Entrelazamiento cuántico entre diamantes

En este artículo comentamos un experimento reciente que ha puesto de manifiesto la extraña propiedad de la mecánica cuántica denominada entrelazamiento cuántico. La novedad radica en el uso de objetos macroscópicos, diamantes artificiales, que hasta ahora no se ha utilizado en experimentos de este tipo. Repasamos primero dos conceptos básicos antes de describir el experimento.

Entrelazamiento cuántico

En mecánica cuántica se dice que dos o más partículas estan entrelazadas cuando las propiedades individuales de cada partícula dependen de las demás, incluso si estan separadas por grandes distáncias. 

 Si dos partículas estan entrelazadas implica que debemos aceptar que hayan interacciones a distancias arbitrarias entre partículas cuánticas, y estas interacciones han de ser instantáneas. Para entender la implicación de esta afirmación, supongamos que dos partículas que forman un sistema con función de onda w(A,B) que tienen entrelazamiento cuántico empiezan a separarse una de otra a toda velocidad, y eventualmente llegan a estar separadas por kilómetros de distancia; a pesar de ello, siguen formando un sistema entrelazado, de tal manera que ciertas mediciones efectuadas en una de las partículas, ¡afectaran instantáneamente a la otra! Esto será así independientemente de la distancia que las separa. Este hecho fue confirmado por Alain Aspect en una serie de experimentos.

Fonones

Modelo de estructura cristalina enlazada.

Veamos una breve introducción a la Física del estado sólido, concretamente a las estructuras cristalinas, como la de la sal común, o la del diamante. Podemos imaginar que cada molécula del cristal está unida a las otras por un muelle que permite a la molécula realizar un movimiento vibratorio. Este muelle representa las fuerzas moleculares reales en el cristal.

Debido a que todas las moléculas estan unidas entre si formando una estructura geométrica (cúbica en el caso de la figura), si perturbamos cualquier molécula dándole un impulso para que oscile, la perturbación se propagará a toda la estructura.

Cuando dicha perturbación es muy pequeña, entramos en el terreno de la Física Cuántica, que establece restricciones a las perturbaciones: han de ser cuantizadas, esto es, existen unas frecuéncias de vibración permitidas, fundamentales. Además, se puede asociar a cada perturbación cuántica una pseudopartícula portadora de fuerza: el fonón. La idea es la misma que la del fotón, que es el mínimo de energia lumínica en la que podemos descomponer la luz. Pues bien, el fonón es la mínima energía vibratoria en la que podemos descomponer la perturbación introducida en la red. Cuando la perturbación se extiende por la red, podemos visualizar fonones viajando por la red, distribuyendo la energía entre las moléculas. Técnicamente, podemos decir que los fonones como partículas son bosones (partículas portadoras de fuerza) que poseen espín cero.

Entrelazamiento de fonones en diamantes

En diciembre del 2011 Ian Walmsley publicó un artículo en la revista Science, Entangling macroscopic diamonds at room temperature, en la que detalla un montaje experimental que pone de manifiesto el entrelazamiento cuántico entre dos diamantes usando fonones. Hasta ahora, los experimentos siempre han usado objetos microscópicos a bajas temperaturas para detectar el entrelazamiento, el experimento de Walmsley es el primero en usar objetos macroscópicos a temperatura ambiente. 

Walmsley dividió en dos un haz de luz láser, de modo que cada mitad iluminaba un diamante sintético de unos tres milímetros de longitud. Usando las partículas cuánticas para modelizar el experimento, es equivalente a decir que fotones de luz láser escogen una ruta o la otra al llegar al divisor de haz, inciden en uno de los dos diamantes, le comunican parte de su energía (chocando con alguna molécula de la estructura cristalina) y se dispersan, siendo recogidos por un detector. La energia liberada por el fotón produce un fonón en el diamante; por tanto, por cada fotón que llega al detector, sabemos que se ha producido un fonón.

