La naturaleza del espacio y del tiempo (III): ¿es digital el espacio?

En las últimas dos décadas la Física ha adquirido una nueva visión sobre cómo el Universo almacena información. Incluso hay hipótesis que afirman que la información, y no la materia o la energía, es el elemento básico de construcción. En ellas se afirma que el Universo es un holograma. Para llegar a tal hipótesis, necesitaremos repasar el concepto de entropía y aplicarlo a los agujeros negros cuánticos.

Concepto estadístico de entropía
Partículas confinadas en una caja
Originalmente la entropía se introdujo en el estudio termodinámico de las máquinas térmicas, pero posteriormente se generalizó en el marco de la Mecánica Estadística; es este concepto que que necesitamos. La Mecánica Estadística trata con sistemas físicos de un elevadísimo número de componentes, típicamente partículas; por ejemplo el estudio estadístico de las moléculas de un gas en   equilibrio relaciona los paràmetros de las partículas (posición, velocidad, masa...) con los parámetros del gas (temperatura, presión, ...).



En Mecánica Estadística se define un microestado del sistema como cada configuración posible de sus partículas. Por ejemplo, si tenemos un sistema de sólo tres partículas confinadas en una caja de volumen V, cada microestado podría estar definido por las posiciones y las velocidades de las tres partículas:

microestado: (x1, x2, x3, v1, v2, v3)

Las coordenadas deben de tener valores compatibles con las dimensiones de la caja, y las velocidades estarán en el intervalo [0, c), siendo c la velocidad de la luz.

Sea N el número de microestados posibles de un sistema. Definimos su entropía como

S = k·ln(N)

Microestados
siendo k la constante de Boltzmann 1,38/10²³ en unidades internacionales. 
En un sistema macroscópico, el valor de N es enorme; pensemos en un litro de aire a temperatura ambiente, que contiene del orden de 10¹⁶ moléculas, cada una de ellas tiene un volumen del orden de 10⁻²⁴ litros. Por tanto, si comprimimos el gas todo lo posible (ignoremos ahora efectos cuánticos) todas estas moléculas ocuparian sólo un volumen del orden de 10⁻⁸ litros. Esto implica que hay un número enorme de posibilidades de colocar las moléculas en el volumen del gas, de hecho se trata del clásico problema de combinatória: ¿de cuántas maneras podemos colocar n objetos distinguibles (las partículas) en m cajas distinguibles? Aquí, las cajas, son las posibles posiciones de cada partícula en la caja (para simplificar, obviamos las velocidades). 

Segundo principio de la Termodinámica y la flecha del tiempo
Gas confinado en un recipiente
Imaginemos que tenemos aire comprimido en un recipiente cerrado por una espita que comunica con otro volumen mayor. Si abrimos la espita, esperaremos que el gas se expanda y ocupe todo el volumen disponible en los dos recipientes. Desde el punto de vista de la entropía, tenemos que al abrir la espita el número de microestados posibles N' es  mucho mayor que el de antes N, con lo cual la entropía ha aumentado al abrir la espita y conectar los dos recipientes.  La generalizacióna cualquier sistema la da el segundo principio de la Termodinámica:

Cuando un sistema aislado entra en desequilibrio (abrimos la espita), espotáneamente evolucionará a otro estado de equilibrio (el gas ocupa los dos recipientes) con una entropía mayor. Equivalentemente: los estados de equilibrio se distinguen por tener la entropía máxima (cualquier otro estado de no-equilibrio ha de aumentar su entropía para llegar al equilibrio). 

La entropía debe aumentar con el tiempo
El segundo principio también se relaciona con el sentido del tiempo: la flecha del tiempo. En efecto, si tomamos , y vemos que endos fotografias de un recipiente una de ellas las partículas estan distribuidas por todo el recipiente (entropía grande), y en la otra estan agrupadas de forma compacta en una esquina (entropía más pequeña), de acuerdo con el segundo principio supondremos que la primera fotografia se tomó después que la segunda. 

Entropía e información
Otra aplicación importante de la entropía la relaciona con la cantidad de información disponible sobre un sistema. Pensando de nuevo en las dos fotografias de un recipiente, vemos que la de la derecha tiene una disposición altamente ordenada, de baja entropía, y la de la izquierda es altamente desordenada (y con alta entropía). De este modo podemos relacionar el aumento de entropía con el aumento de desorden del sistema. Pero el orden y el desorden pueden relacionarse con la información: para localizar cada partícula en la disposición ordenada, basta con saber dos números: la posición de una de ellas y la distáncia que las separa (la misma para todas). En cambio en la disposició desordenada necesitamos la posición de cada partícula por separado: 9 números. Así, la disposición ordenada nos proporciona más información sobre el sistema, pues sólo debemos completarla con dos números para determinar completamente els sistema. 

