La conjetura de Hodge para “dummies”

Introducción
La conjetura de Hodge es una de los llamados “problemas del milenio” propuestos por el Clay Mathematics Institute, cada uno de los cuales está premiado con un millón de dólares para el investigador que los resuelva. En general para el no iniciado no es fácil entender los enunciados de estos problemas, de hecho lo más común es no entender en absoluto lo que se pide. Éste suele ser el caso de la conjetura de Hodge , y es así incluso para matemáticos profesionales que no están trabajando en el campo de la topología algebraica. En este sentido se han realizado charlas y presentaciones para mostrar el sentido de la conjetura al público no especializado. En éste artículo intento mostrar el significado y utilidad práctica de la conjetura para los lectores no matemáticos pero interesados en la ciencia. Evidentemente un conocimiento de matemáticas en general a nivel universitario será de gran ayuda.

Este artículo se presenta al Carnaval de Matemáticas edición 2.8, que está alojado en el bloc Ciencia Conjunta.

A continuación traduzco la descripción oficial del problema, ligeramente retocada. En lo que sigue definiremos los conceptos básicos necesarios para entender el significado y la importancia de esta conjetura. Empezaremos por las definiciones de geometrías y espacios no euclídeos, siguiendo con las construcciones matemáticas llamadas variedades.




Descripción oficial
En el siglo XX los matemáticos descubrieron técnicas muy generales para investigar las formas de objetos complicados en espacios abstractos. La idea básica es preguntar en qué medida podemos aproximar la forma de un objeto dado construyéndolo a partir de bloques simples de dimensión cada vez mayor. Esta técnica resultó ser tan útil que tiene muchas generalizaciones diferentes, llevando eventualmente a potentes herramientas que han permitido hacer a los matemáticos grandes progresos en la catalogación de la variedad de objetos que encontraron en sus investigaciones. Desafortunadamente, los orígenes geométricos del procedimiento, más intuitivos,  se oscurecieron en esta generalización. En cierto sentido, era necesario añadir bloques que no tenían ninguna interpretación geométrica.

La conjetura de Hodge afirma que para los tipos especialmente útiles de  espacios llamados variedades algebraicas proyectivas, los “bloques de construcción“ llamados ciclos de Hodge son en realidad  combinaciones (racionales lineales) de otros bloques geométricos llamadas ciclos algebraicos. Veamos que significa esto y que aplicaciones tiene.

Geometrías no euclídeas
La geometría euclídea es la que aprendemos en la escuela, la más intuitiva; sus principios rectores fueron postulados por Euclídes en su tratado Elementos.

En el siglo XIX se empezó a pensar en la posibilidad de postular geometrías alternativas que no cumplieran todos los postulados de Euclides. Por ejemplo el quinto postulado afirma que si una recta corta a otras dos con  ángulos internos cuya suma sea menor que 180 grados entonces esas dos rectas prolongadas se cortan. Negando ese postulado pero manteniendo los otros cuatro se llega a las geometrías hiperbólicas.

Veamos otra geometría no euclídea: de los postulados de Eucĺides se deduce que las posiciones relativas de dos rectas no coincidentes y sus puntos de corte pueden ser de dos formas posibles:
          


La geometría proyectiva en cambio enuncia que todo par de rectas se cortan en un punto: define el punto del infinito, de forma que cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en ese punto del infinito. El punto del infinito no se considera especial, al contrario, es un punto más.


Entonces todo conjunto de rectas paralelas tendrá un punto en el infinito común.  El conjunto de todos los puntos en el infinito forman una recta,  la recta del infinito. Esta construcción se corresponde con los puntos de fuga visuales: las vías del tren, paralelas, vistas desde la perspectiva del ojo parecen cortarse en un punto.

Así, en la geometría proyectiva, todas las rectas se cortan, tanto si son paralelas como si no; este hecho facilita los desarrollos teóricos, al eliminar el caso especial de rectas paralelas.


El plano complejo
Un número complejo x se define por x = a + bi, donde i² = -1. En el plano complejo asociamos a cada complejo x un punto de coordenadas (a,b). El eje horizontal representa los números reales y el eje vertical los denominados números imaginarios.

