miércoles, 22 de junio de 2016

¿Podemos entender la Naturaleza sin complicadas Matemáticas?

La Matemática está presente en todas las ciencias y técnicas, desde la Física hasta la Biología, incluso en ciencias sociales tiene un aporte importante, como en Economía o en Sociología. No obstante, se considera una de las materias más difíciles de los planes de estudio. Además, la complejidad del tratamiento matemático llega a ser muy alta incluso en casos aparentemente simples, dos ejemplos tomados de la Física:

Ejemplo 1: Cuerpos en interacción gravitatoria: La ley de Newton para la fuerza gravitatoria establece que dos cuerpos de masas m y M se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a la distancia que los separa, y se expresa con una ecuación simple:

F = m·M / d²

Con la ayuda de las ecuaciones de la mecánica, se plantea el problema del movimiento de dos cuerpos aislados (si no están aislados el problema se complica más) que interactúan entre sí gravitatóriamente (conocido como "problema de los dos cuerpos"), que resulta ser no trivial, ya que su solución analítica conduce a una familia de órbitas, que son curvas planas de segundo orden (cónicas), sólo con dos cuerpos ya tenemos un problema a nivel de primer ciclo de carrera universitaria.
En general, dos cuerpos en movimiento sujetos a su fuerza mutua gravitatoria describen órbitas que son cónicas: circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas.

Ahora bien, si introducimos un tercer cuerpo (problema de los tres cuerpos), aislados para hacerlo más simple, ¡el problema se convierte en irresoluble!, y sólo podemos realizar simulaciones aproximadas por ordenador. 
Al tratar con el movimiento de tres cuerpos sometidos a interacción gravitatoria, nos encontramos con que es irresoluble matemáticamente, no podemos calcular sus trayectorias.

Ejemplo 2: Péndulo plano: si en un péndulo simple como el de la figura, esto es, con movimiento plano, con una cuerda inextensible con masa despreciable, y pequeña amplitud de oscilación,  aumentamos la amplitud, el péndulo deja de ser "simple" matemáticamente hablando, y para describir el ángulo que forma la cuerda con la vertical necesitamos usar funciones elípticas., que son funciones definidas a través de una integral (de tipo elíptico) demasiado complicada para resolverla analíticamente. Estamos de nuevo a nivel Universitario, a pesar de que el péndulo es, en apariencia, muy simple.

Simple Pendulum Oscillator.gif
Péndulo simple, Fuente: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5316727






















¿Hay alguna razón profunda que explique esta complejidad de la Naturaleza, que vemos incluso en casos muy simples? ¿Es acaso cierta la hipótesis neoplatónica, al afirmar que hay un "mundo de ideas" gobernando este "mundo de sombras"? Un mundo de ideas que sería muy matemático, muy complejo y muy exacto, si de él ha de emanar toda la complejidad que vemos. Veamos dos propuestas al respecto, que yo sepa, son propias, así que no puedo dar ninguna fuente bibliográfica para ellas.

Propuesta 1: la información incompleta necesita una matemática complicada

Personalmente creo que la Naturaleza es óptima, no desperdicia recursos, no hace las cosas complicadas porque sí; una posible explicación sería decir la complejidad que vemos la vemos debido a que nuestra mirada sólo ve parte del total, no es completa, y por tanto tiene que inferir desde la parte observada el comportamiento global. Esta explicación bebe de las fuentes de la Inferencia Estadística; en efecto, si queremos hacernos una idea, por ejemplo, de la intención de voto en una población de 100.000 habitantes, tomaremos una muestra, de por ejemplo 500 ciudadanos, y con sus datos inferiremos, más o menos, la intención de la población. El hecho de no tener toda la información complica las cosas: incluso para escoger cuales de los 100.000 habitantes van a ser encuestados tendremos que usar técnicas de muestreo estadístico, y después para estimar la intención de voto general necesitaremos las técnicas de Estadística Inferencial.

Estadística inferencial: técnicas matemáticas para poder escoger una muestra pequeña  que sea representativa de toda una población grande, y usarla para obtener conclusiones válidas de toda la población en estudio.


Está claro que, si encuestamos a todos los 100.000 habitantes, la complejidad se reduce a cero, pues tenemos todos los datos, no nos hace falta todo ese instrumental estadístico, aunque el coste puede ser inasumible en la práctica. En la ciencia en general ¿podemos encontrarnos en una situación parecida? Los datos experimentales no nos darían toda la información real disponible, por lo que para inferir regularidades, leyes, etc, necesitamos un aparato matemático potente.

