sábado, 26 de noviembre de 2011

Mística y ciencia

La unidad de conciencia en las filosofías y religiones

En las experiencias místicas de pueblos, culturas y épocas diversos encontramos una semejanza en la descripción de un estado místico en el que se experimenta la "identidad" de todas las mentes entre sí y con la "mente suprema"; también las religiones como el zen, el sufismo, el taoísmo, el tantrismo, los místicos cristianos, etc. presentan semejanzas en este aspecto. Algunos ejemplos de citas de místicos de procedencia diversa:

Me desprendí de mi yo como se desprende de su piel una serpiente. Después me miré y vi que yo soy Él.
Abu Yazid Al-Bistamit (siglo IX)

Todo lo que tu consideres como siendo yo, tu, él ella, y eso, todo es Uno.
Vedanta Advaita (siglo XIX)

Mi naturaleza se armoniza con la de Buda. Ya no hay dualidad, sino unidad y armonía: Satori.
Yoka Daishi: El canto del inmediato Satori (Budismo Zen)

No preguntes si el Principio está en esto o en aque­llo; está en todos los seres.
Chuang Tse, entre los siglos cuarto y tercero antes de J. C.

Mi Yo es Dios, y no reconozco otro Yo que mi Dios mismo.
Santa Catalina de Genova


Tenemos que reconocer que es sorprendente esta similitud entre personas de razas y religiones diferentes, separados entre sí por siglos e incluso milenios y por grandes distancias, y con poca o ninguna relación entre sí ni conocimiento mutuo. De hecho, la constatación de esta regularidad es en sí misma un hecho científico, que evidentemente puede tener diversas explicaciones.

¿El cerebro genera muchas conciencias en un único sujeto?
En nuestra experiencia subjetiva, solo podemos experimentar una conciencia: parece ser que la mente no es capaz de generar múltiples conciencias simultáneas. Quizá en casos patológicos, como en personas con daños cerebrales, esto no es así; es cierto que existen enfermos con personalidades múltiples, pero no es esto de lo que hablamos aquí, pues en cada instante la persona es consciente de una de las personalidades, de forma que sigue habiendo una única conciencia.
De lo poco que conocemos todavía sobre el funcionamiento del cerebro, sabemos que los actos de percepción utilizan áreas diversas, de forma que no hay una zona concreta responsable de la percepción. En la corteza cerebral hay áreas delimitadas e independientes para cada uno de los cinco sentidos. Así por ejemplo:

(...) las imágenes del ojo derecho y del izquierdo se elaboran de modo singular, cada una por su parte, combinándose luego en una única percepción. Equivale a tener dos subcerebros simples, uno para cada ojo, que colaboran debido a la simultaneidad de la acción, y no por una unidad estructural.
Cita resumida de Charles Sherrington, premio Nobel de Medicina en 1932.

Nuestro cuerpo está formado por un número astronómico de células (1014 ), cada una de ellas es un organismo vivo, y conjuntamente colaboran para crear nuestro organismo pluricelular; en cambio la mente no puede considerarse formada por la simple unión de neuronas; de hecho para la mente lo de menos son las neuronas, lo que importa son las conexiones entre ellas: las sinapsis, que posibilitan la creación de redes neuronales. Cada red neuronal se especializa en una determinada percepción; lo que no está claro es cómo se coordinan entre sí las diferentes redes para producir la única conciencia que experimentamos. De hecho no existe ningún circuito neuronal que haga de "director" de los demás. Podemos decir que el "yo" que experimentamos no tiene ningún circuito neuronal asociado, que sepamos, ni está alojado en ninguna área especializada del cerebro. Entonces, ¿cómo se forma nuestro yo?

Experiencia subjetiva y ciencia
El sujeto que contempla, percibe, siente, que tiene valores estéticos y éticos, es poco interesante para la ciencia, que se siente cómoda trabajando con hechos objetivos, independientes del sujeto que observa. Así, los modelos científicos presentan un mundo en el que tiene poca cabida lo personal, y por este motivo la ciencia es claramente atea, ya que difícilmente puede acojer a un Dios personal. Además, todo científico dirá: no encuentro ninguna deidad, ni tampoco la necesito para explicar el mundo. Y es lógico que sea así, pues los modelos que usa son objetivos, y anidan en el espacio y el tiempo. También es cierto que ésta última afirmación se debilita cuando pensamos en la teoría de la relatividad, que "rompe" los esquemas intuitivos de espacio y tiempo, y en la teoría cuántica, que introduce la subjetividad al enunciar que el observador y el experimento no son independientes. Quizá es por esta razón que muchos de los físicos pioneros en estos campos, Heisenberg, Schrödinger, Einstein, Planck, Pauli, Eddington, Bohm, ..., acabaron compartiendo la visión mística de la realidad como un todo indivisible. A continuación veremos cómo Erwin Schrödinger defendió esta idea.

