La naturaleza del espacio y del tiempo (II)

En el anterior post hablamos de las trayectorias en el espacio-tiempo. En éste trataremos sobre el tiempo como coordenada, más específicamente, intentaremos explicar que significado tiene en Relatividad el considerar el tiempo como un número imaginario. Para ello comenzamos con un breve repaso de los números complejos, para el lector no iniciado, pasamos luego a la Relatividad Restringida (transformación de Lorentz y espacio-tiempo complejo de Minkowski) y terminamos con el tiempo imaginario en la Relatividad General.

Números reales y números complejos

Recordemos que los números reales representan un punto en una línia continua. Estan formados por la unión de los números racionales (aquellos que pueden expresarse como un cociente de enteros a/b) con los los números irracionales, que son aquellos que no pueden expresarse como un cociente, y en cambio tienen una expansión decimal a-periódica:

Ejemplos de racionales: 5/6, -1/2, 0, ...
Ejemplos de irracionales: 71/3 =1,91293118277239...,  π = 3,14159265358979

Recta real, mostrando algunos enteros e irracionales

Una propiedad fundamental de los reales es que el cuadrado de un número real no puede ser un número negativo: x² > 0 , y si x² = 0 és que x = 0.

Por contraste, definimos los números imaginarios como aquellos que al elevarlos al cuadrado resulta un número negativo, z² < 0. Para cada número real podemos asociar un número imaginario:

x real <=> x·i imaginario, donde i² = -1 , es decir, i × i = -1 

El número i se llama la unidad imaginaria.

Plano complejo: reales en eje horizontal, imaginarios en eje vertical

Combinando los reales y los imaginarios en un par (x, y) donde x es real e y es imaginario, obtenemos un número complejo z = (x,y), que podemos representar gráficamente en el plano usando el denominado diagrama de Argand, en el cual el eje horizontal representa la recta real, y el eje vertical la recta imaginaria.

Los números complejos tienen muchas propiedades interesantes, pero para nuestros propósitos nos fijaremos en dos.

Módulo y argumento de z

La primera es que cada complejo z = (x,y) tiene asociado un módulo r tal que r² = x² + y², y también un argumento: el ángulo θ con el eje real.

Producto de complejos

La segunda es que cuando multiplicamos dos complejos z*w con módulos r y s argumentos A y B respectivamente, obtenemos un complejo con módulo r*s y argumento A + B .

Esto puede verse como que el complejo w transforma al complejo z multiplicando su módulo y girándolo un ángulo B.

Transformación de Lorentz

Volvamos al espacio-tiempo, concretamente al definido por la Relatividad restringida. Es sabido que en el origen de la teoría está la observación experimental de que la velocidad de la luz c es la misma en cualquier sistema de referencia (ver por ejemplo los experimentos de Michelson-Morley).

Para relacionar las coordenadas de un punto en dos sistemas de referencia que estan en movimiento uno respecto al otro, de forma que se cumpla la constancia de c, es necesario imponer que el tiempo no es absoluto, sino que es diferente en cada referencia. La transformación de Lorentz cumple con los requisitos. En la figura vemos el caso de dos sistemas de referencia que se mueven paralelamente en la dirección del eje x con velocidad v.

Sistemas de referencia en movimiento relativo

 

Debido a que el tiempo no es absoluto para todos las referencias, sino que depende de ellos, la transformación de Lorentz opera en el espacio-tiempo, con coordenadas (x,y,z,t). Su expresión para el caso de referencias que se mueven paralelamente en la dirección del eje x con velocidad v es:

 

Espacio-tiempo de Minkowski: tiempo imaginario

Vamos a tratar de forma diferenciada a la coordenada temporal; supongamos que el eje temporal no contiene números reales, sino imaginarios. Para simplificar, sólo nos fijaremos en una dimensión espacial, digamos x. Entonces los puntos del espacio-tiempo (x,t) son números complejos. Además, fijaremos la unidad de longitud del eje t igual a c, de forma que para un tiempo t, el punto correspondiente del eje t será ict, donde i: unidad imaginaria.

¿Que ventajas tiene esta suposición? Sea el suceso z=(x,t) en la referencia 1; el mismo suceso en la referencia 2 tendrá coordenadas z'=(x',t'), y vendrà dada por la transformación de Lorentz. Se cumplen las siguientes propiedades:

• La transformación de Lorentz L(z) = z' equivale a aplicar una rotación al vector z
• El módulo s = x² – c²t² del vector z es invariante respecto las transformaciones (rotaciones) de Lorentz.

Sucesos en el espacio de Minkowski

En la figura vemos un mismo suceso representado en tres referencias distintas, resultando tres puntos A, A' y A'', con el mismo módulo invariante s.

Algebraicamente, podemos enunciar que la transformación de Lorentz es una transformación ortogonal en el espacio de Minkowski.

