Los fundamentos de la matemática... ¡no están fundamentados!

Introducción

El campo de conocimiento conocido por “fundamentos de la matemática” tiene como objetivo central el dilucidar cómo se establece que una afirmación matemática es cierta o falsa. A nivel práctico, las matemáticas enuncian afirmaciones denominadas teoremas, proposiciones y lemas que se han de demostrar mediante un procedimiento lógico, partiendo de unas premisas, y usando una cadena de razonamientos sin ambigüedades ni falsedades “ocultas”. Hay diferentes corrientes de opinión respecto a los detalles de este proceso, pero no nos equivoquemos pensando que “solo son detalles”, ya que es sabido que “el diablo se oculta en los detalles”. Veremos en efecto que en la forma de llevar a la práctica el proceso de demostración matemática se esconden dificultades que no han sido resueltas, y que se relacionan con campos aparentemente lejanos como el de la inteligencia artificial o el del origen de la vida. Para ello primero pasaremos revista a las tendencias actuales, exponiéndolas primero y mostrando sus carencias a continuación. Es en las carencias donde hay terreno para investigar y avanzar.

Los formalistas

Los formalistas afirman que las matemáticas no son ni más ni menos que un lenguaje preciso, con unas reglas de formación basadas en la lógica. Presentan la matemática como un sistema formal basado en la teoría de conjuntos.

Un sistema formal consiste en un conjunto de enunciados de verdades matemáticas (denominados axiomas), junto con unas reglas de formación de nuevos enunciados ciertos, más las reglas de la lógica bivalente.

Los axiomas son afirmaciones que no se deducen de otras por considerarse evidentes, y sirven como punto de partida para demostrar otras afirmaciones.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema formal que trabaja con los símbolos 0 y 1:

Axioma 1: 0 es válido

Axioma 2: 1 es válido

Regla 1: Si x es válido, entonces x1 también es válido (x => x1)

Regla 2: Si x111 es válido, entonces x0 también es válido (x111 => x0)

Utilizando las reglas a partir de los axiomas podemos construir afirmaciones ciertas en este sistema (teoremas). Por ejemplo:

Teorema: 001 es válido

Demostración: 0 => 01 => 011 => 0111 => 00 => 001

Hemos partido del axioma 1; en el último paso se ha aplicado la regla 2, en los anteriores la regla 1.

En cambio hay cadenas de 0 y 1 que no son teoremas de este sistema, como por ejemplo las cadenas 10, 100, 1000, ... (¿puede ver el lector por qué?). Obsérvese que este sistema formal no contiene operaciones aritméticas, y ni siquiera contiene a todos los números binarios, y por tanto no debemos identificar las cadenas de símbolos formadas con números. Podríamos haber escogido como símbolos cualquier otro, como por ejemplo “a” y “b”.

El atractivo de la formalización es que proporciona un marco preciso de establecimiento de verdades y falsedades; tan preciso es que incluso nos podemos plantear la posibilidad de automatizarlo: podríamos programar un ordenador para que a partir de los axiomas y reglas fuera generando los teoremas automáticamente. Y también podría comprobar si una afirmación es cierta o falsa, comparándola con los teoremas que generaría: si coincide con alguno es cierta, en caso contrario será falsa. 

El “Entscheidungsproblem”, problema enunciado por David Hilbert, pregunta precisamente esto: ¿dado un sistema formal podremos siempre generar un programa para comprobar si una afirmación es cierta o falsa en este sistema? En el apartado “Crítica de las diferentes corrientes” veremos la respuesta a esta pregunta.

Los intuicionistas

Sostienen que las matemáticas son una creación de la mente humana, y todos los “objetos” matemáticos son objetos mentales. No hay una relación real entre objetos matemáticos y la “verdad”, tal como pretenden los formalistas. Algunas corrientes de opinión incluso niegan la existencia de los “fundamentos de las matemáticas” tal como los hemos definido, centrándose totalmente en la las matemáticas como un trabajo práctico, despojándolo de cualquier filosofía o metafísica. 

Es por tanto una postura muy pragmática, que creo que se puede comparar con la interpretación de Bohr (o de Copenhague) de la mecánica cuántica, que renuncia a entender sus fundamentos, contentándose con que los cálculos funcionen y se ajusten a la realidad observada.

La gran ventaja de esta forma de encarar el tema es que anula los problemas que nos encontramos en las otras corrientes de opinión, y es normal que así sea, porque es la menos ambiciosa de todas, renuncia expresamente a obtener un mayor conocimiento de lo que realmente puede ser la matemática, y la reduce a un instrumento, muy útil, muy potente, pero instrumento al fin y al cabo.