El concepto de todos los "yo" son uno en Schrödinger
Schrödinger es conocido por su ecuación, valedora del premio Nobel de Física, que describe la evolución temporal de la función de onda cuántica, y también por su famosa paradoja del gato, que muestra la incompletitud de la formulación de la mecánica cuántica. Es menos conocida su aportación a la que voy a denominar "mística científica", que abordamos aquí. 

Sostiene Schrödinger que el "yo" al que nos referimos habitualmente, aquel que es el objeto de la psicología, es meramente una colección de datos recopilados en las experiencias del sujeto. Pero hay un "yo" más profundo que sirve soporte de aquellos datos, que es el sujeto de las experiencias.

El cuerpo funciona como un mecanismo automático siguiendo las leyes naturales; en cambio nuestra experiencia consciente señala que somo nosotros los responsables de nuestros movimientos: es el “yo” el que dirige al cuerpo. Entonces, ¿el yo es también parte del cuerpo? Intentar responder esta pregunta con el pensamiento resulta complicado, ya que el propio pensamiento se estudia a sí mismo, de forma que el objeto estudiado y el sujeto que estudia se confunden en uno. Pero con Schrödinger podemos acercarnos al concepto correcto indirectamente, observando diferentes líneas de pensamiento acerca del tema del yo, y comprobando si parecen converger en un punto, algo así como una extrapolación:



La línia de puntos asignada a la Ciencia indica que no ha postulado la conciencia única, pero numerosos científicos han apostado por ella, y además tal tesis no contradice, creo, ninguna de las leyes de la naturaleza conocidas. La lista no es de ningún modo exhaustiva, la última línia termina con puntos suspensivos queriendo indicarlo.

La totalidad de David Bohm
Otro brillante exponente de la mística científica es David Bohm; es conocido en el círculo científico por su trabajo en mecánica cuántica, particularmente por los modelos de variables ocultas. Pero también era un seguidor de la filosofía de la conciencia de Krishnamurti, que le inspiró para su teoría holográfica del universo (ver por ejemplo el artículo del blog la bella teoría), en la que cualquiera de sus elementos componentes contiene a todo lo demás, en una unidad que incluye a la materia y a la conciencia. En este blog he escrito algunos artículos sobre su concepción.

Conclusión
La antigua división entre ciencia y misticismo, que las hacía irreconciliables, se empezó a romper a principios del siglo XX a manos de numerosos físicos de primera línea, a los cuales se unieron posteriormente matemáticos "platónicos". En este sentido hay diversos intentos de fusión de ambas líneas de pensamiento; esto entodo caso enriquece nuestra visión del cosmos.

Referéncias

  • Cuestiones cuánticas, Ken Wilber
  • La totalidad y el orden implicado, David Bohm

domingo, 20 de noviembre de 2011

La conjetura de Hodge para “dummies”

Introducción
La conjetura de Hodge es una de los llamados “problemas del milenio” propuestos por el Clay Mathematics Institute, cada uno de los cuales está premiado con un millón de dólares para el investigador que los resuelva. En general para el no iniciado no es fácil entender los enunciados de estos problemas, de hecho lo más común es no entender en absoluto lo que se pide. Éste suele ser el caso de la conjetura de Hodge , y es así incluso para matemáticos profesionales que no están trabajando en el campo de la topología algebraica. En este sentido se han realizado charlas y presentaciones para mostrar el sentido de la conjetura al público no especializado. En éste artículo intento mostrar el significado y utilidad práctica de la conjetura para los lectores no matemáticos pero interesados en la ciencia. Evidentemente un conocimiento de matemáticas en general a nivel universitario será de gran ayuda.

Este artículo se presenta al Carnaval de Matemáticas edición 2.8, que está alojado en el bloc Ciencia Conjunta.

A continuación traduzco la descripción oficial del problema, ligeramente retocada. En lo que sigue definiremos los conceptos básicos necesarios para entender el significado y la importancia de esta conjetura. Empezaremos por las definiciones de geometrías y espacios no euclídeos, siguiendo con las construcciones matemáticas llamadas variedades.




Descripción oficial
En el siglo XX los matemáticos descubrieron técnicas muy generales para investigar las formas de objetos complicados en espacios abstractos. La idea básica es preguntar en qué medida podemos aproximar la forma de un objeto dado construyéndolo a partir de bloques simples de dimensión cada vez mayor. Esta técnica resultó ser tan útil que tiene muchas generalizaciones diferentes, llevando eventualmente a potentes herramientas que han permitido hacer a los matemáticos grandes progresos en la catalogación de la variedad de objetos que encontraron en sus investigaciones. Desafortunadamente, los orígenes geométricos del procedimiento, más intuitivos,  se oscurecieron en esta generalización. En cierto sentido, era necesario añadir bloques que no tenían ninguna interpretación geométrica.

La conjetura de Hodge afirma que para los tipos especialmente útiles de  espacios llamados variedades algebraicas proyectivas, los “bloques de construcción“ llamados ciclos de Hodge son en realidad  combinaciones (racionales lineales) de otros bloques geométricos llamadas ciclos algebraicos. Veamos que significa esto y que aplicaciones tiene.

