Entendiendo la mecánica cuántica (II)

"Todo son átomos, los objetos, el aire entre ellos, nosotros mismos. Están ahí en cantidades inconcebibles"

Richard Feynman

En la primera parte veíamos uno de los hechos experimentales que condujo al establecimiento de la mecánica cuántica: la dualidad onda-partícula. En este artículo veremos otro hecho: los niveles de energía.

La materia emite y absorbe energía

Fig. 1. Lava emitiendo radiación
en la frecuencia visible
rojo-amarillo debido a la
alta temperatura del fluido

Todo objeto material que tenga una temperatura superior al cero absoluto emite energía en la forma de radiación electromagnética, y también la absorbe del medio; cuando la cantidad de energía radiada es igual a la absorbida, el objeto está en equilibrio térmico con su entorno. Una de las características de la radiación electromagnética es su longitud de onda, que es menor cuanta más energía transmiten. A temperatura ambiente la mayor parte de la radiación emitida es de gran longitud de onda (equivalentemente de baja frecuencia) y es invisible, pero a medida que calentamos el cuerpo aumenta la cantidad de radiación de frecuencia  visible; es el caso del fuego, del metal calentado al rojo, de la lava de volcanes, ...

Fig.2. Intensidad de radiación emitida (eje vertical)
para cada longitud de onda (eje horizontal) y
diferentes temperaturas. Se observa que hay un
máximo de intensidad a longitudes más cortas
conforme aumenta la temperatura (From Wikipedia).

Experimentalmente se observa que, para cada temperatura, se emiten radiaciones en un amplio rango de longitudes de onda, con un máximo de intensidad en una longitud característica. La intensidad emitida es más o menos la misma para todos los materiales, y tampoco depende de la forma del cuerpo. 

¿Porqué se emite esta radiación? La materia está formada por partículas cargadas, protones y electrones; además, el hecho de tener una temperatura mayor que cero significa que a nivel microscópico todo está vibrando, oscilando con mas amplitud y velocidad a medida que el cuerpo se calienta. Por otro lado tenemos que las leyes de la electrodinámica clásica  predicen que un sistema de cargas eléctricas dotado de aceleración radiará ondas electromagnéticas (y viceversa: un campo electromagnético acelerará partículas cargadas que lo atraviesen); es el principio usado, por ejemplo, en los aceleradores de partículas. Entonces dado que un movimiento vibratorio tiene un aceleración, ya sabemos porqué la materia radia energía.

Equilibrio térmico de la radiación según la Física clásica
Supongamos que tenemos una partícula cargada oscilando (y por tanto emitiendo energía) encerrada en una caja, de modo que la energía emitida se queda en la caja; al principio la partícula irá perdiendo energía (la emitida) y la caja se irá llenando con esa energía. Al cabo de cierto tiempo hay una gran cantidad de energía electromagnética rebotando en las paredes de la caja (podemos imaginar que hay espejos en las pardes), y sobre el oscilador, de forma que la partícula empezará eventualmente a absorber energía, y llegará un momento en que se igualará la energía emitida con la absorbida. En ese momento tenemos equilibrio térmico.

Usando las ecuaciones de la electrodinámica clásica, que relacionan las cargas en movimiento con los campos electromagnéticos, se puede calcular exactamente la intensidad de radiación que debe haber en la caja para equilibrarse con un oscilador cargado de frecuencia w, y resulta ser la denominada ley de Rayleigh:

I(w) = w²kT/π²c² ,

Fig. 3. Un horno es una buena
aproximación a un cuerpo
negro, mantiene gran parte
de la radiación en su interior.

donde k es una constante de la naturaleza, la constante de Boltzmann, T es la temperatura en la caja y c es la velocidad de la luz; para los interesados en los detalles técnicos de esta fórmula podéis consultar esta página. En una buena aproximación, ésta es la energía en equilibrio dentro de un horno muy caliente, y se le llama radiación del cuerpo negro; pensemos que cuando el horno está apagado si miramos desde fuera dentro se ve negro, pues la luz no escapa del interior, de ahí lo de "cuerpo negro".

Fig. 4. Intensidad de radiación de cuerpo negro según la Física clásica

El problema que tenemos es que según esta fórmula la intensidad crece contínuamente con la frecuencia, como muestra la figura 4, si la comparamos con las curvas experimentales de la figura 2 vemos que no coinciden para nada. Fijémonos en que para frecuencias w altas deberíamos tener intensidad distinta de cero incluso a temperatura T bajas; esto implica que si abrimos nuestro horno cuando está digamos a sólo 100 grados, ¡emitiría una cantidad no nula de rayos X de alta frecuencia! Esto es absurdo. Así que la ley de Rayleigh, a pesar de que "suena" bien, y los cálculos son correctos, ¡es falsa!. ¿Dónde está el error?

Max Planck sugirió que la energía radiada sólo podría ser un múltiplo de una unidad elemental, E = hf, donde h es la constante de Planck y f la frecuencia de la radiación. Con esta idea, pudo deducir la ley correcta  de radiación del calor, denominada Ley de Planck, que explica el espectro de emisión de un cuerpo negro. Así pues, la energía radiada no es una variable continua, sino discreta; hay valores permitidos y valores prohibidos.

