Espacio y tiempo: de la intuición a la visión de la ciencia

La intuición nos dice que las cosas reales existen en el espacio y en el tiempo. La Física, hasta Newton, estuvo de acuerdo con esa intuición, y también la Filosofía, con Kant, pero a partir de ahí se empieza a analizar el concepto en sí de espacio y tiempo, aumentando el número de dimensiones de tres a cuatro (espacio de Minkowski) y más dimensiones en otras teorías físicas, cuestionando la continuidad tanto del espacio como del tiempo y discutiendo si son finitos o infinitos. En este artículo describimos el cambio de paradigma.

Espacio y tiempo clásicos

El dios romano Jano, con una cara mirando al pasado y la otra al futuro, simboliza la idea clásica que todavía actualmente tenemos del tiempo, una sucesión continua e infinita de acontecimientos. No obstante, a poco que miremos con detenimiento ese concepto, empieza a mostrar incoherencias. ¿Qué es el presente? ¿Cuanto dura? ¿1 segundo quizás? De hecho el presente es la línea de separación entre el pasado y el futuro, y como línea no tiene extensión. Pero ahí hay una paradoja, pues el pasado ya no existe, el futuro tampoco todavía, y el presente es una linea divisoria sin extensión, o sea una construcción mental sin existencia real; por tanto, ¡nada existe!.

Parménides imaginaba el espacio como una eterna y omnipresente esfera en quietud absoluta en cuyo seno se contiene toda la materia. Siendo esta concepción parecida a la de Dios (eterno, omnipresente) han habido opiniones que los ha relacionado directamente, como por ejemplo Henry More. Además, se supone que los objetos y el espacio son conceptos independientes: los objetos ocupan espacio ya que es una de sus propiedades (volumen, pero también forma, masa, dureza, posición, etc.). Si movemos el objeto, el espacio que ocupaba sigue estando ahí, independiente.

Primera revisión del concepto clásico

En la Física clásica se trabaja con sistemas de coordenadas cartesianas, de forma que toda ley se enuncia usando un sistema de referencia espacial. En este marco, el espacio se define como diferencias de coordenadas, bien sea entre dos objetos o entre puntos de un objeto. El valor numérico de estas diferencias depende del sistema de referencia. El espacio ocupado por un objeto ya no se considera como una propiedad intrínseca del objeto sino como una descripción asociada al sistema de referencia escogido.

Espacio y tiempo mentales: fragmentación de conceptos

El concepto habitual de espacio nos viene dado por diversas experiencias sensoriales:

1. Las cosas reales, tangibles, “están ahí”
2. Los objetos tienen posiciones relativas entre sí, separadas por un espacio
3. Los objetos tienen un tamaño, y por tanto ocupan un espacio
4. Además, cuando vemos un paisaje extenso, o miramos al firmamento, experimentamos una sensación de espacio ilimitado

De forma muy similar experimentamos el tiempo sensorialmente, de forma que podemos trazar un paralelismo entre objetos e intervalos de tiempo:

1. La presencia de un suceso cualquiera, equivale al “estar ahí” de los objetos
2. El paso del tiempo entre dos sucesos viene a equivaler a el espacio que separa dos objetos
3. El tiempo que dura un suceso está relacionado con el tamaño de un objeto
4. Recordar un suceso pasado hace tiempo, o pensar en la eternidad se relaciona con el espacio extenso.

De hecho la mente tiene tendencia a interpretar los datos sensoriales en términos de objetos ordenados en el tiempo y situados en el espacio; éste último solo sirve de soporte, por así decirlo, lo relevante es siempre el objeto por delante del espacio. Discutí este comportamiento mental en un artículo anterior en este mismo blog.

Midiendo el espacio...se complica el modelo

Para medir las dimensiones de un cuerpo usamos simplemente una regla graduada; en casos más complicados usamos más tecnología: ultrasonidos para medir profundidades, luz láser para mediar exactamente la distancia a la Luna, etc. Todos estos métodos se basan en la existencia de una unidad ideal de longitud, el metro, respecto al cual se realizan las mediciones.

Pero he aquí que llegan los matemáticos con sus exactitudes y se plantean que las medidas anteriores se supone que se hacen siempre con la distancia más corta posible, pero ¿podemos estar seguros de que realmente lo estamos haciendo bien? Quizá confundamos la distancia a lo largo de nuestra linea de visión con la más corta posible. ¿Seran equivalentes? Lo más exacto será hacer mediciones entre dos puntos A y B según todos los caminos posibles, y definir la distancia entre A y B como la menor de todas las obtenidas.