Los complejos son de gran utilidad práctica en ingeniería eléctrica y electrónica, en Física y por supuesto en Matemáticas.


Proyección estereográfica
Sea un círculo de radio unidad en el plano; si trazamos rectas desde el punto N del “polo norte” del círculo, cortaran al eje horizontal en un punto P', y al círculo en otro punto P.

Si imaginamos el mismo esquema pero con una esfera de radio unidad, entonces el eje horizontal será un plano horizontal (el plano ecuatorial), y las rectas que parten de N seguirán definiendo los puntos de corte P' y P. Se define P' como la proyección estereográfica de P. Cualquier punto de la esfera se representa como un punto del plano; para el punto N su proyección será el punto del infinito.



Espacios proyectivos complejos
Como antes, consideremos una esfera de radio unidad pero ahora el plano ecuatorial será el plano complejo C.  La esfera estará situada en el espacio complejo C², formado por parejas de complejos (x,y), y se conoce por la esfera de Riemann. Si nos fijamos en el conjunto de rectas proyectivas de C² que parten de N, se define el espacio proyectivo complejo CP¹ como ese conjunto de rectas. Observemos que al definir el espacio proyectivo “hemos bajado” una dimensión: desde C² definimos CP¹. Así, la esfera de Riemann define el el espacio proyectivo complejo de una dimensión, también llamado línea proyectiva.



Si en vez de usar el plano complejo C como plano ecuatorial, usamos el espacio C², necesitaremos una esfera en C³ (espacio formado por ternas de puntos (x,y,z) complejos) que obviamente ya no podemos representar gráficamente. Pero las ideas son las mismas, y obtendríamos el espacio CP², el plano proyectivo complejo. En general, usando n+1 dimensiones complejas obtenemos un espacio proyectivo CP(n).

Formas algebraicas en el espacio  CP²; variedades
El el espacio CP² podemos definir rectas, círculos y cualquier otra figura geométrica; en general una variedad algebraica en CP² es el conjunto de puntos de C³ que cumplen una ecuación algebraica F(x,y,z) = 0. Las variedades (manifold en inglés) son generalizaciones de las figuras que conocemos del espacio euclídeo a espacios abstractos de cualquier dimensión.

Otro tipo de variedad es la variedad topológica: son aquellas que, si las “observamos con una lupa”,  veremos que en pequeñas porciones la variedad “parece” un espacio euclídeo; de forma más técnica se dice que localmente las variedades topológicas son homomorfas al espacio euclídeo.

Una subclase muy importante de las variedades topológicas son las variedades diferenciables: localmente son suficientemente “suaves” para poder aproximarlas por un plano euclídeo. La esfera (en cualquier número de dimensiones) es un ejemplo de variedad topológica diferenciable.

El concepto de variedad es fundamental para muchas partes de la geometría y la física matemática moderna, ya que permite estudiar estructuras más complicadas que se expresan y se entienden en términos de las propiedades relativamente bien entendidas de variedades en espacios.

Subvariedades
Una subvariedad es un subconjunto de puntos de una variedad elegidos de tal manera que dicho subconjunto es a su vez una variedad.

En  nuestro viaje hacia la conjetura de Hodge hasta ahora tenemos un espacio “suave” que localmente se asemeja el espacio euclidiano, pero a mayor escala ese "espacio" es diferente, y que se describe por un grupo de ecuaciones. Lo que hacemos ahora es dividir ese espacio en partes geométricas más pequeñas y simples: las subvariedades. Esto nos permite simplificar el estudio de las propiedades de variedades abstractas, al descomponerlas en subvariedades más simples. Pero antes introducimos el concepto de topología.