Geometrías no euclídeas
La geometría euclídea es la que aprendemos en la escuela, la más intuitiva; sus principios rectores fueron postulados por Euclídes en su tratado Elementos.

En el siglo XIX se empezó a pensar en la posibilidad de postular geometrías alternativas que no cumplieran todos los postulados de Euclides. Por ejemplo el quinto postulado afirma que si una recta corta a otras dos con  ángulos internos cuya suma sea menor que 180 grados entonces esas dos rectas prolongadas se cortan. Negando ese postulado pero manteniendo los otros cuatro se llega a las geometrías hiperbólicas.

Veamos otra geometría no euclídea: de los postulados de Eucĺides se deduce que las posiciones relativas de dos rectas no coincidentes y sus puntos de corte pueden ser de dos formas posibles:
          


La geometría proyectiva en cambio enuncia que todo par de rectas se cortan en un punto: define el punto del infinito, de forma que cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en ese punto del infinito. El punto del infinito no se considera especial, al contrario, es un punto más.


Entonces todo conjunto de rectas paralelas tendrá un punto en el infinito común.  El conjunto de todos los puntos en el infinito forman una recta,  la recta del infinito. Esta construcción se corresponde con los puntos de fuga visuales: las vías del tren, paralelas, vistas desde la perspectiva del ojo parecen cortarse en un punto.

Así, en la geometría proyectiva, todas las rectas se cortan, tanto si son paralelas como si no; este hecho facilita los desarrollos teóricos, al eliminar el caso especial de rectas paralelas.


El plano complejo
Un número complejo x se define por x = a + bi, donde i² = -1. En el plano complejo asociamos a cada complejo x un punto de coordenadas (a,b). El eje horizontal representa los números reales y el eje vertical los denominados números imaginarios.

Los complejos son de gran utilidad práctica en ingeniería eléctrica y electrónica, en Física y por supuesto en Matemáticas.


Proyección estereográfica
Sea un círculo de radio unidad en el plano; si trazamos rectas desde el punto N del “polo norte” del círculo, cortaran al eje horizontal en un punto P', y al círculo en otro punto P.

Si imaginamos el mismo esquema pero con una esfera de radio unidad, entonces el eje horizontal será un plano horizontal (el plano ecuatorial), y las rectas que parten de N seguirán definiendo los puntos de corte P' y P. Se define P' como la proyección estereográfica de P. Cualquier punto de la esfera se representa como un punto del plano; para el punto N su proyección será el punto del infinito.



Espacios proyectivos complejos
Como antes, consideremos una esfera de radio unidad pero ahora el plano ecuatorial será el plano complejo C.  La esfera estará situada en el espacio complejo C², formado por parejas de complejos (x,y), y se conoce por la esfera de Riemann. Si nos fijamos en el conjunto de rectas proyectivas de C² que parten de N, se define el espacio proyectivo complejo CP¹ como ese conjunto de rectas. Observemos que al definir el espacio proyectivo “hemos bajado” una dimensión: desde C² definimos CP¹. Así, la esfera de Riemann define el el espacio proyectivo complejo de una dimensión, también llamado línea proyectiva.



Si en vez de usar el plano complejo C como plano ecuatorial, usamos el espacio C², necesitaremos una esfera en C³ (espacio formado por ternas de puntos (x,y,z) complejos) que obviamente ya no podemos representar gráficamente. Pero las ideas son las mismas, y obtendríamos el espacio CP², el plano proyectivo complejo. En general, usando n+1 dimensiones complejas obtenemos un espacio proyectivo CP(n).

Formas algebraicas en el espacio  CP²; variedades
El el espacio CP² podemos definir rectas, círculos y cualquier otra figura geométrica; en general una variedad algebraica en CP² es el conjunto de puntos de C³ que cumplen una ecuación algebraica F(x,y,z) = 0. Las variedades (manifold en inglés) son generalizaciones de las figuras que conocemos del espacio euclídeo a espacios abstractos de cualquier dimensión.

Otro tipo de variedad es la variedad topológica: son aquellas que, si las “observamos con una lupa”,  veremos que en pequeñas porciones la variedad “parece” un espacio euclídeo; de forma más técnica se dice que localmente las variedades topológicas son homomorfas al espacio euclídeo.

Una subclase muy importante de las variedades topológicas son las variedades diferenciables: localmente son suficientemente “suaves” para poder aproximarlas por un plano euclídeo. La esfera (en cualquier número de dimensiones) es un ejemplo de variedad topológica diferenciable.

El concepto de variedad es fundamental para muchas partes de la geometría y la física matemática moderna, ya que permite estudiar estructuras más complicadas que se expresan y se entienden en términos de las propiedades relativamente bien entendidas de variedades en espacios.

Subvariedades
Una subvariedad es un subconjunto de puntos de una variedad elegidos de tal manera que dicho subconjunto es a su vez una variedad.

En  nuestro viaje hacia la conjetura de Hodge hasta ahora tenemos un espacio “suave” que localmente se asemeja el espacio euclidiano, pero a mayor escala ese "espacio" es diferente, y que se describe por un grupo de ecuaciones. Lo que hacemos ahora es dividir ese espacio en partes geométricas más pequeñas y simples: las subvariedades. Esto nos permite simplificar el estudio de las propiedades de variedades abstractas, al descomponerlas en subvariedades más simples. Pero antes introducimos el concepto de topología.