 

Propuesta 2: Las leyes naturales son simples, nuestro enfoque es el complicado

Nuestra mente lo quiere controlar todo para que actúe en nuestro provecho; así, no nos basta con saber que el aire, pese a ser tan tenue, al moverse a gran velocidad puede generar una gran fuerza, queremos saber los detalles para ser capaces de fabricar molinos eólicos, alas de aviones, etc. Tampoco nos basta con saber que hay una fuerza natural intangible llamada electricidad que se manifiesta en las tormentas eléctricas, queremos controlarla hasta el punto de saber almacenarla, producirla y aprovecharla en motores eléctricos, en iluminación, etc.

Este control preciso requiere situarlo todo en unas coordenadas de espacio y de tiempo, así como conocer las leyes que, dadas unas causas, producen posteriormente unos efectos. La Naturaleza, de por sí, no calcula nada, no hay ningún "reloj cósmico" que va marcando unos tiempos a un "ordenador cósmico" el cual va produciendo efectos  a partir de las causas preexistentes. Hay unas leyes naturales, eso seguro, pero no tienen una expresión matemática (recordemos que estamos en la propuesta 2, no estoy afirmando, sino proponiendo); es cuando queremos colocar esas leyes en el marco de nuestro familiar espacio y tiempo cuando obtenemos complicadas leyes matemáticas. Nosotros hemos inventado el pensamiento matemático, la Naturaleza no lo necesita para nada, pues no hay ninguna mente racional dirigiendo los sucesos, simplemente suceden. Este enfoque está muy relacionado con el que expuse anteriormente en mi serie de artículos sobre el génesis y la evolución, especialmente en el último artículo, Génesis (III): ¿evolución o creación?.

Ciencia divulgativa

Quizás debido a esta complejidad matemática, hay mucha gente que ha renunciado a entender el mundo que le rodea, tanto el natural como el artificial; ¿cómo y por qué brilla el Sol, llueve, hierve el agua, vuelan los pájaros, etc? ¿cómo es posible que un tren de alta velocidad, de muchas toneladas de peso, se mueva impulsado por una "corriente" invisible? ¿cómo funciona la iluminación LED? etc, etc, etc. Es por esto que considero que deberíamos disponer de más ciencia y técnica divulgativa, explicando las cosas con rigor pero sin aparato matemático complicado, usando modelos simples. Los modelos son construcciones mentales que nos ayudan a entender un ente real; hay modelos que incorporan mucha matemática, otros en cambio son muy visuales y apelan a la lógica y a la imaginación. Creo que nos falta una buena producción divulgativa usando un mínimo de complejidad y un máximo de claridad; incluso me atrevo a decir que podrían usarse con éxito tales obras en entornos académicos, ya que suele pasar que se le dan al estudiante modelos muy matemáticos, de forma que se pierde en los detalles sin llegar a entender realmente el todo (la famosa frase de los árboles que impiden ver el bosque).

Recientemente he conocido el caso de un estudiante de una nueva modalidad de bachillerato (denominado internacional) que se suponía iba a ser innovador en el terreno pedagógico, pero a la hora de la verdad ha resultado ser más de lo mismo: pesados libros de texto y explicaciones del profesor en la pizarra; la novedad que he visto estriba en la complejidad: el estudiante de primer curso ha de enfrentarse, en la asignatura de Física, a la Relatividad Restringida, cosa que si se hiciera de modo divulgativo estaría muy bien, pero es que trabajan con transformaciones de Lorentz, algunas con demostraciones matemáticas incluidas, e incluso con diagramas de Minkowsi del espacio-tiempo; en vez de intentar hacer entender los fundamentos, se introduce más aparato matemático en el temario, más complejidad. Creo firmemente que este no es el camino correcto. Puede aprenderse mucha Física (o ciencia en general) sin complicaciones técnicas matemáticas, que pueden dejarse para los especialistas interesados en los detalles.

