Una opción social es una síntesis de las diversas preferencias de un grupo social en una única elección, como sucede a menudo cuando una familia ha de tomar una decisión que la afecta en conjunto, o una comunidad de vecinos o incluso el gobierno de un país cuando ha de redactar una nueva ley que regirá unos asuntos particulares del país.
En todos estos casos cada individuo tiene un punto de vista y unas necesidades y preferencias personales respecto a qué hacer y cómo en el grupo social al que pertenece, que serán su opción social individual: es social porque se refiere a una elección que afecta a todo un grupo al que pertenece, aunque también es individual al ser su elección personal. Al sintetizar todas las opciones sociales individuales en una opción social global obtenemos la opción social.
En todos estos casos cada individuo tiene un punto de vista y unas necesidades y preferencias personales respecto a qué hacer y cómo en el grupo social al que pertenece, que serán su opción social individual: es social porque se refiere a una elección que afecta a todo un grupo al que pertenece, aunque también es individual al ser su elección personal. Al sintetizar todas las opciones sociales individuales en una opción social global obtenemos la opción social.
Obviamente en una sociedad dirigida de forma autoritaria la opción social es simplemente dictada por un gobernante (de ahí la palabra dictador: el que dicta lo que hay que hacer), que no escucha o escucha poco a sus gobernados, y simplemente decide por ellos; es una simplificación extrema del proceso de síntesis de opiniones, pues no hay tal síntesis: la opción social se reduce a la opción social individual del dictador. Tiene la ventaja de la simplicidad, pero el gran inconveniente de que en realidad no es una opción social propiamente dicha, sino una de individual impuesta.
En lo que sigue sólo pretendemos mostrar de forma general lo que los estudiosos del tema han razonado sobre los métodos de generación de opciones sociales, más allá del simple método de dictar autoritariamente. Es notable el hecho de que la teoría de la opción social es complicada, y no tiene, o no se ha sabido encontrar, un método general que sea óptimo, de hecho lo que se ha conseguido es demostrar que no puede existir tal método (teorema de Imposibilidad de Arrow). Esta imposibilidad tiene consecuencias importantes que creemos interesante saber, pues muestran las deficiencias sobre métodos muy usados como las diversas variantes de la regla de la mayoría o del método asambleario, ninguno de los cuales es perfecto.
La opción social individual
Antes de intentar sintetizar las preferencias individuales en una opción social necesitamos enfocarnos en esas preferencias individuales para ver de forma precisa sus características. Se exige a esas opciones (sociales) individuales que cumplan unos requisitos mínimos de consistencia, que de alguna manera nos aseguran que la persona está decidiendo de forma racional, que tiene sus preferencias claras y bien definidas.
Supongamos que el individuo puede escoger una de las opciones que denominamos O1, O2, ..., On. Diremos que la elección es racional cuando esa persona sea capaz de decidir qué opción prefiere al agruparlas por parejas {O1, O2}, {O1, O3}, ... {O1, On}, {O2, O3}, ... de forma que en cada pareja escogerá una opción preferida de forma que se cumplan dos condiciones:
Así por ejemplo imaginemos que en unas elecciones podemos votar a los candidatos A, B o C, y decidimos por parejas según la tabla:
Ejemplo 1:
La elección entre B y C no la planteamos pues suponemos que el individuo es racional, y por la regla 2 debe preferir C sobre B. Si por el contrario no pudiéramos suponer racionalidad, entonces deberíamos comprobarla planteando todas las combinaciones posibles de parejas, que con 3 candidatos son 3 . Obviamente no importa el orden, es equivalente la pregunta "¿prefiere A o B?" a la pregunta "¿prefiere B o A?", y las preguntas del tipo "¿prefiere A o A?" están descartadas. El número de combinaciones crece rápidamente con el de opciones disponibles: con n = 4 candidatos tenemos 6 parejas, con n = 5 ya son 10, y en general con n candidatos tenemos n!/[(n-2)!*2] donde n! es el factorial del número n.