Topología y espacios topológicos
La topología estudia las propiedades más fundamentales de toda la geometría, en el sentido de que es más fácil que dos objetos geométricos sean topológicamente equivalentes que usando cualquier otra teoría geométrica, como la algebraica. Por ejemplo, dos figuras aparentemente tan distintas como un “donut” (hablando en propiedad tal figura es un “toro”) y una jarra son topológicamente equivalentes porque se puede convertir una en otra mediante deformaciones continuas sin rasgar ni cortar:

 Por lo tanto una herramienta básica en el estudio de las geometrías más complicadas y abstractas es considerar su estructura topológica.

Un espacio topológico es una estructura matemática simple formada por un conjunto S, un conjunto T de subconjuntos de S, y unas reglas  referentes a las uniones e intersecciones de los subconjuntos de T. Por ejemplo, los números reales (el conjunto S) junto con los intervalos de reales (a,b) (todos ellos forman el conjunto T) y algunas propiedades básicas de los números definen el espacio topológico de los reales.

Es una estructura simple porque sólo depende de la teoría de conjuntos. Por otra parte se puede relacionar la topología de un espacio con su métrica (la forma como medimos distancias); en estos espacios topológicos métricos se definen y estudian distancias entre conjuntos, así como proximidades, fronteras de conjuntos, etc.

Tipos de espacios
Hasta ahora hemos definido diferentes tipos de espacios: euclídeos, proyectivos, reales, complejos, diferenciables, topológicos... Es importante tener en cuenta que estas clasificaciones se superponen. Así, por ejemplo, podemos considerar en el espacio proyectivo complejo C² una medida de la distancia, con lo cual lo dotamos de una métrica (con lo cual será un espacio métrico); si además consideramos sus propiedades topológicas, entonces tratamos a C² como espacio topológico métrico.


Homotopías, homologías, grupos y clases
Cuando se estudian los espacios vectoriales se trabaja con sus subespacios, más simples; de la misma misma forma,  se estudia un espacio topológico mirando subespacios topológicos, como curvas o superficies. Puesto que hay muchos posibles subespacios, se introduce una relación de equivalencia (permite realizar una clasificación de los subespacios en clases de equivalencias):   la homotopía, o invariabilidad de deformación.

Esta relación de equivalencia en la práctica es todavía complicada; otra más sencilla de calcular es la homología: dos figuras geométricas dentro de un espacio dado son homólogas si juntas forman el contorno de una figura de dimensiones superiores.

La motivación original para la definición de grupos de homología es la observación de que un aspecto importante de la forma de un objeto son sus huecos cerrados (“agujeros”). Debido a que un hueco es algo que "no existe", no es trivial definir un agujero, o cómo distinguir entre diferentes tipos de agujeros. La homología es un método matemático riguroso para detectar y clasificar huecos,

Por ejemplo las vocales {A, E, I, O, U} consideradas como formas se pueden clasificar en dos clases: sin huecos cerrados {E, I, U} y con un hueco cerrado {A, O}.

A cualquier espacio topológico X se puede asociar un conjunto Hk (X), siendo k un número natural,  cuyos elementos son clases de homología. El tamaño y la estructura de Hk (X) ofrece información sobre el número de “agujeros” en X.



Por ejemplo, un “toro” en el espacio euclídeo es una superficie de revolución que se obtiene cuando un círculo gira alrededor de una recta que está en su plano sin cortarlo. Algebraicamente se expresa como la combinación lineal de dos círculos distintos, como se muestra a la derecha: uno de color rosa y otro de rojo. Hablando informalmente, cada círculo es una clase de homología del toro.

Topológicamente, esto significa que un camino cerrado que primero rodea al hueco del toro  (como  el círculo rosa) y después da la la vuelta al cuerpo del toro  (como el círculo rojo) se puede deformar a un camino que primero rodea al cuerpo y luego al hueco. El toro tiene una generalización a dimensiones más altas, el toro n-dimensional, o el n-toro, para abreviar, que se forma combinando  n círculos. El toro del espacio euclídeo es un 2-toro.


Ciclos algebraicos
Ahora que ya tenemos los conceptos de variedad, sub-variedad y clases de homología, podemos definir los “bloques” elementales que aparecen en la conjetura de Hodge.