Ejemplo: el movimiento de fluidos por conductos es una rama de la Física y de la Ingeniería que produce ecuaciones realmente complicadas, teniendo un buen número de casos sin resolver, que se han de tratar con simulación por ordenador. Incluso casos simples como el flujo de un líquido por una tubería ancha, paralela al suelo, a baja velocidad, ya necesita usar ecuaciones que quedan fuera del entendimiento del lector no especialista (ecuaciones de Navier-Stokes).
Modelo para el flujo de fluidos. Pero esto no quiere decir que no seamos capaces de entender el detalle de lo que sucede en ese flujo, siempre que no queramos predecir exactamente, en el espacio y en el tiempo, las medidas de presión, velocidad, etc del fluido. Podemos usar un modelo simple: el imaginar que el líquido está compuesto por unas pequeñas esferas, invisibles a simple vista; tales esferas son muy fuertes, son casi incompresibles, no ceden bajo presión, pero pueden rodar y deslizar, entre ellas y con las paredes del recipiente; al hacerlo, se producen unos rozamientos, unas pérdidas de energía, debido a la viscosidad del líquido.

Un líquido en movimiento en una tubería recta, según el modelo de esferas; hay una presión P que mueve el fluido a la derecha, y unas resistencias Fr debido al roce del fluido con las paredes y Fv debido al roce entre las esferas (viscosidad del fluido), éste último es mucho menor que Fr, por lo que las velocidades de las esferas no son las mismas: son mayores en el centro de la tubería, y menores cerca de las paredes
En la figura anterior vemos un esquema de lo que sucede al aplicar una presión a un fluido usando el modelo de esferas; las velocidades de éstas no son todas iguales pues los rozamientos son mayores en las paredes que entre esferas, por lo que las velocidades varían de forma continua entre un máximo en el centro de la tubería y un mínimo cerca de las paredes.
Una presión perpendicular a la superficie del líquido no produce ningún cambio en él, ya que estamos presionando las esferas intentando aplastarlas, en cambio una presión tangencial desplaza las esferas, las hace rodar, y así el fluido en conjunto se mueve.

Izquierda: una fuerza tangencial, si no hay paredes que lo impidan, hace que las esferas rueden entre sí: el líquido se desplaza. Derecha: una fuerza perpendicular a la superficie de un líquido confinado no produce ningún movimiento, las esferas no pueden rodar libremente
Las esferas pueden rodar una contra las otras, o deslizar; en el primer caso, rodamiento, la pérdida por fricción no existe o es casi cero, en el caso de deslizamiento sí tenemos fricción apreciable, relacionada con la viscosidad del fluido. Cuando un fluido no puede moverse por estar confinado en un recipiente, ejercerá una presión sobre sus paredes.
La fuerza F sobre una esfera se transmite a las esferas próximas perpendicularmente a las superficies de separación entre ellas. Las esferas que tocan las paredes del recipiente transmiten esas fuerzas a las paredes, las cuales han de ejercer una fuerza resultante R sobre el líquido para mantenerlo confinado, si esa fuerza R es demasiado grande para el material del recipiente, éste se deformará y/o romperá debido a la presión excesiva del líquido.
Usando el modelo de esferas es fácil entender el principio de Pascal, tratado en todos los textos pre-universitarios de forma enunciativa, "la presión ejercida en cualquier lugar de un fluido encerrado e incompresible se transmite por igual en todas las direcciones en todo el fluido", se añaden fórmulas matemáticas, y se hacen problemas para ayudar a "entender" el principio, pero de hecho no suele explicarse por qué sucede.
Principio de Pascal: las esferas confinadas se transmiten la fuerza F, aplicada por un émbolo a la izquierda, entre sí y a las paredes del recipiente, el cual ha de responder con fuerzas opuestas para mantener el liquido confinado; al haber más esferas en la parte derecha, cada una ejerce la misma fuerza transmitida, y la fuerza total sobre el émbolo es mayor (en la figura, el doble) que la de la izquierda. No hay ninguna "magia en este aumento de fuerza aplicada, pues es el propio recipiente el que la realiza (suma de todas las contribuciones de las paredes).

Estoy convencido de que exponer la ciencia de forma comprensiva pero rigurosa, con ayuda de ilustraciones y animaciones, complementada con prácticas de laboratorio, y eludiendo en lo posible el uso de matemáticas, tendría un resultado positivo en la comprensión del estudiante e incluso podría aumentar el número de aspirantes a científicos, pues a todo el mundo le gusta entender de verdad el mundo que nos rodea.

Como último ejemplo, mencionaré el recurso didáctico del cómic: una forma amena, sencilla y no obstante rigurosa para estudiar historia, economía, ciencias, etc; en la ilustración vemos una página del cómic sobre economía Economix (fuente: http://economixcomix.com/), he de decir que me ayudó a entender la Economía mundial de forma sencilla y a la vez con un detalle que no había conseguido leyendo decenas de blogs y algún que otro libro de texto.