Topología y espacios topológicos
La topología estudia las propiedades más fundamentales de toda la geometría, en el sentido de que es más fácil que dos objetos geométricos sean topológicamente equivalentes que usando cualquier otra teoría geométrica, como la algebraica. Por ejemplo, dos figuras aparentemente tan distintas como un “donut” (hablando en propiedad tal figura es un “toro”) y una jarra son topológicamente equivalentes porque se puede convertir una en otra mediante deformaciones continuas sin rasgar ni cortar:

 Por lo tanto una herramienta básica en el estudio de las geometrías más complicadas y abstractas es considerar su estructura topológica.

Un espacio topológico es una estructura matemática simple formada por un conjunto S, un conjunto T de subconjuntos de S, y unas reglas  referentes a las uniones e intersecciones de los subconjuntos de T. Por ejemplo, los números reales (el conjunto S) junto con los intervalos de reales (a,b) (todos ellos forman el conjunto T) y algunas propiedades básicas de los números definen el espacio topológico de los reales.

Es una estructura simple porque sólo depende de la teoría de conjuntos. Por otra parte se puede relacionar la topología de un espacio con su métrica (la forma como medimos distancias); en estos espacios topológicos métricos se definen y estudian distancias entre conjuntos, así como proximidades, fronteras de conjuntos, etc.

Tipos de espacios
Hasta ahora hemos definido diferentes tipos de espacios: euclídeos, proyectivos, reales, complejos, diferenciables, topológicos... Es importante tener en cuenta que estas clasificaciones se superponen. Así, por ejemplo, podemos considerar en el espacio proyectivo complejo C² una medida de la distancia, con lo cual lo dotamos de una métrica (con lo cual será un espacio métrico); si además consideramos sus propiedades topológicas, entonces tratamos a C² como espacio topológico métrico.


Homotopías, homologías, grupos y clases
Cuando se estudian los espacios vectoriales se trabaja con sus subespacios, más simples; de la misma misma forma,  se estudia un espacio topológico mirando subespacios topológicos, como curvas o superficies. Puesto que hay muchos posibles subespacios, se introduce una relación de equivalencia (permite realizar una clasificación de los subespacios en clases de equivalencias):   la homotopía, o invariabilidad de deformación.

Esta relación de equivalencia en la práctica es todavía complicada; otra más sencilla de calcular es la homología: dos figuras geométricas dentro de un espacio dado son homólogas si juntas forman el contorno de una figura de dimensiones superiores.

La motivación original para la definición de grupos de homología es la observación de que un aspecto importante de la forma de un objeto son sus huecos cerrados (“agujeros”). Debido a que un hueco es algo que "no existe", no es trivial definir un agujero, o cómo distinguir entre diferentes tipos de agujeros. La homología es un método matemático riguroso para detectar y clasificar huecos,

Por ejemplo las vocales {A, E, I, O, U} consideradas como formas se pueden clasificar en dos clases: sin huecos cerrados {E, I, U} y con un hueco cerrado {A, O}.

A cualquier espacio topológico X se puede asociar un conjunto Hk (X), siendo k un número natural,  cuyos elementos son clases de homología. El tamaño y la estructura de Hk (X) ofrece información sobre el número de “agujeros” en X.



Por ejemplo, un “toro” en el espacio euclídeo es una superficie de revolución que se obtiene cuando un círculo gira alrededor de una recta que está en su plano sin cortarlo. Algebraicamente se expresa como la combinación lineal de dos círculos distintos, como se muestra a la derecha: uno de color rosa y otro de rojo. Hablando informalmente, cada círculo es una clase de homología del toro.

Topológicamente, esto significa que un camino cerrado que primero rodea al hueco del toro  (como  el círculo rosa) y después da la la vuelta al cuerpo del toro  (como el círculo rojo) se puede deformar a un camino que primero rodea al cuerpo y luego al hueco. El toro tiene una generalización a dimensiones más altas, el toro n-dimensional, o el n-toro, para abreviar, que se forma combinando  n círculos. El toro del espacio euclídeo es un 2-toro.


Ciclos algebraicos
Ahora que ya tenemos los conceptos de variedad, sub-variedad y clases de homología, podemos definir los “bloques” elementales que aparecen en la conjetura de Hodge.

Primero de todo, decir que un resultado general es que en una variedad, que hemos visto que se define por unas ecuaciones, sus sub-variedades, también definidas por unas ecuaciones, se pueden separar en clases de homología que “recubren” la variedad.

En particular, un ciclo algebraico de una variedad algebraica V es  una clase de homología en V que se puede expresarse como una combinación lineal de las subvariedades de V.