Podemos relajar la imposición de elegir la mejor opción entre cada pareja sin perder la racionalidad de la decisión, incluyendo la indiferencia entre opciones (da igual una que la otra) y la elección débil (una es al menos igual, o quizá mejor, que la otra); al hacerlo así obtenemos las denominadas relaciones binarias de preferencia, que resumimos:
Si la elección de opciones entre parejas de opciones es racional, entonces siempre se puede obtener una lista ordenada de preferencias como la del ejemplo 1, que era de orden estricto, C > A > B. Un ejemplo de elecciones usando las relaciones binarias de preferencia es:
Para el padre con dos preguntas que se haga tenemos suficiente información suponiendo transitividad, en cambio para los otros miembros necesitamos tres preguntas. La última columna de la tabla muestra la lista ordenada de preferencias de cada miembro, y vemos que el preferido por cada miembro es un candidato distinto, así pues la regla de la mayoría no les sirve para decidir, seria una vulneración de la regla de completitud, pues no queda indefinida la elección.
- Completitud: puede decidir su preferencia en todas las parejas posibles; si no fuera así, seria necesario excluir esas opciones del conjunto de elecciones posibles, pues el individuo no tiene criterio sobre ellas.
- Transitividad: para cualesquiera opciones Oi, Oj, Ok, si Oi es preferida sobre Oj, y además Oj es preferida sobre Ok, entonces necesariamente Oi será preferida sobre Ok, de forma que se establece el ordenamiento de preferencias Oi primera preferida, Oj segunda preferida, Ok tercera preferida; si el individuo escogiera Ok antes que Oi su elección no se considera racional (no tiene criterio consistente).
Así por ejemplo imaginemos que en unas elecciones podemos votar a los candidatos A, B o C, y decidimos por parejas según la tabla:
Ejemplo 1:
| Pareja de opciones | Preferencia | Orden provisional |
| A, B | A | A sobre B |
| A, C | C | A sobre B y C sobre A → C, A, B |
La elección entre B y C no la planteamos pues suponemos que el individuo es racional, y por la regla 2 debe preferir C sobre B. Si por el contrario no pudiéramos suponer racionalidad, entonces deberíamos comprobarla planteando todas las combinaciones posibles de parejas, que con 3 candidatos son 3 . Obviamente no importa el orden, es equivalente la pregunta "¿prefiere A o B?" a la pregunta "¿prefiere B o A?", y las preguntas del tipo "¿prefiere A o A?" están descartadas. El número de combinaciones crece rápidamente con el de opciones disponibles: con n = 4 candidatos tenemos 6 parejas, con n = 5 ya son 10, y en general con n candidatos tenemos n!/[(n-2)!*2] donde n! es el factorial del número n.
Podemos relajar la imposición de elegir la mejor opción entre cada pareja sin perder la racionalidad de la decisión, incluyendo la indiferencia entre opciones (da igual una que la otra) y la elección débil (una es al menos igual, o quizá mejor, que la otra); al hacerlo así obtenemos las denominadas relaciones binarias de preferencia, que resumimos:
- A puede ser claramente (estrictamente) mejor que B: A > B
- A es al menos igual, o quizá mejor, que, B: A ≥ B
- A y B son indiferentes (iguales): A = B
Si la elección de opciones entre parejas de opciones es racional, entonces siempre se puede obtener una lista ordenada de preferencias como la del ejemplo 1, que era de orden estricto, C > A > B. Un ejemplo de elecciones usando las relaciones binarias de preferencia es:
| Pareja de opciones | Preferencia | Lista ordenada de preferencias |
| A, B | A igual o mejor que B | A ≥ B |
| A, C | indiferente | A= C ≥ B |
La opción social
Visto lo que se considera racional en la elección individual, podemos preguntarnos ahora si se puede exigir también la misma racionalidad para elecciones sociales con diversas personas participantes. Para sintetizar todas las elecciones en una, necesitamos un método de síntesis de las elecciones individuales. El método de la mayoría de votos pide a cada individuo que emita un único voto (el primero de su lista ordenada de preferencias) y elige el candidato más votado. Supongamos que en una familia de tres miembros (que llamaremos padre, madre e hijo) deciden quedar de acuerdo, según la regla de la mayoría, en votar todos a un único candidato en unas elecciones en la que concurren tres candidatos A, B y C; cada miembro forma su lista ordenada de preferencias:
Método de la
mayoría
| Padre |
¿ A o B?