Distintas trayectorias planas entre dos objetos A, B; la más corta define la distancia d(A,B)

Fijémonos en que la medición se hace comparando con un objeto de longitud conocida que hace de patrón de medida, una regla graduada por ejemplo. ¿Que pasará si la regla cambiase de tamaño según la dirección en que sea tendida? Por ejemplo en la trayectoria quebrada superior de la figura la regla podría alargarse, resultando una medida inferior a la obtenida en las trayectorias rectas. ¿Nos parece poco creíble esta posibilidad? Pensemos que la única superficie bidimensional en la que las propiedades geométricas son fijas cuando nos movemos por él es el plano. Sobre una superficie irregular las distancias variaran según las direcciones. Y si consideramos superficies tridimensionales tendremos la misma situación.

Para sistematizar las mediciones se introduce un sistema de referencia formado por tres direcciones llamadas ejes de coordenadas, y realizamos las mediciones a lo largo de cada eje, obteniendo las medidas$\; \Delta \mathrm{x,}$ Δy, Δz.Entonces en geometría Euclídea la distancia se define como

El porque se define así está directamente relacionado con una concepción particular del espacio, que se supone “plano” (isótropo e homogéneo, más exactamente).

Métricas del espacio

En dos dimensiones la distancia entre los puntos A y B en coordenadas cartesianas coincide con el teorema de Pitágoras

ds² = dx² + dy²

Si los ejes de referencia son rectilíneos pero se cortan en un ángulo cualquiera (coordenadas oblícuas) entonces la distancia será 

ds² = Adu² + Bdv² + Cdu·dv

donde du, dv son los intervalos de coordenadas y A, B, C valores reales. Si las coordenadas son sobre una superficie esférica tendríamos otra expresión, etc. La expresión general para la distancia viene dada por fórmula de Gauss:

ds² =g₁₁ dx² + g₁₂ dxdy + g₂₁ dydx + g₂₂ dy²

Las cuatro cantidades g vienen determinadas por la geometría de la superficie y de las coordenadas, y en conjunto se denominan métricadel espacio. En tres dimensiones tenemos 9 cantidades g, y cada conjunto de valores determinan una geometría del espacio. Se suelen representar matricialmente, por ejemplo la geometría euclídea se representa por:

1	0	0
0	1	0
0	0	1

En matemáticas podemos definir geometrías simplemente modificando los valores g, y estudiando después las propiedades resultantes; en Física procedemos al revés: los postulados, las leyes físicas y las observaciones empíricas nos imponen las métricas adecuadas.

Métrica relativista

Cuando se descubrió que la longitud de un cuerpo depende de la velocidad del observador, y que también las mediciones de tiempo quedan afectadas por el movimiento, quedó claro que tenian que revisarse los conceptos de espacio y tiempo; concretamente, la métrica ha de tener los coeficientes g variables según la velocidad del observador, es una geometría variable, que es diferente para cada observador según su velocidad relativa. Además, como el tiempo también depende de la velocidad, se incorpora en la métrica del espacio, que pasa a ser un espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Esta variabilidad de la geometría respecto al observador parece en primer término demasiado compleja; Minkowski observó en ella una importante propiedad: la cantidad ds² – c²dt², donde c es la velocidad de la luz, es invariante, su valor es el mismo para cualquier observador. De alguna manera, esta cantidad se comporta como la distancia en el espacio euclídeo, que es la misma para todos los observadores. Así pues podemos llamar a dS² = ds² – c²dt² la “distancia” en el espacio-tiempo. No debemos caer en el error de considerarla como un “invento matemático”, pues es real; es cierto que es una construcción, como la era también la distancia euclídea, pero se relaciona con el comportamiento observado de la naturaleza.

Espacio relacional y teoría de grupos

Ya hemos visto que la ciencia ha necesitado y empleado conceptos de espacio muy alejados de la simple visión intuitiva que usamos normalmente, y lo hemos explicado basándonos en las mediciones y las métricas. Imaginemos un cuerpo rígido que trasladamos y giramos de todas la formas posibles. Resulta ser que los infinitos movimientos posibles se pueden reducir a un conjunto finito y a combinaciones entre ellos; en matemáticas a un conjunto como éste con sus operaciones de combinación se le denomina un grupo. Además, resulta que el grupo de movimientos identifica a las propiedades del espacio tan bien como su métrica, siendo una forma alternativa de estudiarlo. 
Fijémonos en el detalle: podemos definir el espacio como un grupo de operaciones sobre cuerpos; o sea que el espacio no es independiente de los cuerpos que contiene, al contrario queda definido por ellos.

En un próximo artículo hablaremos de la simetría, la continuidad y la infinitud del espacio-tiempo.

Fuentes: La naturaleza de la realidad física. Henry Margenau.