El estudio de los ciclos algebraicos es en uno de los principales objetivos de la geometría algebraica de las variedades en general, siendo muy útil para descubrir propiedades. La dificultad es: demostrar la existencia de ciclos algebraicos es relativamente fácil, pero los métodos actuales  para construirlos son deficientes. Si tuviéramos métodos prácticos de construcción de clases de homologías de variedades (como los ciclos  algebraicos) se podría probar la existencia de subvariedades con ciertas propiedades deseables prefijadas utilizando cálculos de homología. Ello nos daría un potente instrumento de estudio de las variedades en general.

Ciclos de Hodge
Un ciclo de Hodge es un tipo especial  de  clase de homología en una variedad compleja algebraica que cumple ciertas condiciones específicas que no reproduciremos aquí. Se define por tanto de forma distinta a los ciclos algebraicos. Recordemos que la existencia de subvariedades con  “buenas” propiedades de homología nos facilita el estudio de las variedades en general; pues bien, los ciclos de Hodge estan definidos de forma que tienen esas buenas propiedades. La descripción detallada de dichas propiedades, su justificación, etc, son temas especializados que quedan fuera del ámbito de este artículo.

La conjetura de Hodge
Hemos visto que los espacios topológicos son simples en el sentido de que se  definen por una pocas propiedades; supongamos que en un cierto conjunto, que podría ser una variedad A, definimos una topología, y también definimos un subconjunto B de A que es diferenciable (recordemos que las variedades diferenciables son una subclase de las variedades topológicas).

Tenemos una variedad proyectiva compleja “suave" en el espacio proyectivo CPn que se describe por un grupo de ecuaciones de tal manera que tiene dimensión par (esto es así porque los números complejos tienen dimensión 2, y la dimensión resultante de CPn será (n+1)·2, que es par) . Luego tomamos la topología de la variedad y la dividimos en partes geométricas más pequeñas llamadas "ciclos de Hodge".

La conjetura afirma que: para los tipos de espacios llamados variedades algebraicas complejas proyectivas, los ciclos topológicos de Hodge son iguales a combinaciones racionales lineales de ciclos algebraicos.

Aplicaciones en cálculo diferencial e integral en variedades
Una forma diferencial es una generalización de los conceptos de derivada, vector gradiente, rotacional, etc del espacio euclídeo, aplicados a variedades diferenciables en espacios abstractos. Resulta ser que en espacios diferenciables existe una relación entre las clases de homología de los ciclos y las clases de equivalencia de las formas diferenciables.

Por otra parte, la integral definida de una función real f(x) en un intervalo (a,b) es una suma que realizamos sobre una linealización de la función, usando el concepto de diferencial dx:


Generalizando este concepto a funciones complejas integradas sobre variedades,


el intervalo (a,b) se transforma en la variedad A, y el integrando f(x)dx en la forma diferencial dw; la expresión anterior es el enunciado del teorema de Stokes, que relaciona la integral sobre la variedad con la integral sobre la frontera de la variedad, dA. Gracias a la descomposición de la variedad en elementos más simples, los ciclos, se simplifica el estudio de la diferenciación y de la integración en variedades. También el campo de estudio de las ecuaciones diferenciales se beneficia de la teoría de los ciclos y variedades.  


Fuentes de información

  • Wolfram Matworld: http://mathworld.wolfram.com
  • Blog de la mula Francis: http://francisthemulenews.wordpress.com/?s=hodge
  • La conjetura de Hodge explicada para torpes por Dan Freed: http://www.ma.utexas.edu/users/dafr/HodgeConjecture/netscape_noframes.html
  • Martin Lipschutz: Geometría Diferencial. McGraw Hill.
  • Roger Penrose: El camino a la realidad. Debate. 
  • Wikipedia



sábado, 12 de noviembre de 2011

Conocimiento científico y realidad


Metodología científica y predicciones
Simplificando, la metodología científica la podemos sintetizar en un diagrama en el cual C son construcciones mentales (modelos) y P son percepciones dadas por la experiencia. Partimos de una percepción P1 que relacionamos con un concepto, el cual a su vez se relaciona con otros conceptos, de forma que seguimos una cadena conceptual, hasta que llegamos a enunciar una predicción relacionada con una percepción P2. 

 Por ejemplo, comenzamos con la percepción de un objeto que cae que será P1. Lo relacionamos con el concepto “aceleración”, que a su vez conecta con el concepto “aceleración de la gravedad”. Tomamos la aceleración de la gravedad como constante debido que la altura inicial del objeto es pequeña. Usando las ecuaciones de la dinámica de Newton calculamos su velocidad final y el hacemos la predicción del tiempo que tardará en llegar al suelo, que se relaciona con la percepción de la realidad P2. La construcción C simboliza todos los conceptos que hemos usado.

Algunos conceptos de C están totalmente incluidos en él, mientras que otros los están parcialmente; es el caso de considerar constante la aceleración de la gravedad cuando realmente es variable y depende de la distancia a la Tierra. También hay algunos conceptos que quedan totalmente fuera en esta construcción C, como puede ser la gravitación de la teoría de la relatividad general.

Para realizar predicciones científicas necesitamos pues los datos empíricos proporcionados por P1 y el conocimiento racional dado por las construcciones mentales.