A |
¿ A o C? C
|
-
|
C, A, B
|
| Madre |
¿ A o B?
A |
¿ A o C? A
|
¿ B o C? B
|
A, B, C
|
| Hijo |
¿ A o B?
B |
¿ A o C? C
|
-
|
B, C, A
|
Apliquemos al problema otro método, que llamaremos el de la asamblea, en el cual se escoge por mayoría de entre cada par de candidatos excluyendo en cada ronda al perdedor:
Método de asamblea
| 1a ronda: ¿ A o B? | Padre: A | Madre: A | Hijo: B | Eliminamos B Escogemos A |
| 2a ronda: ¿ A o C? | Padre: C | Madre: A | Hijo: C | Eliminamos A Ganador C |
Parece que este método sí decide, nos da una lista ordenada de preferencias sociales C, A, B; pero observemos qué ocurre cuando cambiamos el orden de las preguntas:
Método de la asamblea, con otro orden
| 1a ronda: ¿ A o C? | Padre: C | Madre: A | Hijo: C | Eliminamos A Escogemos C |
| 2a ronda: ¿ C o B? | Padre: C | Madre: B | Hijo: B | Eliminamos C Ganador B |
La lista ordenada de preferencias sociales es ahora B, C, A, totalmente distinta de la anterior. El orden de las preguntas altera el resultado, que es un forma de violación de la regla de transitividad. Los dos métodos considerados de sintetizar las elecciones individuales resulta que son no racionales, tal como lo habíamos definido.
Es natural preguntarse si existe algún método de elección social tal que, dadas todas las listas ordenadas de preferencias de cada miembro de la sociedad, produzca una única lista social ordenada de preferencias que sea racional; el mencionado teorema de Arrow demuestra que en general (bajo algunas suposiciones) la respuesta es no. Y este es un resultado interesante, pues nos dice que ¡siempre estaremos realizando elecciones sociales poco racionales, sea el método que sea el que utilicemos!
Podemos mejorar el método de elección introduciendo valoraciones numéricas para los candidatos; por ejemplo, cada voto a un candidato irá acompañado de una valoración entre 0 y 10 puntos. El candidato que sume más puntos será la opción social. En este método cada individuo ya no decide por parejas de candidato, sino que da puntuaciones a todos ellos a la vez:
La última columna da la lista ordenada por preferencias de cada votante y la social, en la última fila. La pregunta que nos hacemos es: ¿el método de las puntuaciones es racional? En la teoría de la opción social a la puntuación dada se la denomina utilidad, pues mide el grado de utilidad para el individuo de cada elección; los primeros estudiosos de la teoría de la decisión la consideraban como una realidad psicológica nacida de la reflexión personal y, en consecuencia, le daban el trato de una cantidad fiable y medible, aunque evidentemente es totalmente subjetiva. El sumar todas las puntuaciones significa que hemos usado una función de utilidad aditiva, la más simple de todas.
El problema de esta asignación de puntuaciones es la arbitrariedad, pues ¿cómo valora cada individuo a cada candidato? No es sólo que cada individuo emplee criterios distintos, es que la valoración de esos criterios también lo será, pues podría ser que por ejemplo que la madre no quite muchos puntos a un candidato por algún aspecto deficiente mientras que el hijo sí lo considere inaceptable y le rebaje muchos puntos: el sistema de valoración es bastante arbitrario.