Primero de todo, decir que un resultado general es que en una variedad, que hemos visto que se define por unas ecuaciones, sus sub-variedades, también definidas por unas ecuaciones, se pueden separar en clases de homología que “recubren” la variedad.

En particular, un ciclo algebraico de una variedad algebraica V es  una clase de homología en V que se puede expresarse como una combinación lineal de las subvariedades de V.

El estudio de los ciclos algebraicos es en uno de los principales objetivos de la geometría algebraica de las variedades en general, siendo muy útil para descubrir propiedades. La dificultad es: demostrar la existencia de ciclos algebraicos es relativamente fácil, pero los métodos actuales  para construirlos son deficientes. Si tuviéramos métodos prácticos de construcción de clases de homologías de variedades (como los ciclos  algebraicos) se podría probar la existencia de subvariedades con ciertas propiedades deseables prefijadas utilizando cálculos de homología. Ello nos daría un potente instrumento de estudio de las variedades en general.

Ciclos de Hodge
Un ciclo de Hodge es un tipo especial  de  clase de homología en una variedad compleja algebraica que cumple ciertas condiciones específicas que no reproduciremos aquí. Se define por tanto de forma distinta a los ciclos algebraicos. Recordemos que la existencia de subvariedades con  “buenas” propiedades de homología nos facilita el estudio de las variedades en general; pues bien, los ciclos de Hodge estan definidos de forma que tienen esas buenas propiedades. La descripción detallada de dichas propiedades, su justificación, etc, son temas especializados que quedan fuera del ámbito de este artículo.

La conjetura de Hodge
Hemos visto que los espacios topológicos son simples en el sentido de que se  definen por una pocas propiedades; supongamos que en un cierto conjunto, que podría ser una variedad A, definimos una topología, y también definimos un subconjunto B de A que es diferenciable (recordemos que las variedades diferenciables son una subclase de las variedades topológicas).

Tenemos una variedad proyectiva compleja “suave" en el espacio proyectivo CPn que se describe por un grupo de ecuaciones de tal manera que tiene dimensión par (esto es así porque los números complejos tienen dimensión 2, y la dimensión resultante de CPn será (n+1)·2, que es par) . Luego tomamos la topología de la variedad y la dividimos en partes geométricas más pequeñas llamadas "ciclos de Hodge".

La conjetura afirma que: para los tipos de espacios llamados variedades algebraicas complejas proyectivas, los ciclos topológicos de Hodge son iguales a combinaciones racionales lineales de ciclos algebraicos.

Aplicaciones en cálculo diferencial e integral en variedades
Una forma diferencial es una generalización de los conceptos de derivada, vector gradiente, rotacional, etc del espacio euclídeo, aplicados a variedades diferenciables en espacios abstractos. Resulta ser que en espacios diferenciables existe una relación entre las clases de homología de los ciclos y las clases de equivalencia de las formas diferenciables.

Por otra parte, la integral definida de una función real f(x) en un intervalo (a,b) es una suma que realizamos sobre una linealización de la función, usando el concepto de diferencial dx:


Generalizando este concepto a funciones complejas integradas sobre variedades,


el intervalo (a,b) se transforma en la variedad A, y el integrando f(x)dx en la forma diferencial dw; la expresión anterior es el enunciado del teorema de Stokes, que relaciona la integral sobre la variedad con la integral sobre la frontera de la variedad, dA. Gracias a la descomposición de la variedad en elementos más simples, los ciclos, se simplifica el estudio de la diferenciación y de la integración en variedades. También el campo de estudio de las ecuaciones diferenciales se beneficia de la teoría de los ciclos y variedades.  


Fuentes de información

  • Wolfram Matworld: http://mathworld.wolfram.com
  • Blog de la mula Francis: http://francisthemulenews.wordpress.com/?s=hodge
  • La conjetura de Hodge explicada para torpes por Dan Freed: http://www.ma.utexas.edu/users/dafr/HodgeConjecture/netscape_noframes.html
  • Martin Lipschutz: Geometría Diferencial. McGraw Hill.
  • Roger Penrose: El camino a la realidad. Debate. 
  • Wikipedia



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