Economix: un (excelente) cómic sobre Economía






24 comentarios:

  1. Super interesante. Yo estudié ciencias empresariales, las conclusiones que quité y que se utilizaban era estadística para medir y algebra para calcular resultados... Aunque la matemática sea lo más practico que hay las explicaciones son super teóricas... Y mucha gente se pregunta ¿para qué sirven??... Seguro que lo más interesante, para un matemático, sea la descripción matemática de la naturaleza, pero yo creo que esto aún no está conseguido, sino casi conseguido a través de fractales por ejemplo, o en vías a través del numero aureo...

    De todas formas ver este proceso que llevará siglos resulta muy interesante...

    La verdad es posible que todo se pueda calcular o medir, aunque estas palabras son muy toscas, pues los aparatos de medida y la ciencia de medida geométrica como la trigonometría son toscas de más y muy poco sensibles... pero tiempo al tiempo!!!...

    Por otra parte aparte de que hace falta una supersensibilidad la aritmética es muy bruta, muy tosca, por ejemplo me imagino calcular el estampado de una tela, a través de la medida, de la aritmética yo creo que sería posible a través de fractales, que es lo ultimo!!

    Cuando dicen que la matemática posee una belleza fría y austera como la de una escultura, creo que hay reside su problema de definición de lo natural, que es de lo más sensible a diferencia de las susodichas matemáticas, que son toscas y aparatosas...

    El reto que veo ahí es representar la matemática con funciones, quizás aquí este el kit de la cuestión, porque todo debe de ser definición, que es una función mismo...

    Pero, a fin de cuentas yo creo que se sabe muy poco sobre los números, y su alcance, asimismo son limitados; solo son unidades, lo que se puede contar, pero no cuentan con características propias de ningún tipo, o aun no está estudiado!!...

    Me resulto muy interesante el artículo, felicitaciones!!

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  2. Yo tras reflexionar creo como los matemáticos árabes y de al andaluz que la mejor forma de llegar al conocimiento de la naturaleza es a través de los instrumentos de medida como la óptica y la imagen y también a través de la medicina en búsqueda de una súper inteligencia o mejoramiento del cuerpo humano en base a la investigación. En cuanto a la matemática racional, alemana, China, francesa yo creo que la solución está en la geometría y sobre esto leo sobre matemática rusa pues todo es geometría o bien rectas y curvas. Para mi que no soy ningún genio la solución está en la observación directa de la naturaleza...

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    1. Gracias por comentar petalolimon, son interesantes tus reflexiones. Mi intuición es que cada vez queremos conocer (y controlar) la Naturaleza en más y más detalle, desde el Cosmos hasta la estructura misma de la materia-energía, y eso implica una complejidad enorme.

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    2. disculpe yo creo que esa complejidad de comprender la estructura de la materia- energia, estaría en MICROSCOPIO ELECTRÓNICO donde aumentar hasta ver más allá de los átomos la estructura de la materia, más allá de protones electrones neutrones, o de ver bosones fermiones etc, he visto que los científicos tienen su mirada puesta en el desarrollo de microscopio electrónicos de gran potencia......

      https://es.wikipedia.org/wiki/Microscopio_electr%C3%B3nico

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  3. Yo creo que a veces uno entiende mejor en "estado de gracia" cuando nace y es simple e inocente y no después de memorizar tanto, a mi me pasa... lo tengo pensado las intuiciones son más puras y la conciencia más clara, creo que saber demasiado en algunas personas puede ser incluso una "maldita" maldición!! dejo por aquí este enlace...: https://www.youtube.com/watch?v=Rk_sAHh9s08

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  4. Aquí para comentar estas imágenes yo me pregunto si en físicas será la presión (el peso) el que determina las condiciones de frio y calor, y por tanto la termodinámica, que dará luego lugar a la energía, y la electricidad y este espacio que genera el peso y la presión dará lugar al espectro electromágnetico de la luz, corríjame...

    La física no dejan de ser conjeturas salidas de una mente lúcida de más como la de un adivino: conjetura








    nombre femenino
    Juicio u opinión formado a partir de indicios o datos incompletos o supuestos.
    "se había formado la cadena de sucesos irreales sobre una conjetura demasiado pueril; la conjetura o hipótesis del historiador es la que parece más verosímil; el investigador interroga a la realidad acerca del acierto o el error de sus conjeturas"

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    1. No es eso, el frio/calor, o sea la temperatura de la materia, viene determinada por la velocidad media de las moléculas, o sea por su energía cinética. La presión ejercida por un peso en principio no tiene nada que ver con lo anterior. Por otro lado la luz es inmaterial, así que su "temperatura", que no es exactamente temperatura sino energía, pues no posee moléculas ni energia cinética, viene dada por la frecuencia de sus oscilaciones. En resumen, todo es cuestión de energía. Saludos.