El tamaño de los átomos
A principios del siglo XX se creía que los átomos eran esferas sólidas, con carga positiva y los electrones incrustados dentro del átomo (modelo de Thomson). En 1910 un experimento dirigido por Ernest Ruherford mostró que realmente los átomos estaban vacíos, con un minúsculo núcleo muy denso en su centro.

Los átomos son realmente diminutos: consideremos un milímetro, que viene a ser una línea así de larga: - .  Si la dividimos por 1000 obtendremos segmentos de una micra de longitud; estamos en el reino de las bacterias. Volvamos a dividir por 1000 cada segmento de una micra (equivale a dividir por un millón un milímetro), obtendremos segmentos de un nanómetro; el tamaño típico de la mayoría de virus está entre 10 y 100 nanómetros. Dividamos por 10 cada nanómetro, obtenemos diez millones de segmentos del milímetro, ésta es la escala del átomo. Para hacernos una idea, si el átomo midiera un milímetro, entonces el segmento - mediría... ¡10 kilómetros!

Si el átomo ya es diminuto, cuando consideramos su núcleo ya se nos escapa totalmente de la imaginación, pues es ¡100.000 veces menor! Si el átomo fuera del tamaño de la torre Eiffel, su núcleo mediría unos ridículos 3 centímetros, como una mosca, más o menos. Y no se terminan aquí los números enormes: el núcleo contiene prácticamente toda la masa del átomo; al tener un tamaño tan pequeño, su densidad es enorme: del orden de 10¹⁸ gramos por centímetro cúbico, esto es, un trillón de veces la densidad del agua.

Entonces vemos que un átomo es en un 99,9999999999% espacio vacío, y que la solidez que vemos a nuestro alrededor es una ilusión. Cuando tocamos algo sólido realmente no llegamos nunca a contactar nada, nos quedamos a una cienmillonésima de milímetro, pues nuestros átomos y los del sólido se repelen.

Es curioso ver que a gran escala pasa algo parecido: una galaxia vista a gran distancia parece un objeto compacto, pero realmente las estrellas que la componen están separadas por enormes distancias; si ampliamos la zona de nuestra galaxia dónde está el sistema solar, vemos que también los planetas están separados por distancias mucho mayores que sus tamaños.

La estabilidad de los átomos

Una vez establecido por Rutherford que el átomo tiene la carga positiva confinada en un núcleo minúsculo y la carga negativa, los electrones, orbitando alrededor, se plantean dos problemas: ¿cómo es que la repulsión eléctrica de los protones, las cargas positivas del núcleo, no lo rompen?, y ¿cómo es que los electrones, que son cargas eléctricas en movimiento acelerado, no radian energía electromagnética? 

En el caso de los protones, la fuerza de repulsión viene dada por la ley de Coulomb F= ke²/r² , donde e es la carga del protón y r la distancia entre protones, que hemos visto que es muy pequeña; debido a ésto, la fuerza que tiende a separar los neutrones del núcleo es millones de veces superior a las fuerzas que mantienen unidos a los átomos para formar moléculas.

En el caso de los electrones, deberían radiar energía, con lo cual la energía perdida les haría perder velocidad y acercarse al núcleo, hasta que chocarían con él... con consecuencias desastrosas para el mundo que conocemos.

Pero muy al contrario los átomos son tremendamente estables y duraderos; es más que probable que los átomos que constituyen nuestro cuerpo hayan pertenecido a millares de seres vivos anteriormente, y retrocediendo más atrás en el tiempo, habrán pasado por quizás varias estrellas.

Niveles de energía cuánticos

Otro rompecabezas de la misma época era el denominado espectro de emisión del hidrógeno: las frecuencias de la radiación electromagnética emitida cuando se calienta el gas. Los hechos eran que ciertas frecuencias estaban "prohibidas", simplemente nunca había emisión de energía en esas frecuencias.

Fig. 5. Espectro de emisión del hidrógeno:
las líneas negras señalan las
únicas frecuencias en las que se
emite la energía.

Fig.6. Transición entre dos niveles
de energía, se emite un fotón con
energía igual a la diferencia
de los niveles.

En 1913, cavilando sobre este problema y sobre la estructura del átomo, al joven investigador Niels Bohr se le ocurrió la solución: los electrones solo pueden ocupar algunas órbitas, cada una con una cierta energía; cuando un electrón emite energía, salta de una órbita a la inmediatamente inferior. Este salto es cuántico: el electrón no pasa por el espacio intermedio entre órbitas, sino que simplemente desaparece de una órbita para aparecer en otra. Por tanto sólo veremos las emisiones de energía correspondientes a los saltos entre órbitas permitidas, que son las líneas que vemos en el espectro de emisión. Además, los electrones ya no radiaran energía y caerán al núcleo, simplemente no pueden hacerlo. De alguna forma podemos ver la relación entre ésta hipótesis y la de Planck: ambas postulan que la naturaleza no permite tomar cualquier valor a la energía. 

Conclusiones

Hemos visto que la teoría cuántica explicó el comportamiento de la radiación en equilibrio con la materia, y también la estabilidad de los electrones en el átomo, recurriendo a la cuantización de la energía: sólo se permiten ciertos valores. El problema de la estabilidad del núcleo se explicó posteriormente, como veremos. También nos queda pendiente ver el porqué de esta cuantización de la energía, y qué relación tiene con la dualidad onda-partícula.