Metodología científica y validación de teorías
El mismo esquema nos sirve para mostrar el proceso de validación de una teoría científica: la aceptamos provisionalmente y se comprueba que la predicción P2 se ajusta a los datos observados, confirmando o refutado la teoría.

El conocimiento científico se forma validando teorías. La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿cuantas comprobaciones son necesarias para aceptar una teoría? Pues la verdad es que en general los científicos no suelen ser muy estrictos en éste punto en concreto, frecuentemente unas cuantas observaciones cruciales son suficientes. Esto es así debido a que hay otro elemento a considerar, que es las relaciones establecidas entre los elementos de una teoría, su coherencia lógica, e incluso otras consideraciones más metafísicas como la “elegancia” o la “belleza” de la teoría. 

Un ejemplo bien conocido es la verificación de la teoría de la relatividad general: la teoría predecía una desviación de los rayos de luz en presencia de campos gravitatorios, que fue confirmada midiendo el desplazamiento aparente de una estrella en un eclipse solar. Sólo esta única comprobación se tomó como confirmación, siendo esto así en buena parte porque esta teoría se reconoce como una de las más bellas de la historia de la ciencia. Evidentemente de forma posterior se realizaron muchas otras verificaciones.

La realidad según la ciencia
La ciencia define una realidad dinámica, que crece y se modifica según nuestro conocimiento. Hemos establecido que los elementos que maneja son:
  • datos o percepciones
  • reglas de correspondencia entre datos y modelos
  • modelos
Las reglas de correspondencia relacionan datos y modelos. Los modelos han de ser validados empíricamente, y ser consistentes lógicamente; también se pide que cumplan ciertos requisitos “metafísicos”. Entonces la ciencia va encajando nuevos modelos en los ya existentes. Nos preguntamos ahora, ¿son reales los modelos?, ¿o solo podemos considerar como reales los datos? ¿Y que podemos decir de las reglas de correspondencia?

Realidad de datos y modelos
Es difícil separar los datos de los modelos, ya que se complementan. Para verlo, consideremos el modelo atómico de la materia.
Tal como fue imaginado por Demócrito, no se apoyaba en ningún dato sino más bien en argumentos filosóficos.
En cambio el modelo del átomo de Rutherford se enunció para explicar los datos experimentales de la época, los cuales indicaban que había una concentración de carga positiva en una pequeña área esférica (el núcleo) mientras que la carga negativa estaba dispersa a su alrededor. Este modelo fue una buena representación de la realidad durante un tiempo.


Cuando los experimentos se perfeccionaron tuvimos datos más precisos, y el modelo de Rutherford dejó de ser útil (en el esquema veríamos que la predicción para P2 deja de coincidir con el valor de P2). El siguiente modelo fue el átomo de Bohr en el que los electrones describían órbitas alrededor del núcleo,
Posteriores mediciones más precisas llevaron a revisar el modelo de nuevo para llegar al modelo actual de orbitales del átomo, que ahora mismo es lo más cercano a la realidad que tenemos, pero ¿será definitivo? ¿Hasta que punto podemos considerarlo "real"?
Podríamos pensar que las entidades físicas, permanentes, son independientes de la teorías, que van cambiando. Pero vemos que en la ciencia los datos tienen una precisión determinada, y esa precisión condiciona los modelos explicativos. Y también sucede que los modelos proporcionan predicciones de datos más precisos, o incluso de datos que pueden ser difícilmente verificables, como por ejemplo las ondas gravitatorias. ¿Son reales esos datos no verificados predichos por teorías confirmadas? No parece ser muy consistente decir que los datos son más reales que los modelos. Entonces podemos decir que nuestro conocimiento de las entidades físicas, las entidades mismas y los modelos de las entidades están entrelazados.
Por otro lado los idealistas de la ciencia creen que todos los modelos van evolucionando hacia unos modelos definitivos que expresaran la auténtica realidad, de forma que ya no serán necesarias posteriores revisiones; esto es indemostrable, y de todos modos no es importante para el desarrollo científico.

Realidad y reglas de correspondencia
¿Son reales los números, o son abstracciones mentales sin existencia real? Un número es una propiedad observable de una clase de objetos. El símbolo numérico (denominado numeral) es el objeto abstracto que se corresponde con una propiedad real de un objeto. Por ejemplo, una caja contiene tres lápices; el objeto caja tiene como propiedad observable el contener ese número de objetos, que relacionamos con el numeral “3”.

¿Podemos decir entonces que los números son reales siempre que estén en correspondencia con una propiedad de un objeto real? Como la estimación del número de partículas del universo es del 1080, los números superiores a ese valor no serian reales; en particular los infinitos manejados en matemáticas serían sólo construcciones mentales.

De igual modo podemos razonar respecto a otras construcciones matemáticas. Los grupos de simetría matemáticos parecen ser entidades abstractas, pero las estructuras cristalinas de la naturaleza siguen esos grupos, así que hay una correspondencia, y podemos considerarlos reales en el sentido antes discutido.