Ahora bien, segun el principio de incertidumbre, y tal como se ha llevado a cabo el experimento, resulta imposible saber en cuál de los diamantes se genera el fonón. De hecho, según la Mecánica Cuántica, el fonón no está confinado en ninguno de los diamantes, sino que está "compartido" por los dos, de forma que ambos diamantes forman un único sistema cuántico entrelazado. La distancia de separación entre las gemas en este experimento fue de unos quince centímetros. Sólo si efectuamos una medición en los diamantes para determinar dónde está el fonón, provocaremos el "colapso de la función de onda" forzando al fonón a manifestarse  en uno de los diamantes.

La naturaleza del espacio y del tiempo (III): ¿es digital el espacio?

En las últimas dos décadas la Física ha adquirido una nueva visión sobre cómo el Universo almacena información. Incluso hay hipótesis que afirman que la información, y no la materia o la energía, es el elemento básico de construcción. En ellas se afirma que el Universo es un holograma. Para llegar a tal hipótesis, necesitaremos repasar el concepto de entropía y aplicarlo a los agujeros negros cuánticos.

Concepto estadístico de entropía

Partículas confinadas en una caja

Originalmente la entropía se introdujo en el estudio termodinámico de las máquinas térmicas, pero posteriormente se generalizó en el marco de la Mecánica Estadística; es este concepto que que necesitamos. La Mecánica Estadística trata con sistemas físicos de un elevadísimo número de componentes, típicamente partículas; por ejemplo el estudio estadístico de las moléculas de un gas en   equilibrio relaciona los paràmetros de las partículas (posición, velocidad, masa...) con los parámetros del gas (temperatura, presión, ...).



En Mecánica Estadística se define un microestado del sistema como cada configuración posible de sus partículas. Por ejemplo, si tenemos un sistema de sólo tres partículas confinadas en una caja de volumen V, cada microestado podría estar definido por las posiciones y las velocidades de las tres partículas:

microestado: (x1, x2, x3, v1, v2, v3)

Las coordenadas deben de tener valores compatibles con las dimensiones de la caja, y las velocidades estarán en el intervalo [0, c), siendo c la velocidad de la luz.

Sea N el número de microestados posibles de un sistema. Definimos su entropía como

S = k·ln(N)

Microestados

siendo k la constante de Boltzmann 1,38/10²³ en unidades internacionales. 

En un sistema macroscópico, el valor de N es enorme; pensemos en un litro de aire a temperatura ambiente, que contiene del orden de 10¹⁶ moléculas, cada una de ellas tiene un volumen del orden de 10⁻²⁴ litros. Por tanto, si comprimimos el gas todo lo posible (ignoremos ahora efectos cuánticos) todas estas moléculas ocuparian sólo un volumen del orden de 10⁻⁸ litros. Esto implica que hay un número enorme de posibilidades de colocar las moléculas en el volumen del gas, de hecho se trata del clásico problema de combinatória: ¿de cuántas maneras podemos colocar n objetos distinguibles (las partículas) en m cajas distinguibles? Aquí, las cajas, son las posibles posiciones de cada partícula en la caja (para simplificar, obviamos las velocidades). 

Segundo principio de la Termodinámica y la flecha del tiempo

Gas confinado en un recipiente

Imaginemos que tenemos aire comprimido en un recipiente cerrado por una espita que comunica con otro volumen mayor. Si abrimos la espita, esperaremos que el gas se expanda y ocupe todo el volumen disponible en los dos recipientes. Desde el punto de vista de la entropía, tenemos que al abrir la espita el número de microestados posibles N' es  mucho mayor que el de antes N, con lo cual la entropía ha aumentado al abrir la espita y conectar los dos recipientes.  La generalizacióna cualquier sistema la da el segundo principio de la Termodinámica:

Cuando un sistema aislado entra en desequilibrio (abrimos la espita), espotáneamente evolucionará a otro estado de equilibrio (el gas ocupa los dos recipientes) con una entropía mayor. Equivalentemente: los estados de equilibrio se distinguen por tener la entropía máxima (cualquier otro estado de no-equilibrio ha de aumentar su entropía para llegar al equilibrio). 

