Computabilidad, hipercomputadores y conciencia

Tortuga: ¿Cree usted que TODO número par puede ser representado como la diferencia de dos primos impares?
Aquiles: Qué curioso lo similar de esta pregunta a la conjetura de Goldbach (que sustituye "diferencia" por "suma")
Tortuga: Ciertamente. Pero existe una diferencia impresionante. (...) su búsqueda de una representación de un billón como la suma de dos primos tiene la garantía de finalizar.
Aquiles: ¡Ahhh! Ya veo, si elijo representar un billón como la diferencia de dos primos no tendré ningún límite para el tamaño de los primos involucrados, podrían ser tan grandes que me tomaría un billón de años encontrarlos.

D.R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach, un eterno y grácil bucle.

En este artículo daremos una breve introducción a la teoría de la computabilidad, con implicaciones para el conocimiento, la mente, la inteligencia artificial y el Universo (casi nada ;-) .

Comprobación de afirmaciones sobre números
Tal como expone la conversación entre Aquiles y la Tortuga, hay afirmaciones de la teoría de números que pueden comprobarse en un número máximo de pasos previamente conocido, mientras que en otras afirmaciones no podemos asegurar cuantos pasos son necesarios. Para saber si un número natural N es igual a la suma de dos primos, basta con ir probando todas la combinaciones de dos primos menores que el propio número N. Por ejemplo, para N = 24 efectuaremos las sumas crecientes 1+1=2, 1+3=4, 2+3=5, 1+5=6, ..., 11+11=22, 11+13=24. Este proceso tenía que acabar como mucho sumando N-1=23 con 1.
En cambio si buscamos diferencias de números primos no hay un número límite, ya que  siempre podemos escoger primos arbitrariamente grandes, como por ejemplo 991-967=24. Este hecho aparentemente inocente tiene profundas implicaciones, como veremos. Para ello, introducimos los conceptos de sistemas formales y recursión.

Sistemas formales y proposiciones recursivas

Un sistema formal  es un conjunto de símbolos (el alfabeto del sistema, también llamados axiomas),  reglas para combinar los símbolos para formar secuencias de símbolos (también llamadas cadenas o teoremas) y las reglas de la lógica de proposiciones, para poder afirmar o negar proposiciones.

Por ejemplo, sea el siguiente sistema formal:

• Alfabeto: "M","U"
• Cadenas válidas: secuencias de las letras del alfabeto que siguen las reglas.
• Regla I: a una cadena terminada en U se le puede agregar otra U
• Regla II: a una cadena que contenga la secuencia UUU se le puede sustituir la secuencia por M
• Variables: x, y, z  que representan cadenas cualesquiera
  
• Operaciones lógicas: AND, OR, NOT , (implicación), ∀ (para todo)
  

Aplicando las reglas, a partir del alfabeto se pueden formar cadenas válidas (denominadas teoremas): M, U, UU, UUU, UUUU, UM, ... Aplicando operaciones lógicas, podemos formar proposiciones lógicas: UU UUU (por la regla I), ∀xUUUy  xMy (la regla II).

En todo sistema formal hay verdades (teoremas y axiomas) y falsedades (ninguna de las anteriores):

• UU es un teorema: es cierto
• M es un axioma: es cierto
• MU M es falso: no hay ninguna regla que lo permita

Una proposición es recursiva si podemos diseñar un algoritmo que sea capaz de comprobar si la proposición es cierta. Si además el algoritmo necesita una secuencia de pasos de finalización predecible, entonces la proposición es recursiva primitiva. Así, en el sistema de la aritmética, la afirmación "el número N cumple la conjetura de Goldbach", equivalente a decir "es igual a la suma de dos primos", es una verdad recursiva primitiva, ya que podemos comprobarlo realizando operaciones aritméticas en un número finito que será menor o igual que un límite dado. En cambio la proposición "N es una diferencia de dos primos" no es recursiva primitiva, pues no sabemos el número máximo de pasos a seguir. Cuando todas las proposiciones que podamos hacer sobre un sistema son recursivas, el propio sistema formal será recursivo.

Expresabilidad  y representabilidad

En un sistema formal la expresabilidad significa que cualquier predicado que enunciemos sobre el sistema podrá expresarse en el lenguaje propio del sistema.
Resulta ser que todo sistema recursivo es expresable.

Entonces cualquier afirmación cierta o falsa respecto al sistema, como por ejemplo "no existe ningún teorema (cadena bien formada) que termine en  MU", la podremos expresar con los símbolos del sistema: "NOT xMU". Tenemos que este sistema posee la propiedad de la expresabilidad.

