La naturaleza del espacio y del tiempo (I)

Stephen Hawking ha escrito numerosos libros de divulgación que suelen contener un elevado volumen de información técnica, usando pocas matemáticas, pero con conceptos avanzados, no siempre fáciles de entender por el público no especializado al que supuestamente se dirigen. Este post es el primero de una serie que se propone tratar de forma más legible que en el original los conceptos aparecidos en el artículo "La teoría clásica" del libro "La naturaleza del espacio y el tiempo".

El futuro de un punto situado en el origen del
espacio tiempo es la región que puede alcanzar
el punto sin violar la limitación de la velocidad
límite c.

Trayectorias en el espacio-tiempo
La teoría de la relatividad especial estableció que hay una velocidad límite que es imposible superar, que es precisamente la velocidad de la luz, c. Este hecho, de por sí misterioso,  tiene sorprendentes implicaciones.

Imaginemos un objeto en movimiento que parte desde un punto, que supondremos que está en el origen de un sistema de coordenadas donde el eje horizontal  representa la distancia en años-luz y el eje vertical representa el tiempo en años.


Debido al límite de velocidad, c, la trayectoria del objeto ha de estar dentro de una zona denominada futuro del objeto; esta zona está delimitada por dos rectas inclinadas  45 grados respecto a los ejes. Estas rectas precisamente indican la trayectoria que seguiría un haz de luz emitido desde el objeto. 

Un objeto extenso S situado en el origen del
espacio-tiempo y su región de futuro. la trayectoria
temporal, en negro, no puede inclinarse más de 45 grados
respecto a la horizontal en ningún punto; se cruzará con
una línea horizontal cualquiera en un único punto.

Como nada puede viajar más rápido que la luz, las trayectorias con inclinación menor de 45 grados respecto al eje horizontal no son posibles.


En el otro extremo, una trayectoria vertical indica que el objeto no se mueve, pues su posición está indicada por la coordenada del eje horizontal que permanece constante.


Las trayectorias permitidas, incluidas en el futuro del objeto, se denominan trayectorias temporales o de género tiempo; una recta horizontal representa un objeto extenso en un momento dado, mientras que cualquier trayectoria situada fuera del futuro es una trayectoria espacial o de género espacio. Las trayectorias de la luz, que limitan la región del futuro, son trayectorias de género nulo, o lumínicas. A este esquema le llamamos causalidad del espacio-tiempo.


Este espacio tiempo que hemos descrito no tiene en cuenta la gravedad: es euclidiano, la distancia más corta entre dos puntos viene determinada por la recta que los une. Es el descrito por la relatividad restringida. En general, dados dos puntos p, q en una superficie, la línea de mínima longitud que los une y está contenida en esta superficie es una geodésica. Si la superficie es plana las geodésicas son rectas; en una esfera serán arcos.


Estructura causal no euclidiana del espacio-tiempo
Para pasar al espacio-tiempo de la relatividad general, nos fijamos en las propiedades geométricas de  la causalidad que hemos descrito, generalizándola. Para ello imponemos una condición muy general: dado un punto cualquiera del futuro de un objeto S, debe de existir una trayectoria no cerrada que conecte el punto con su pasado (causalidad fuerte).

Disco de Poincaré, el círculo máximo simboliza el
infinito, cualquier trayectoria posible en este espacio
ha de ser perpendicular en cada punto a el círculo
que pasa por el punto. Imagen creada con el
programa  Hyperbolic Geometry Exploration.

Al aplicar esta condición al espacio-tiempo, resulta que ya no tiene porque ser euclidiano, sino que pasa a tener geometría hiperbólica. En esta geometría, las geodésicas entre dos puntos en vez de ser trayectorias de mínima distancia, son de máxima distancia


Una forma de visualizar esta extraña geometría la proporciona el denominado disco de Poincaré.


En este espacio las geodésicas son arcos de círculos que llegan al borde del disco en un ángulo de 90°.







Singularidades en el espacio-tiempo
Dado un espacio cualquiera, decimos que es no singular si sus geodésicas no se cortan a sí mismas; como consecuencia, las geodésicas que pasan por un punto no pueden cortarse entre sí excepto en el propio punto (ver la imagen del plano de Poincaré). En el caso del espacio-tiempo se ha demostrado que es singular, o sea que las geodésicas pueden cortarse. La razón es que la gravedad es una fuerza atractiva que curva el espacio-tiempo de forma que las geodésicas próximas se curvan unas hacia otras acercándose entre sí. Esto nos llevará, en un próximo post,  a los teoremas de singularidad del espacio-tiempo y a las singularidades conocidas por agujeros negros.

Bibliografia

• Hawking-Penrose: "La naturaleza del espacio y el tiempo". Ed. Debate.