La entropía debe aumentar con el tiempo

El segundo principio también se relaciona con el sentido del tiempo: la flecha del tiempo. En efecto, si tomamos , y vemos que endos fotografias de un recipiente una de ellas las partículas estan distribuidas por todo el recipiente (entropía grande), y en la otra estan agrupadas de forma compacta en una esquina (entropía más pequeña), de acuerdo con el segundo principio supondremos que la primera fotografia se tomó después que la segunda. 

Entropía e información

Otra aplicación importante de la entropía la relaciona con la cantidad de información disponible sobre un sistema. Pensando de nuevo en las dos fotografias de un recipiente, vemos que la de la derecha tiene una disposición altamente ordenada, de baja entropía, y la de la izquierda es altamente desordenada (y con alta entropía). De este modo podemos relacionar el aumento de entropía con el aumento de desorden del sistema. Pero el orden y el desorden pueden relacionarse con la información: para localizar cada partícula en la disposición ordenada, basta con saber dos números: la posición de una de ellas y la distáncia que las separa (la misma para todas). En cambio en la disposició desordenada necesitamos la posición de cada partícula por separado: 9 números. Así, la disposición ordenada nos proporciona más información sobre el sistema, pues sólo debemos completarla con dos números para determinar completamente els sistema. 

¿Entropía gravitatoria?

Hemos repasado el concepto de entropía tomando el ejemplo clásico de las moléculas de un gas; en este caso, tener el gas concentrado en una región pequeña es tener un estado de baja entropía. Pero en cosmologia, si estudiamos la evolución de la entropía de una nube de gas debido a la gravedad, las cosas van justo al revés: inicialmente el gas está disperso en una región grande, y debido al carácter atractivo de la gravedad, la nube de gas se irá contrayendo con el tiempo. Si mantenemos la regla de hacer corresponder el aumento de entropía con la flecha del tiempo, entonces a medida que disminuye el tamaño de la nube aumentará su entropía. Esto parece ir en contra del concepto que teníamos de entropía, asociado al grado de desorden del sistema. ¿Quizá la gravedad no cumple la segunda ley de la termodinámica? Veamos...

Fuerzas entrópicas

Cuando extendemos una banda de goma, ésta se opone. ¿Por qué la goma tira hacia atrás cuando se la estira? Se podría pensar que es porque una banda elástica estirada tiene más energía que una sin estirar. Eso sería una explicación correcta para un muelle de metal. Pero el caucho no funciona de esa manera. En su lugar, una banda de goma estirada  tiene menos entropía que una en reposo,  y esto también puede causar una fuerza.

Las moléculas de caucho son como largas cadenas. En reposo estas cadenas pueden disponerse en un montón de formas onduladas al azar. Sin embargo, cuando se estira una de estas cadenas, el número de disposiciones disminuye, e incluso puede llegar a ser la unidad: un único camino, un segmento recto. Cuando tenemos muchos estados posibles mezclados tenemos alta entropía, y cuando tenemos pocos la entropía es menor. Por tanto, al estirar la goma, disminuimos su entropía. Por la segunda ley, la goma tiende a la máxima entropía (recordemos que los estados de equilibrio tienen esa propiedad), y de ahí la fuerza que notamos que tiende a volver la goma a su longitud original. Este es un ejemplo de explicación de una fuerza en términos de entropía: las denominamos fuerzas entrópicas.

La gravedad como fuerza entrópica: la segunda ley generalizada.

Que la gravedad no es una fuerza como las demás de la naturaleza ya quedó claro en la interpretación que hace de ella la Teoría General de la Relatividad: la trata como una consecuencia indirecta de la deformación del espacio-tiempo. 

Recientemente (2009), Erik Verlinde ha propuesto considerar la gravedad como una fuerza entrópica, o sea que aparece de forma emergente debido a la tendencia a la máxima entropía. Volveremos sobre ello posteriormente, antes tenemos que ver como aplicamos la entropía a las singularidades del espacio-tiempo denominadas agujeros negros.

¿Que pasa con las estrellas que colapsan por efecto de su propia gravedad, generando un agujero negro? Deberíamos acordar que un agujero negro tiene una entropía gravitatoria máxima, debido a que el espacio ocupado por la estrella se reduce a cero. Se formará un agujero negro siempre que la estrella en colapso tenga suficiente masa, del orden de como mínimo 3 veces la del Sol.