Otro problema del método de las puntuaciones es la valoración del empate. Supongamos que estamos indiferentes entre las opciones A y B; está claro que les pondremos la misma puntuación, pero ¿cuál? Como no tenemos un método preciso de asignación de puntuaciones a cada candidato, lo que hacemos es comparar nuestras preferencias entre candidatos y darles un valor, pero con la indiferencia entre opciones la valoración queda también indefinida, necesitaríamos comparar con la tercera opción C para valorar comparativamente la A y la B. Hay pues una relación de dependencia entre opciones cuando las valoramos, pues comparamos opciones, no tienen por sí mismas un valor sino un valor relativo. Matemáticamente se demuestra que si las opciones no tienen un valor independendiente entonces la función de utilidad aditiva no produce resultados racionales, coherentes.
¿Existe siempre un ordenamiento social?
Podemos mejorar el método de elección introduciendo valoraciones numéricas para los candidatos; por ejemplo, cada voto a un candidato irá acompañado de una valoración entre 0 y 10 puntos. El candidato que sume más puntos será la opción social. En este método cada individuo ya no decide por parejas de candidato, sino que da puntuaciones a todos ellos a la vez:
Método de
puntuaciones
| Padre | A: 70 | B:50 | C: 100 | C, A, B |
| Madre | A: 90 | B:80 | C: 60 | A, B, C |
| Hijo | A: 40 | B:60 | C: 80 | C, B, A |
| Totales | A: 200 | B: 190 | C: 240 | C, A, B |
La última columna da la lista ordenada por preferencias de cada votante y la social, en la última fila. La pregunta que nos hacemos es: ¿el método de las puntuaciones es racional? En la teoría de la opción social a la puntuación dada se la denomina utilidad, pues mide el grado de utilidad para el individuo de cada elección; los primeros estudiosos de la teoría de la decisión la consideraban como una realidad psicológica nacida de la reflexión personal y, en consecuencia, le daban el trato de una cantidad fiable y medible, aunque evidentemente es totalmente subjetiva. El sumar todas las puntuaciones significa que hemos usado una función de utilidad aditiva, la más simple de todas.
El problema de esta asignación de puntuaciones es la arbitrariedad, pues ¿cómo valora cada individuo a cada candidato? No es sólo que cada individuo emplee criterios distintos, es que la valoración de esos criterios también lo será, pues podría ser que por ejemplo que la madre no quite muchos puntos a un candidato por algún aspecto deficiente mientras que el hijo sí lo considere inaceptable y le rebaje muchos puntos: el sistema de valoración es bastante arbitrario.
Otro problema del método de las puntuaciones es la valoración del empate. Supongamos que estamos indiferentes entre las opciones A y B; está claro que les pondremos la misma puntuación, pero ¿cuál? Como no tenemos un método preciso de asignación de puntuaciones a cada candidato, lo que hacemos es comparar nuestras preferencias entre candidatos y darles un valor, pero con la indiferencia entre opciones la valoración queda también indefinida, necesitaríamos comparar con la tercera opción C para valorar comparativamente la A y la B. Hay pues una relación de dependencia entre opciones cuando las valoramos, pues comparamos opciones, no tienen por sí mismas un valor sino un valor relativo. Matemáticamente se demuestra que si las opciones no tienen un valor independendiente entonces la función de utilidad aditiva no produce resultados racionales, coherentes.
Reglas de elección social
Un procedimiento de decisión social es alguna regla o conjunto de reglas que permiten pasar de los votos de los individuos a la opción social preferida, como por ejemplo la regla de la mayoría (MDR: majority decission rule). En la votación sincera el votante con su voto afirmativo indicará sin duda su preferencia, y en el caso de que sea indiferente, supondremos que se abstiene, en particular, no usará el denominado voto útil para votar por una opción que en realidad no prefiere. En la teoría de la opción social, un procedimiento de decisión que incorpore como requisito la votación sincera se denomina regla de elección social. (SCR: Social Choice Rule). En el caso de que tengamos una regla de elección social que sea racional (o sea que al aplicarlo a parejas de opciones las incluya a todas y además se transitiva), la denominamos una función de bienestar social (SWF: Social Welfare Function), significando que nos proporciona la opción que resulta en un mayor beneficio para la sociedad. Si la regla de elección no es racional, entonces diremos que sólo proporciona un ordenamiento social (de opciones).¿Existe siempre un ordenamiento social?
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