Además, si aplicamos dos transformaciones L y L' a un suceso z, L'(L(z)), equivaldrá a girar el suceso un ángulo a + b, siendo a, b los ángulos de giro de L y L' respectivamente. Una aplicación práctica de esta propiedad es la deducción de la ley de adición de velocidades de Einstein, que usando complejos y ángulos de giro no ofrece dificultad:

donde u, u' son las velocidades de un móvil en la referencia 1 y 2, que se mueven una respecto a otra con velocidad v. En la siguiente tabla vemos el resultado de aplicar esta ley, para una velocidad v =0,5c, i distintas velocidades u' (en múltiplos de c). Contrariamente a lo que nos dice la intuición, u no es igual a la suma de v + u', excepto para velocidades muy inferiores a c. La velocidad límite en todo caso nunca supera a c.

Realmente, ¿qué significa un tiempo imaginario?

Podemos pensar que el suponer un tiempo imaginario es un mero artificio matemático útil para la deducción de fórmulas. ¿O bien tiene un significado físico? Creo que en Física siempre podemos aprender algo de la realidad si observamos atentamente el aparato matemático utilizado. En el caso de los números complejos, las propiedades que nos interesan son la rotación y la periodicidad.

Potencial e intensidad alternas.

La utilización de magnitudes complejas en Física es frecuente, pues es conveniente usarlas cuando el fenómeno en estudio presenta variaciones periódicas. 

Por ejemplo en corriente alterna la resistencia, denominada impedancia, al paso de la corriente eléctrica en un circuito se considera que tiene dos componentes, una real y otra imaginaria, z = a + ib, siendo a la parte real del número complejo y b su parte imaginaria. Con ello resulta que la diferencia de potencial y la intensidad de corriente que circula no son constantes, sino que presentan oscilaciones periódicas.

Los fenómenos ondulatorios también se benefician de las propiedades de los complejos; la ecuación del movimiento de una onda plana es:

Observemos la unidad imaginaria i en el exponente, que indica que la amplitud u es un número complejo. También en Mecánica Cuántica la probabilidad de que un objeto cuántico se encuentre en un punto del espacio-tiempo se expresa mediante una ecuación compleja:

 

De nuevo, observemos la unidad imaginaria i en el primer término del miembro de la derecha.

Así pues, concluimos que los números complejos son útiles para expresar oscilaciones periódicas así como giros de variables en el espacio. Volvamos a la Relatividad.

Alternativa: tiempo real, métrica no euclídea

Aunque inicialmente tuvo éxito la introducción del espacio complejo de Minkowski para trabajar con las ecuaciones relativistas, rápidamente aparecieron nuevas tendéncias, entre las cuales la más aceptada fue el volver a un espacio-tiempo real, pero abandonando el espacio euclídeo. Recordemos que en un espacio euclídeo la ruta más corta entre dos puntos es el segmento de recta que los une, y la distancia entre esos dos puntos viene dada por la longitud del segmento, que es lo que se denomina métrica Euclídea. Pero al introducir la coordenada tiempo, y debido a la forma de la transformación de Lorentz, forzosamente hemos de abandonar la métrica Euclídea en favor de métricas más generales, como la métrica de Riemann. El espacio de Minkowski, aunque complejo, es “plano”, no tiene curvatura intrínseca, es Euclídeo.

Además, como es sabido, la Relatividad General es básicamente una teoria geométrica que utiliza un espacio-tiempo curvado por la gravedad, por lo que el uso de métricas no Euclídeas es una forma de unificar las dos teorias, la Relatividad Restringida y la General. 

Más modernamente resurgió el uso del tiempo complejo en Relatividad debido principalmente a los trabajos de Stephen Hawking en Relatividad Cuántica y en el estudio de singularidades espacio-temporales: los agujeros negros y el big-bang. Lo vemos en el siguiente apartado.

Tiempo imaginario y agujeros negros

Basándose en consideraciones termodinámicas, y usando las ecuaciones de la Relatividad General, Hawking y otros demostraron en 1973 que un agujero negro tenia una temperatura (muy baja, de alrededor de 10⁻⁶ grados Kelvin), la cual cosa implica que debe radiar algo de energia, al contrario de lo que se creia hasta entonces: que sólo captaba materia y energia, sin emitir nada en absoluto.

Poco tiempo después, en 1976, Gibson y Perry utilizaron números complejos para resolver la ecuación de Einstein de la Relatividad General, 

Para el caso de un agujero negro, vieron que, por consideraciones de regularidad de la solución, y otras consideraciones termodinámicas, el tiempo complejo, y por tanto periódico, tenia un período T que... ¡era precisamente la temperatura de Hawking del agujero negro! 

Desde entonces se ha hecho habitual el uso del tiempo imaginario en Cosmología Cuántica, tanto en el estudio de la Física de los agujeros negros como en la del Big-Bang inicial. Así, en la actualidad, encontramos consideraciones como:

“Si hacemos la integral de camino en un espacio-tiempo plano con un período T en la dirección del tiempo imaginario, obtenemos la función de partición de la radiación de cuerpo negro de la singularidad.”

La Naturaleza del espacio y del tiempo, capítulo 3. Hawking-Penrose.

Espero que después de la lectura de este post, la afirmación anterior sea un poco menos oscura para los no iniciados, ¡aunque sea sólo en la parte que menciona el tiempo imaginario!

Bibliografia

• La Naturaleza del espacio y del tiempo. Hawking-Penrose.
• El camino a la realidad. Penrose.