Además, debido a que muy cerca del centro del agujero negro tenemos enormes deformaciones del espacio-tiempo, entramos en el campo de la Mecánica Cuántica, que es válida para distancias ultra-cortas. Así pues, un adecuado tratamiento de la entropía del agujero negro debe de lidiar con la Relatividad General y con la Mecánica Cuántica a la vez.

Horizonte de sucesos: representación artística.

La famosa y muy notable fórmula de Bekenstein-Hawking proporciona la entropía de un agujero negro, relacionando las dos teorías mencionadas:

S = kc³A / 4Gh

donde k: constante de Boltzmann, c: velocidad de la luz, A: área de la superficie del horizonte de sucesos del agujero negro, G: constante gravitatoria de Newton, h: constante de Planck. El horizonte de sucesos es una esfera que rodea al agujero negro que marca el límite que, de ser traspasado, la gravedad arroja al agujero negro cualquier cosa material o inmaterial (radiación). Vemos que la entropía depende de la superfície de la esfera, no de su volumen.


La indestructible información cuántica
Un postulado fundamental de la mecánica cuántica es que la información completa acerca de un sistema cuántico está codificado en su función de onda. Además, la evolución en el tiempo de la función de onda está determinada por un operador unitario, la cual cosa implica que la información se conserva en el sentido cuántico.

Aquí hay dos grandes principios en juego: el determinismo cuántico, y la reversibilidad. Determinismo significa que, dada una función de onda actual, sus cambios futuros son determinados únicamente por el operador de evolución. La reversibilidad se refiere al hecho de que el operador temporal tiene una inversa, en teoría cambiando el sentido del tiempo volveríamos al punto de partida. Al combinar los dos principios obtenemos que la información siempre debe ser preservada.

En cambio en un sistema macroscópico la evolución en el tiempo suele ser irreversible, debido a la interacción con otros sistemas, intercambio de energía, etc. Por ejemplo, si quemamos un libro, perdemos la información escrita en él de forma irreversible, ya que tenemos un proceso térmico, una combustión, con intercambio de oxígeno con el entorno y transformaciones químicas. He visto en más de un texto este ejemplo de la quema de un libro como ejemplo erróneo de indestructibilidad de la información, enunciando que tampoco se pierde (!): es cierto sólo para información cuántica.


¿Se destruye la información cuántica en los agujeros negros?
A mediados de 1970, Stephen Hawking y Bekenstein Jacob presentaron argumentos teóricos basados ​​en la relatividad general y la teoría cuántica de campos que ponían como incompatibles la Física de los agujeros negros con la conservación de la información cuántica: los cálculos indicaban que el agujero negro radiaba energía sin ninguna estructura (radiación de Hawking) de forma que no conserva la información. A esta aparente contradicción se le ha llamado "la paradoja de la información", y todavía no está del todo resuelta (ver por ejemplo "la apuesta de Thorne–Hawking–Preskill"), aunque en 2004 Hawking admitió que era posible que la radiación del agujero negro devolviera al exterior parte de la información extraída de los objetos que cayeron más allá del horizonte de sucesos.

El principio holográfico

Modelo holográfica que aparece en la
vidriera de la lencería Empreinte de París. ;-)
Fuente: http://www.diariolarepublica.net

Para reconciliar el principio de no destrucción de la información cuántica con la implacable destrucción que parecen generar los agujeros negros, surgió la teoría de la información holográfica: supone que la información (cuántica) de un objeto que se precipita en el agujero negro debe de quedar almacenada, de alguna forma, en la superficie del horizonte de sucesos (recordemos que es una esfera). Ello implica que la información de objetos tridimensionales se guarda en una superficie bidimensional: la superficie de la esfera del horizonte de sucesos. Es el mismo principio de los hologramas, que cuando se iluminan reproducen un objeto en tres dimensiones, usando sólo dos para guardarlo.