¿Entropía gravitatoria?
Hemos repasado el concepto de entropía tomando el ejemplo clásico de las moléculas de un gas; en este caso, tener el gas concentrado en una región pequeña es tener un estado de baja entropía. Pero en cosmologia, si estudiamos la evolución de la entropía de una nube de gas debido a la gravedad, las cosas van justo al revés: inicialmente el gas está disperso en una región grande, y debido al carácter atractivo de la gravedad, la nube de gas se irá contrayendo con el tiempo. Si mantenemos la regla de hacer corresponder el aumento de entropía con la flecha del tiempo, entonces a medida que disminuye el tamaño de la nube aumentará su entropía. Esto parece ir en contra del concepto que teníamos de entropía, asociado al grado de desorden del sistema. ¿Quizá la gravedad no cumple la segunda ley de la termodinámica? Veamos...

Fuerzas entrópicas
Cuando extendemos una banda de goma, ésta se opone. ¿Por qué la goma tira hacia atrás cuando se la estira? Se podría pensar que es porque una banda elástica estirada tiene más energía que una sin estirar. Eso sería una explicación correcta para un muelle de metal. Pero el caucho no funciona de esa manera. En su lugar, una banda de goma estirada  tiene menos entropía que una en reposo,  y esto también puede causar una fuerza.

Las moléculas de caucho son como largas cadenas. En reposo estas cadenas pueden disponerse en un montón de formas onduladas al azar. Sin embargo, cuando se estira una de estas cadenas, el número de disposiciones disminuye, e incluso puede llegar a ser la unidad: un único camino, un segmento recto. Cuando tenemos muchos estados posibles mezclados tenemos alta entropía, y cuando tenemos pocos la entropía es menor. Por tanto, al estirar la goma, disminuimos su entropía. Por la segunda ley, la goma tiende a la máxima entropía (recordemos que los estados de equilibrio tienen esa propiedad), y de ahí la fuerza que notamos que tiende a volver la goma a su longitud original. Este es un ejemplo de explicación de una fuerza en términos de entropía: las denominamos fuerzas entrópicas.


La gravedad como fuerza entrópica: la segunda ley generalizada.
Que la gravedad no es una fuerza como las demás de la naturaleza ya quedó claro en la interpretación que hace de ella la Teoría General de la Relatividad: la trata como una consecuencia indirecta de la deformación del espacio-tiempo. 

Recientemente (2009), Erik Verlinde ha propuesto considerar la gravedad como una fuerza entrópica, o sea que aparece de forma emergente debido a la tendencia a la máxima entropía. Volveremos sobre ello posteriormente, antes tenemos que ver como aplicamos la entropía a las singularidades del espacio-tiempo denominadas agujeros negros.

¿Que pasa con las estrellas que colapsan por efecto de su propia gravedad, generando un agujero negro? Deberíamos acordar que un agujero negro tiene una entropía gravitatoria máxima, debido a que el espacio ocupado por la estrella se reduce a cero. Se formará un agujero negro siempre que la estrella en colapso tenga suficiente masa, del orden de como mínimo 3 veces la del Sol.

Además, debido a que muy cerca del centro del agujero negro tenemos enormes deformaciones del espacio-tiempo, entramos en el campo de la Mecánica Cuántica, que es válida para distancias ultra-cortas. Así pues, un adecuado tratamiento de la entropía del agujero negro debe de lidiar con la Relatividad General y con la Mecánica Cuántica a la vez.

Horizonte de sucesos: representación artística.

La famosa y muy notable fórmula de Bekenstein-Hawking proporciona la entropía de un agujero negro, relacionando las dos teorías mencionadas:

S = kc³A / 4Gh

donde k: constante de Boltzmann, c: velocidad de la luz, A: área de la superficie del horizonte de sucesos del agujero negro, G: constante gravitatoria de Newton, h: constante de Planck. El horizonte de sucesos es una esfera que rodea al agujero negro que marca el límite que, de ser traspasado, la gravedad arroja al agujero negro cualquier cosa material o inmaterial (radiación). Vemos que la entropía depende de la superfície de la esfera, no de su volumen.


La indestructible información cuántica
Un postulado fundamental de la mecánica cuántica es que la información completa acerca de un sistema cuántico está codificado en su función de onda. Además, la evolución en el tiempo de la función de onda está determinada por un operador unitario, la cual cosa implica que la información se conserva en el sentido cuántico.