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  5. y es este peso, esta presión la que genera las fuerzas...

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  6. La presión atmosférica puede cambiar con la temperatura




    La presión del aire también puede cambiar con la temperatura. El aire caliente se eleva y la presión baja. Por otro lado, el aire frío baja y la presión atmosférica sube. De ahí derivan los términos “presión baja” y “presión alta”.

    Una de las reglas generales del pronóstico del tiempo es que cuando hay presión baja se pueden formar tormentas. La presión alta, en general, se asocia con el buen clima.

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  7. https://extension.illinois.edu/treehouse_sp/images/15902_1_large.jpg

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  8. Para estudiar la teoría cuántica: electrones, protones, neutrones y función onda, deberían de tener máquinas para medir el sonido y la vibración de las cuales no se habla, o yo no tengo conocimiento de ellas... Un espectómetro, un interferómetro, no se habla nada de esto: en mis clases de física no hacíamos experimento alguno!!!:



    El espectrómetro, espectrofotómetro o espectrógrafo, es un aparato capaz de analizar el espectro de frecuencias característico de un movimiento ondulatorio. Se aplica a diferentes instrumentos que operan sobre un amplio campo de longitudes de onda.

    Un espectrómetro óptico o espectroscopio, es un instrumento que sirve para medir las propiedades de la luz en una determinada porción del espectro electromagnético. La variable que se mide generalmente es la intensidad luminosa, pero se puede medir también, por ejemplo, el estado de polarización electromagnética. La variable independiente suele ser la longitud de onda de la luz, generalmente expresada en submúltiplos del metro, aunque algunas veces pueda ser expresada en cualquier unidad directamente proporcional a la energía del fotón, como la frecuencia o los electrón-voltios que mantienen una relación inversa con la longitud de onda. Se utilizan espectrómetros en espectroscopia para producir líneas espectrales y medir sus longitudes de onda e intensidades.

    En general, debido a las diferentes técnicas necesarias para medir distintas porciones del espectro, un instrumento concreto sólo operará sobre una pequeña porción de este campo total. El analizador de espectro es un dispositivo electrónico muy parecido por debajo de las frecuencias ópticas (es decir, microondas y radiofrecuencia).

    Esta herramienta puede usar para ver los espectros de emisión generados por los elementos al absorber o emitir fotones energéticos. De las frecuencias de onda, un muy pequeño prisma es visible al ojo humano, entre los rayos ultravioleta y los infrarrojos; el espectrómetro da una visión más clara de estos.

    Cabe resaltar que cada elemento tiene un espectro particular, y que dependiendo de su estructura química algunos reaccionan más rápido que otros, por lo que algunos espectros de emisión no requieren una descarga energética muy grande, mientras que otros una mayor. En 1920, por ejemplo el científico Niels Bohr escribió sus postulados con base en la descarga energética que le dio a un átomo de hidrógeno, dando la idea para que un espectrómetro fuera construido.


    El interferómetro es un instrumento óptico que emplea la interferencia de las ondas de luz para medir con gran precisión longitudes de onda de la misma luz.

    Hay muchos tipos de interferómetros, en todos ellos se utilizan dos haces de luz que recorren dos trayectorias ópticas distintas, determinadas por un sistema generalmente de espejos y prismas que, finalmente, convergen para formar un patrón de interferencia.

    Áreas de aplicación: agricultura, biotecnología, cosméticos, ciencias de la tierra, de la atmósfera y mineralogía, control medioambiental, alimentos y bebidas, ciencia forense, medicina y química clínica, investigación militar, industria del petróleo, industria farmacéutica, ciencia de los polímetros, ciencia de los materiales, industria textil, etc.

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  9. Un luxómetro (también llamado luxmetro o light meter) es un instrumento de medición que permite medir simple y rápidamente la iluminancia real y no subjetiva de un ambiente. La unidad de medida es el lux (lx).