Raphael Bousso (Universidad de Berkeley) en 1999 extendió el concepto holográfico más allá de los agujeros negros: la información de cada partícula cuántica, electrones, quarks, etc, se almacenaría en una superficie; esa información se proyecta sobre el mundo y crea nuestra realidad. Herman Verline (Princeton) opina que incluso el propio espacio-tiempo puede ser un fenómeno emergente fruto de la proyección del holograma cuántico.

Escala de Planck: ¿información digital?

El problema con la teoría holográfica es que nadie sabe como se almacena la información cuántica. Una posibilidad viene de la mano del principio de incertidumbre, en virtud del cual existe una escala de lo "muy pequeño" a partir de la cual el mero concepto de distancia pierde su significado: nos referimos a la escala de Planck: 1.36·10⁻³⁵ metros. Si dividimos cualquier superficie en casillas cuadradas de la longitud de Planck, tendremos la superficie mínima medible, que para el caso de almacenamiento de la información, seria el "bit" del Universo. Entonces una posibilidad seria pensar que la información a partir de la que emerge el Universo está codificada en esos minúsculos bits.

El experimento de Craig Hogan

Interferómetro: haces de luz láser interfieren entre sí.

Craig Hogan (Chicago, director del Fermilab Center for Particle Astrophysics)  ha diseñado un experimento para intentar detectar las variaciones de información en los bits del Universo. Como en un ordenador digital, a medida que el Universo cambia de estado, deben de producirse modificaciones en la memoria digital. Se trata de un dispositivo que usa interferometría:  haces de luz láser se dividen, cruzan e interfieren entre sí usando espejos. Detectores convenientemente situados amplifican y detectan cualquier modificación en la distancia recorrida por la luz. Si se detectan estos cambios, implicará que a la escala de Planck, el espacio-tiempo es cuántico y digital. Los cambios que intenta detectar Hogan se producen con una frecuencia del orden de un millón de veces por segundo.

Para saber más

• El camino a la realidad. Roger Penrose.
• Investigación y Ciencia, abril 2012.
  

La naturaleza del espacio y del tiempo (II)

En el anterior post hablamos de las trayectorias en el espacio-tiempo. En éste trataremos sobre el tiempo como coordenada, más específicamente, intentaremos explicar que significado tiene en Relatividad el considerar el tiempo como un número imaginario. Para ello comenzamos con un breve repaso de los números complejos, para el lector no iniciado, pasamos luego a la Relatividad Restringida (transformación de Lorentz y espacio-tiempo complejo de Minkowski) y terminamos con el tiempo imaginario en la Relatividad General.

Números reales y números complejos

Recordemos que los números reales representan un punto en una línia continua. Estan formados por la unión de los números racionales (aquellos que pueden expresarse como un cociente de enteros a/b) con los los números irracionales, que son aquellos que no pueden expresarse como un cociente, y en cambio tienen una expansión decimal a-periódica:

Ejemplos de racionales: 5/6, -1/2, 0, ...
Ejemplos de irracionales: 71/3 =1,91293118277239...,  π = 3,14159265358979

Recta real, mostrando algunos enteros e irracionales

Una propiedad fundamental de los reales es que el cuadrado de un número real no puede ser un número negativo: x² > 0 , y si x² = 0 és que x = 0.

Por contraste, definimos los números imaginarios como aquellos que al elevarlos al cuadrado resulta un número negativo, z² < 0. Para cada número real podemos asociar un número imaginario:

x real <=> x·i imaginario, donde i² = -1 , es decir, i × i = -1 

El número i se llama la unidad imaginaria.

Plano complejo: reales en eje horizontal, imaginarios en eje vertical

Combinando los reales y los imaginarios en un par (x, y) donde x es real e y es imaginario, obtenemos un número complejo z = (x,y), que podemos representar gráficamente en el plano usando el denominado diagrama de Argand, en el cual el eje horizontal representa la recta real, y el eje vertical la recta imaginaria.

Los números complejos tienen muchas propiedades interesantes, pero para nuestros propósitos nos fijaremos en dos.

Módulo y argumento de z

La primera es que cada complejo z = (x,y) tiene asociado un módulo r tal que r² = x² + y², y también un argumento: el ángulo θ con el eje real.