Aquí hay dos grandes principios en juego: el determinismo cuántico, y la reversibilidad. Determinismo significa que, dada una función de onda actual, sus cambios futuros son determinados únicamente por el operador de evolución. La reversibilidad se refiere al hecho de que el operador temporal tiene una inversa, en teoría cambiando el sentido del tiempo volveríamos al punto de partida. Al combinar los dos principios obtenemos que la información siempre debe ser preservada.


En cambio en un sistema macroscópico la evolución en el tiempo suele ser irreversible, debido a la interacción con otros sistemas, intercambio de energía, etc. Por ejemplo, si quemamos un libro, perdemos la información escrita en él de forma irreversible, ya que tenemos un proceso térmico, una combustión, con intercambio de oxígeno con el entorno y transformaciones químicas. He visto en más de un texto este ejemplo de la quema de un libro como ejemplo erróneo de indestructibilidad de la información, enunciando que tampoco se pierde (!): es cierto sólo para información cuántica.


¿Se destruye la información cuántica en los agujeros negros?
A mediados de 1970, Stephen Hawking y Bekenstein Jacob presentaron argumentos teóricos basados ​​en la relatividad general y la teoría cuántica de campos que ponían como incompatibles la Física de los agujeros negros con la conservación de la información cuántica: los cálculos indicaban que el agujero negro radiaba energía sin ninguna estructura (radiación de Hawking) de forma que no conserva la información. A esta aparente contradicción se le ha llamado "la paradoja de la información", y todavía no está del todo resuelta (ver por ejemplo "la apuesta de Thorne–Hawking–Preskill"), aunque en 2004 Hawking admitió que era posible que la radiación del agujero negro devolviera al exterior parte de la información extraída de los objetos que cayeron más allá del horizonte de sucesos.

El principio holográfico

Modelo holográfica que aparece en la
vidriera de la lencería Empreinte de París. ;-)
Fuente: http://www.diariolarepublica.net


Para reconciliar el principio de no destrucción de la información cuántica con la implacable destrucción que parecen generar los agujeros negros, surgió la teoría de la información holográfica: supone que la información (cuántica) de un objeto que se precipita en el agujero negro debe de quedar almacenada, de alguna forma, en la superficie del horizonte de sucesos (recordemos que es una esfera). Ello implica que la información de objetos tridimensionales se guarda en una superficie bidimensional: la superficie de la esfera del horizonte de sucesos. Es el mismo principio de los hologramas, que cuando se iluminan reproducen un objeto en tres dimensiones, usando sólo dos para guardarlo.



Raphael Bousso (Universidad de Berkeley) en 1999 extendió el concepto holográfico más allá de los agujeros negros: la información de cada partícula cuántica, electrones, quarks, etc, se almacenaría en una superficie; esa información se proyecta sobre el mundo y crea nuestra realidad. Herman Verline (Princeton) opina que incluso el propio espacio-tiempo puede ser un fenómeno emergente fruto de la proyección del holograma cuántico.

Escala de Planck: ¿información digital?
El problema con la teoría holográfica es que nadie sabe como se almacena la información cuántica. Una posibilidad viene de la mano del principio de incertidumbre, en virtud del cual existe una escala de lo "muy pequeño" a partir de la cual el mero concepto de distancia pierde su significado: nos referimos a la escala de Planck: 1.36·10⁻³⁵ metros. Si dividimos cualquier superficie en casillas cuadradas de la longitud de Planck, tendremos la superficie mínima medible, que para el caso de almacenamiento de la información, seria el "bit" del Universo. Entonces una posibilidad seria pensar que la información a partir de la que emerge el Universo está codificada en esos minúsculos bits.

El experimento de Craig Hogan
Interferómetro: haces de luz láser interfieren entre sí.
Craig Hogan (Chicago, director del Fermilab Center for Particle Astrophysics)  ha diseñado un experimento para intentar detectar las variaciones de información en los bits del Universo. Como en un ordenador digital, a medida que el Universo cambia de estado, deben de producirse modificaciones en la memoria digital. Se trata de un dispositivo que usa interferometría:  haces de luz láser se dividen, cruzan e interfieren entre sí usando espejos. Detectores convenientemente situados amplifican y detectan cualquier modificación en la distancia recorrida por la luz. Si se detectan estos cambios, implicará que a la escala de Planck, el espacio-tiempo es cuántico y digital. Los cambios que intenta detectar Hogan se producen con una frecuencia del orden de un millón de veces por segundo.


Para saber más
  • El camino a la realidad. Roger Penrose.
  • Investigación y Ciencia, abril 2012.




Comentarios

  1. Bueno a mi me surge la duda: cuando Einstein habla de viajes en el tiempo calculando la velocidad de la luz, esto que supone que el objeto en el viaje no va a chocar contra la materia?? ¿o que está hablando de un universo virtual de luz??, no lo entiendo...!!

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