    Luxómetro - Wikipedia, la enciclopedia libre



    https://es.wikipedia.org/wiki/Luxómetro

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  10. No había estas máquinas en nuestro laboratorio ¿alguien tomo estas medidas??: 12.8.- APARATOS DE MEDIDA ELÉCTRICOS




    Las magnitudes básicas que se emplean en electricidad (tensión, intensidad de la corriente y resistencia eléctrica) se miden con unos aparatos que son imprescindibles para cualquier técnico de la electricidad o de la electrónica. Veamos cuales son:



    1. Para medir la tensión (V) (también llamado voltaje) se utiliza el voltímetro. Recuerda que la unidad de medida de la tensión es el voltio.
    2. Para medir la intensidad de la corriente eléctrica (I) se utiliza el amperímetro. Recuerda que la unidad de medida de la intensidad de corriente es el amperio.
    3. Para medir la resistencia eléctrica (R) se utiliza el óhnimetro. Recuerda que la unidad de medida de la resistencia eléctrica es el ohmio.

    https://www.edu.xunta.gal/centros/cafi/aulavirtual2/mod/page/view.php?id=25231&inpopup=1

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  11. En el caso de los trenes creo que es un motor de reacción con una turbina: http://alpoma.net/tecob/?p=9173

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  12. https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/714uGXmNxDL.jpg

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  13. Estas máquinas estos instrumentos de medida parecen protohistoricos como estará esto y no nos lo dicen si se estudiará todo por ordenador con programas de cálculo!!!!: ver vídeo: https://m.youtube.com/watch?v=kEew8rdW2Wo

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  14. Las matemáticas en el fondo no son complicadas son los números y las operaciones que se hacen con ellos. La geometría es la representación de estas operaciones gracias a funciones y gráficas!!

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    1. De ahí vienen representaciones gráficas como los fractalrs, debe de ser el futuro!!!!

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  15. Está todo en una buena calculadora y las que habrá por ahí con programas informáticos!!!

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  16. Yo soy bastante bueno en cálculo matemático pero eso que tiene ahí un físico, si recaerá todo no en CÁLCULO sino en la demostración de las fórmulas, al menos es lo que yo veía en 2º de BUP, la asignatura que tuve era todo de demostración de fórmulas y se me daba muy bien y aunque no tenía literatura científica la asignatura iba comprendiendo las fórmulas al demostrarlas, pero no veía ahí nada de cálculo matemático propiamente dicho!!!!!....

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  17. o sea en la lógica de las demostraciones, no en cálculo matemático, a mi el cálculo se me da bien, pero ahí en físicas lo que veo son demostraciones lógicas no cálculo en eso!!!

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  18. eso de la física ¿¿si será cálculo matemático?? yo creo que es cálculo lógico, es decir demostraciones perfectas de unas fórmulas a otras, de verdad que se me daban bien estas demostraciones en 2º de BUP, todo unas a partir de otras, yo creo que es "imposible" entender las fórmulas aisladas a partir de la naturaleza de la operación que se hace ahí, si no es con la historia de la fórmula todas unas a partir de otras y perfectas todas ellas......

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  19. La verdad estudié ciencias empresariales y algo de economicas como podría haber estudiado matemáticas pues en el instituto no bajaba del 8 la verdad no entiendo realmente como no me atrae la física como lo hacen las matemáticas me parece algo tan exacto... y mire que no le dan la importancia ni los efectos de la física si se meterán todos los ingenieros en física... este libro La feria de las Vanidades de William Makepeace Thackeray, resume mi espíritu empresarial y mi ideología de como el comercio puede cambiar el mundo y educar a una persona, la verdad me paso el día en la biblioteca y entre tiendas y librerías... y en alimentación el comercio es la fiesta de la vida y de la comodidad y te acerca varios milenios al futuro...!!! La universidad donde estudié era el lugar más parecido que podía haber al título de este libro, cuando estudiaba economicas todo estaba lleno de hijos de empresarios: https://images.app.goo.gl/fvRGTpVYgNP6UHFaA

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    1. Francamente petalolimon, hacer un comentario o dos, o abrir un hilo con el autor de un blog, es muy positivo para el blog, pero hacer 20 comentarios como ha hecho usted sobre el mismo artículo, uno detras de otro, sin nadie más que abra conversación, es como mínimo inusual; creo y le recomiendo que deberia volcar todo ese contenido suyo en un artículo nuevo en su propio blog, y en todo caso aquí en el mio me pone un vínculo a su artículo invitando a leerlo. Mucho más práctico y ordenado. Gracias. Saludos.

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