Producto de complejos

La segunda es que cuando multiplicamos dos complejos z*w con módulos r y s argumentos A y B respectivamente, obtenemos un complejo con módulo r*s y argumento A + B .

Esto puede verse como que el complejo w transforma al complejo z multiplicando su módulo y girándolo un ángulo B.

Transformación de Lorentz

Volvamos al espacio-tiempo, concretamente al definido por la Relatividad restringida. Es sabido que en el origen de la teoría está la observación experimental de que la velocidad de la luz c es la misma en cualquier sistema de referencia (ver por ejemplo los experimentos de Michelson-Morley).

Para relacionar las coordenadas de un punto en dos sistemas de referencia que estan en movimiento uno respecto al otro, de forma que se cumpla la constancia de c, es necesario imponer que el tiempo no es absoluto, sino que es diferente en cada referencia. La transformación de Lorentz cumple con los requisitos. En la figura vemos el caso de dos sistemas de referencia que se mueven paralelamente en la dirección del eje x con velocidad v.

Sistemas de referencia en movimiento relativo

 

Debido a que el tiempo no es absoluto para todos las referencias, sino que depende de ellos, la transformación de Lorentz opera en el espacio-tiempo, con coordenadas (x,y,z,t). Su expresión para el caso de referencias que se mueven paralelamente en la dirección del eje x con velocidad v es:

 

Espacio-tiempo de Minkowski: tiempo imaginario

Vamos a tratar de forma diferenciada a la coordenada temporal; supongamos que el eje temporal no contiene números reales, sino imaginarios. Para simplificar, sólo nos fijaremos en una dimensión espacial, digamos x. Entonces los puntos del espacio-tiempo (x,t) son números complejos. Además, fijaremos la unidad de longitud del eje t igual a c, de forma que para un tiempo t, el punto correspondiente del eje t será ict, donde i: unidad imaginaria.

¿Que ventajas tiene esta suposición? Sea el suceso z=(x,t) en la referencia 1; el mismo suceso en la referencia 2 tendrá coordenadas z'=(x',t'), y vendrà dada por la transformación de Lorentz. Se cumplen las siguientes propiedades:

• La transformación de Lorentz L(z) = z' equivale a aplicar una rotación al vector z
• El módulo s = x² – c²t² del vector z es invariante respecto las transformaciones (rotaciones) de Lorentz.

Sucesos en el espacio de Minkowski

En la figura vemos un mismo suceso representado en tres referencias distintas, resultando tres puntos A, A' y A'', con el mismo módulo invariante s.

Algebraicamente, podemos enunciar que la transformación de Lorentz es una transformación ortogonal en el espacio de Minkowski.

Además, si aplicamos dos transformaciones L y L' a un suceso z, L'(L(z)), equivaldrá a girar el suceso un ángulo a + b, siendo a, b los ángulos de giro de L y L' respectivamente. Una aplicación práctica de esta propiedad es la deducción de la ley de adición de velocidades de Einstein, que usando complejos y ángulos de giro no ofrece dificultad:

donde u, u' son las velocidades de un móvil en la referencia 1 y 2, que se mueven una respecto a otra con velocidad v. En la siguiente tabla vemos el resultado de aplicar esta ley, para una velocidad v =0,5c, i distintas velocidades u' (en múltiplos de c). Contrariamente a lo que nos dice la intuición, u no es igual a la suma de v + u', excepto para velocidades muy inferiores a c. La velocidad límite en todo caso nunca supera a c.

Realmente, ¿qué significa un tiempo imaginario?

Podemos pensar que el suponer un tiempo imaginario es un mero artificio matemático útil para la deducción de fórmulas. ¿O bien tiene un significado físico? Creo que en Física siempre podemos aprender algo de la realidad si observamos atentamente el aparato matemático utilizado. En el caso de los números complejos, las propiedades que nos interesan son la rotación y la periodicidad.

Potencial e intensidad alternas.

La utilización de magnitudes complejas en Física es frecuente, pues es conveniente usarlas cuando el fenómeno en estudio presenta variaciones periódicas. 