Resumen
La epistemología es la doctrina de los fundamentos y métodos del conocimiento científico: analiza los criterios por los cuales se justifica el conocimiento. En este artículo hemos hablado de epistemología sin mencionarla explícitamente: la ciencia realiza predicciones que pueden usarse para fines prácticos y también para validar teorías científicas, en las cuales también valoramos su belleza, simplicidad, y otras cualidades “inmateriales”. Vemos como se forma el conocimiento científico validando teorías, produciendo predicciones, obteniendo nuevos datos más precisos y revisando de nuevo las teorías. Por último, vemos qué podemos considerar “real” en términos científicos.

domingo, 6 de noviembre de 2011

Los fundamentos de la matemática... ¡no están fundamentados!



Introducción
El campo de conocimiento conocido por “fundamentos de la matemática” tiene como objetivo central el dilucidar cómo se establece que una afirmación matemática es cierta o falsa. A nivel práctico, las matemáticas enuncian afirmaciones denominadas teoremas, proposiciones y lemas que se han de demostrar mediante un procedimiento lógico, partiendo de unas premisas, y usando una cadena de razonamientos sin ambigüedades ni falsedades “ocultas”. Hay diferentes corrientes de opinión respecto a los detalles de este proceso, pero no nos equivoquemos pensando que “solo son detalles”, ya que es sabido que “el diablo se oculta en los detalles”. Veremos en efecto que en la forma de llevar a la práctica el proceso de demostración matemática se esconden dificultades que no han sido resueltas, y que se relacionan con campos aparentemente lejanos como el de la inteligencia artificial o el del origen de la vida. Para ello primero pasaremos revista a las tendencias actuales, exponiéndolas primero y mostrando sus carencias a continuación. Es en las carencias donde hay terreno para investigar y avanzar.

Los formalistas
Los formalistas afirman que las matemáticas no son ni más ni menos que un lenguaje preciso, con unas reglas de formación basadas en la lógica. Presentan la matemática como un sistema formal basado en la teoría de conjuntos.

Un sistema formal consiste en un conjunto de enunciados de verdades matemáticas (denominados axiomas), junto con unas reglas de formación de nuevos enunciados ciertos, más las reglas de la lógica bivalente.
Los axiomas son afirmaciones que no se deducen de otras por considerarse evidentes, y sirven como punto de partida para demostrar otras afirmaciones.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema formal que trabaja con los símbolos 0 y 1:

Axioma 1: 0 es válido
Axioma 2: 1 es válido
Regla 1: Si x es válido, entonces x1 también es válido (x => x1)
Regla 2: Si x111 es válido, entonces x0 también es válido (x111 => x0)

Utilizando las reglas a partir de los axiomas podemos construir afirmaciones ciertas en este sistema (teoremas). Por ejemplo:

Teorema: 001 es válido
Demostración: 0 => 01 => 011 => 0111 => 00 => 001
Hemos partido del axioma 1; en el último paso se ha aplicado la regla 2, en los anteriores la regla 1.

En cambio hay cadenas de 0 y 1 que no son teoremas de este sistema, como por ejemplo las cadenas 10, 100, 1000, ... (¿puede ver el lector por qué?). Obsérvese que este sistema formal no contiene operaciones aritméticas, y ni siquiera contiene a todos los números binarios, y por tanto no debemos identificar las cadenas de símbolos formadas con números. Podríamos haber escogido como símbolos cualquier otro, como por ejemplo “a” y “b”.

El atractivo de la formalización es que proporciona un marco preciso de establecimiento de verdades y falsedades; tan preciso es que incluso nos podemos plantear la posibilidad de automatizarlo: podríamos programar un ordenador para que a partir de los axiomas y reglas fuera generando los teoremas automáticamente. Y también podría comprobar si una afirmación es cierta o falsa, comparándola con los teoremas que generaría: si coincide con alguno es cierta, en caso contrario será falsa. 

El “Entscheidungsproblem”, problema enunciado por David Hilbert, pregunta precisamente esto: ¿dado un sistema formal podremos siempre generar un programa para comprobar si una afirmación es cierta o falsa en este sistema? En el apartado “Crítica de las diferentes corrientes” veremos la respuesta a esta pregunta.


Los intuicionistas

Sostienen que las matemáticas son una creación de la mente humana, y todos los “objetos” matemáticos son objetos mentales. No hay una relación real entre objetos matemáticos y la “verdad”, tal como pretenden los formalistas. Algunas corrientes de opinión incluso niegan la existencia de los “fundamentos de las matemáticas” tal como los hemos definido, centrándose totalmente en la las matemáticas como un trabajo práctico, despojándolo de cualquier filosofía o metafísica. 
Es por tanto una postura muy pragmática, que creo que se puede comparar con la interpretación de Bohr (o de Copenhague) de la mecánica cuántica, que renuncia a entender sus fundamentos, contentándose con que los cálculos funcionen y se ajusten a la realidad observada.
La gran ventaja de esta forma de encarar el tema es que anula los problemas que nos encontramos en las otras corrientes de opinión, y es normal que así sea, porque es la menos ambiciosa de todas, renuncia expresamente a obtener un mayor conocimiento de lo que realmente puede ser la matemática, y la reduce a un instrumento, muy útil, muy potente, pero instrumento al fin y al cabo.