Los platónicos

Sostienen que las verdades matemáticas son necesariamente existentes de forma independiente de la mente humana, lo que hacen los matemáticos es descubrir verdades que ya estaban ahí, independientemente de si hay o no alguien para hacerlo.

Para argumentar de forma simple esta postura consideremos la relación existente entre el radio y la longitud de un círculo cualquiera en un espacio euclídeo, el número “pi”: π.
Ya en la antigua Egipto se hicieron cálculos aproximados de su valor. Durante milenios el problema de la “cuadratura del círculo”, calcular exactamente el valor de π, quedó abierto, hasta que en el siglo XVIII Johann Heinrich Lambert demostró (los platónicos dirían que descubrió) que “pi” tenia infinitos decimales, es decir que era un número irracional. Posteriormente el número pi fue apareciendo en infinidad de campos que aparentemente no tienen relación entre sí. Por ejemplo, la probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π². O bien, la serie infinita 1 – (1/3) + (1/5) – (1/7) + (1/9) – (1/11) + ... tiene por suma el valor π/4. También, la ley de Coulomb de la fuerza eléctrica entre dos cargas q, q' separadas por una distancia r en un es proporcional a qq' / (4πr²).

El descubrimiento de la naturaleza de π y su posterior uso en múltiples campos parece indicar que es una constante universal que siempre ha estado ahí, y que la humanidad descubrió en su momento.

Crítica de las diferentes corrientes

En el caso del formalismo, nos preguntamos ¿por qué debemos utilizar unos axiomas y no otros de equivalentes? O bien, ¿cómo podemos estar seguros de la supuesta certeza de los axiomas? También podemos dudar de la lógica: ¿por qué debemos emplear las reglas lógicas clásicas, y no otras más modernas?

Por otra parte con los teoremas de Gödel quedó claro que la noción de la verdad matemática no puede reducirse a un sistema puramente formal, ya que ningún sistema lo suficientemente potente y consistente que sea recursivo (esto es necesario para axiomatizar la teoría elemental de la aritmética en el conjunto infinito de números naturales) podrá evitar tener declaraciones no demostrables por el sistema.

Como respuesta a este problema en las denominadas “matemáticas inversas”, se establece un sistema formal provisional ampliable con más axiomas, de forma que para cada teorema que se puede afirmar en el sistema base pero no es demostrable, el objetivo es determinar el sistema axiomático particular (más fuerte que el sistema de base) que es capaz de demostrar el teorema. En “Gödel, Escher,Bach”, cap. 15e, de Douglas Hofstadter se habla de este procedimiento en términos no técnicos (aunque tampoco sean triviales de entender).

Respecto a la relación existente entre sistemas formales y programación de ordenadores, hay una muy interesante línea de investigación a seguir, que nos lleva desde las máquinas de Turing, pasando por la teoría de la computabilidad, hasta la inteligencia artificial, sus posibles limitaciones y las posibles diferencias entre razonamiento humano y automático: en efecto, hay quien sostiene que los teoremas de Gödel, entre otros razonamientos, muestran la línea divisoria entre mente y máquina, mientras que otros pensadores sostienen que esa línea solo existe por motivos tecnológicos, de forma que en algún momento se podrá crear inteligencia artificial con las mismas propiedades que la humana. En la primera postura tenemos por ejemplo al físico matemático Roger Penrose (ver por ejemplo “La nueva mente del emperador”) y en la segunda al propio Hofstadter. Muy recomendable en este sentido el artículo “Gödel y Turing” del blog El Topo Lógico. En relación a los límites de la inteligencia artificial también hay artículos en este blog.

El enfoque platónico es difícilmente demostrable, ja que tiene un componente metafísico importante, al “elevar” a verdades universales los objetos matemáticos. Así como el formalismo muestra errores de concepto que nos han abierto nuevas líneas de investigación, el considerar el origen de la verdad matemática como inalcanzable, por tener una existencia propia, deja a mi entender al enfoque platónico más cerrado y más estéril en el sentido de producir ideas nuevas. Lo cual no quiere decir que sea falso ni cierto, quien sabe. Exponentes célebres de este enfoque son el propio Kurt Gödel y Roger Penrose.

En el otro extremo el intuicionismo al renunciar al estudio de los fundamentos de las matemáticas por considerarlo poco práctico cae en mi opinión en el mismo problema que el platonismo, privándonos de nuevas teorías que sí ha producido y sigue produciendo el formalismo.

Conclusión

Vemos pues que no hay respuesta a día de hoy a la pregunta original, ¿cómo se establece que una afirmación matemática es cierta o falsa? Podemos decir que los fundamentos de la matemática... ¡siguen aún sin fundamentos!