Por ejemplo en corriente alterna la resistencia, denominada impedancia, al paso de la corriente eléctrica en un circuito se considera que tiene dos componentes, una real y otra imaginaria, z = a + ib, siendo a la parte real del número complejo y b su parte imaginaria. Con ello resulta que la diferencia de potencial y la intensidad de corriente que circula no son constantes, sino que presentan oscilaciones periódicas.

Los fenómenos ondulatorios también se benefician de las propiedades de los complejos; la ecuación del movimiento de una onda plana es:

Observemos la unidad imaginaria i en el exponente, que indica que la amplitud u es un número complejo. También en Mecánica Cuántica la probabilidad de que un objeto cuántico se encuentre en un punto del espacio-tiempo se expresa mediante una ecuación compleja:

 

De nuevo, observemos la unidad imaginaria i en el primer término del miembro de la derecha.

Así pues, concluimos que los números complejos son útiles para expresar oscilaciones periódicas así como giros de variables en el espacio. Volvamos a la Relatividad.

Alternativa: tiempo real, métrica no euclídea

Aunque inicialmente tuvo éxito la introducción del espacio complejo de Minkowski para trabajar con las ecuaciones relativistas, rápidamente aparecieron nuevas tendéncias, entre las cuales la más aceptada fue el volver a un espacio-tiempo real, pero abandonando el espacio euclídeo. Recordemos que en un espacio euclídeo la ruta más corta entre dos puntos es el segmento de recta que los une, y la distancia entre esos dos puntos viene dada por la longitud del segmento, que es lo que se denomina métrica Euclídea. Pero al introducir la coordenada tiempo, y debido a la forma de la transformación de Lorentz, forzosamente hemos de abandonar la métrica Euclídea en favor de métricas más generales, como la métrica de Riemann. El espacio de Minkowski, aunque complejo, es “plano”, no tiene curvatura intrínseca, es Euclídeo.

Además, como es sabido, la Relatividad General es básicamente una teoria geométrica que utiliza un espacio-tiempo curvado por la gravedad, por lo que el uso de métricas no Euclídeas es una forma de unificar las dos teorias, la Relatividad Restringida y la General. 

Más modernamente resurgió el uso del tiempo complejo en Relatividad debido principalmente a los trabajos de Stephen Hawking en Relatividad Cuántica y en el estudio de singularidades espacio-temporales: los agujeros negros y el big-bang. Lo vemos en el siguiente apartado.

Tiempo imaginario y agujeros negros

Basándose en consideraciones termodinámicas, y usando las ecuaciones de la Relatividad General, Hawking y otros demostraron en 1973 que un agujero negro tenia una temperatura (muy baja, de alrededor de 10⁻⁶ grados Kelvin), la cual cosa implica que debe radiar algo de energia, al contrario de lo que se creia hasta entonces: que sólo captaba materia y energia, sin emitir nada en absoluto.

Poco tiempo después, en 1976, Gibson y Perry utilizaron números complejos para resolver la ecuación de Einstein de la Relatividad General, 

Para el caso de un agujero negro, vieron que, por consideraciones de regularidad de la solución, y otras consideraciones termodinámicas, el tiempo complejo, y por tanto periódico, tenia un período T que... ¡era precisamente la temperatura de Hawking del agujero negro! 

Desde entonces se ha hecho habitual el uso del tiempo imaginario en Cosmología Cuántica, tanto en el estudio de la Física de los agujeros negros como en la del Big-Bang inicial. Así, en la actualidad, encontramos consideraciones como:

“Si hacemos la integral de camino en un espacio-tiempo plano con un período T en la dirección del tiempo imaginario, obtenemos la función de partición de la radiación de cuerpo negro de la singularidad.”

La Naturaleza del espacio y del tiempo, capítulo 3. Hawking-Penrose.

Espero que después de la lectura de este post, la afirmación anterior sea un poco menos oscura para los no iniciados, ¡aunque sea sólo en la parte que menciona el tiempo imaginario!

Bibliografia

• La Naturaleza del espacio y del tiempo. Hawking-Penrose.
• El camino a la realidad. Penrose.