Los platónicos
Sostienen que las verdades matemáticas son necesariamente existentes de forma independiente de la mente humana, lo que hacen los matemáticos es descubrir verdades que ya estaban ahí, independientemente de si hay o no alguien para hacerlo.

Para argumentar de forma simple esta postura consideremos la relación existente entre el radio y la longitud de un círculo cualquiera en un espacio euclídeo, el número “pi”: π.
Ya en la antigua Egipto se hicieron cálculos aproximados de su valor. Durante milenios el problema de la “cuadratura del círculo”, calcular exactamente el valor de π, quedó abierto, hasta que en el siglo XVIII Johann Heinrich Lambert demostró (los platónicos dirían que descubrió) que “pi” tenia infinitos decimales, es decir que era un número irracional. Posteriormente el número pi fue apareciendo en infinidad de campos que aparentemente no tienen relación entre sí. Por ejemplo, la probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π². O bien, la serie infinita 1 – (1/3) + (1/5) – (1/7) + (1/9) – (1/11) + ... tiene por suma el valor π/4. También, la ley de Coulomb de la fuerza eléctrica entre dos cargas q, q' separadas por una distancia r en un es proporcional a qq' / (4πr²).

El descubrimiento de la naturaleza de π y su posterior uso en múltiples campos parece indicar que es una constante universal que siempre ha estado ahí, y que la humanidad descubrió en su momento.

Crítica de las diferentes corrientes

En el caso del formalismo, nos preguntamos ¿por qué debemos utilizar unos axiomas y no otros de equivalentes? O bien, ¿cómo podemos estar seguros de la supuesta certeza de los axiomas? También podemos dudar de la lógica: ¿por qué debemos emplear las reglas lógicas clásicas, y no otras más modernas?

Por otra parte con los teoremas de Gödel quedó claro que la noción de la verdad matemática no puede reducirse a un sistema puramente formal, ya que ningún sistema lo suficientemente potente y consistente que sea recursivo (esto es necesario para axiomatizar la teoría elemental de la aritmética en el conjunto infinito de números naturales) podrá evitar tener declaraciones no demostrables por el sistema.

Como respuesta a este problema en las denominadas “matemáticas inversas”, se establece un sistema formal provisional ampliable con más axiomas, de forma que para cada teorema que se puede afirmar en el sistema base pero no es demostrable, el objetivo es determinar el sistema axiomático particular (más fuerte que el sistema de base) que es capaz de demostrar el teorema. En “Gödel, Escher,Bach”, cap. 15e, de Douglas Hofstadter se habla de este procedimiento en términos no técnicos (aunque tampoco sean triviales de entender).

Respecto a la relación existente entre sistemas formales y programación de ordenadores, hay una muy interesante línea de investigación a seguir, que nos lleva desde las máquinas de Turing, pasando por la teoría de la computabilidad, hasta la inteligencia artificial, sus posibles limitaciones y las posibles diferencias entre razonamiento humano y automático: en efecto, hay quien sostiene que los teoremas de Gödel, entre otros razonamientos, muestran la línea divisoria entre mente y máquina, mientras que otros pensadores sostienen que esa línea solo existe por motivos tecnológicos, de forma que en algún momento se podrá crear inteligencia artificial con las mismas propiedades que la humana. En la primera postura tenemos por ejemplo al físico matemático Roger Penrose (ver por ejemplo “La nueva mente del emperador”) y en la segunda al propio Hofstadter. Muy recomendable en este sentido el artículo “Gödel y Turing” del blog El Topo Lógico. En relación a los límites de la inteligencia artificial también hay artículos en este blog.

El enfoque platónico es difícilmente demostrable, ja que tiene un componente metafísico importante, al “elevar” a verdades universales los objetos matemáticos. Así como el formalismo muestra errores de concepto que nos han abierto nuevas líneas de investigación, el considerar el origen de la verdad matemática como inalcanzable, por tener una existencia propia, deja a mi entender al enfoque platónico más cerrado y más estéril en el sentido de producir ideas nuevas. Lo cual no quiere decir que sea falso ni cierto, quien sabe. Exponentes célebres de este enfoque son el propio Kurt Gödel y Roger Penrose.

En el otro extremo el intuicionismo al renunciar al estudio de los fundamentos de las matemáticas por considerarlo poco práctico cae en mi opinión en el mismo problema que el platonismo, privándonos de nuevas teorías que sí ha producido y sigue produciendo el formalismo.

Conclusión
Vemos pues que no hay respuesta a día de hoy a la pregunta original, ¿cómo se establece que una afirmación matemática es cierta o falsa? Podemos decir que los fundamentos de la matemática... ¡siguen aún sin fundamentos!

Realidad, física cuántica y misticismo

Ayer estuve revisando un librito que tengo desde hace años, se titula " El espíritu en el átomo : una discusión sobre los misterios de...