La representabilidad de una proposición significa que siempre que la proposición es cierta entonces tenemos un teorema del sistema, y cuando es falsa tenemos  un no teorema. Por ejemplo "existen cadenas que terminan en  MU" produce las cadenas MU, UMU, MUMU, ... ¿Son todas teoremas? Sí lo son. (compruébelo el lector). En el caso de que cualquier cadena terminada en MU sea un teorema, diremos que la proposición es representable. Si todas las proposiciones posibles son representables, el sistema formal será representable.

La propiedad de la representabilidad es más difícil de poseer que la expresabilidad. No insistiremos en ello, ya que nos apartaría de la línia que nos hemos trazado.

Verdades y falsedades no computables
Se cree que la propiedad de un sistema de ser recursivo implica que es computable (tesis Church-Turing), o sea que para saber si una proposición es cierta o falsa podemos programar un computador que nos responda la pregunta; el tiempo que empleará dependerá de si la proposición es recursiva primitiva o no.

¿Qué afirmaciones no serán recursivas y por tanto no computables? En general cualquier sistema suficientemente complejo para poder referenciarse a sí mismo será no recursivo. Por ejemplo, decidir si un algoritmo que busca dos números primos cuya diferencia sea igual a un billón se detendrá en un número finito de pasos no es un problema computable; o sea, no existe ningún algoritmo que decida si el algoritmo de las diferencias de primos se detendrá. Entonces la verdad o falsedad de la afirmación "el algoritmo que busca dos números primos cuya diferencia sea igual a un billón se detendrá" no es computable. Observemos que "no computable" significa que no sabemos si el programa de ordenador encontrará la solución en tiempo determinado, que es indecidible computacionalmente.

Ahora bien, parece evidente que toda afirmación ha de ser falsa o verdadera, aunque ello sea indecidible computacionalmente. ¿O quizá no está tan claro?. Veamos algunas opiniones al respecto.

Computabilidad de la mente. Tesis de la inteligencia artificial (IA)
Viene a decir: "Lo que es computable por los seres humanos es computable a través de máquinas". O sea que todo proceso mental de decisión ha de poder representarse por un algoritmo que se pueda ejecutar en un ordenador. Si es el caso, entonces como hay afirmaciones indecidibles computacionalmente, tales afirmaciones también seran indecidibles para la mente humana. Siguiendo esta línea de razonamiento, si una afirmación es indecidible, ¿podemos sostener que ha de ser cierta o falsa? ¿O bien su certeza es simplemente indefinida, ni cierta ni falsa?

Nuestra intuición nos indica lo contrario, que toda afirmación ha de estar definida, otra cosa es el conocimiento que tengamos sobre ella. Siguiendo nuestra intuición diríamos que hay un conocimiento computable y también un conocimiento no computable. La cuestión ahora es: ¿la mente tiene acceso al conocimiento no computable?. Según los defensores de la IA la respuesta es negativa.

Por otro lado existe la teoría de la hipercomputación que afirma la posibilidad de programar máquinas para resolver problemas no recursivos; si fuera cierto todos los enunciados serían decidibles computacionalmente, e incluso podríamos tener IA superior a la inteligencia humana.

Autoconciencia y computabilidad
La autoconciencia es una forma de auto-referencia, y en principio, aplicando lo visto hasta ahora, podemos pensar que es poseída por sistemas no computables. No obstante, los seguidores de la tesis de la IA en su versión fuerte enuncian que también la conciencia ha de ser computable. Claro, siempre podemos separar la conciencia de la autoconciencia, y decir que la primera es computable y la segunda no; por ejemplo, un gato es consciente pero no es autoconsciente, así que debería ser posible emular con un ordenador la mente de un gato, algo que todavía está fuera de nuestras posibilidades. (Nota: IBM anunció que había construido un superordenador con 147.000 CPU's que tenía la potencia de cálculo del cerebro de un gato, pero hay cierta controversia con ello, y además sólo han construido el "hardware", falta el "software", esto es, la mente).

Computabilidad del Universo

Hay  teorías que afirman que el Universo en su conjunto se comporta como un inmenso ordenador, que procesa información y la transforma. 

En esta línea una de las variantes afirma que el Universo sólo procesa información recursiva (computable), y precisamente por ello la información no recursiva es no computable, ya que el Universo no puede contener un ordenador más potente que él mismo (!). Equivalentemente, se afirma que el Universo se comporta como una máquina de Turing. Si están en lo cierto, todo proceso físico podrá simularse en un computador, y la Física computacional eventualmente podrá simular todo el Universo.

Otra corriente de opinión sostiene que existen procesos no computables, y que no podemos ignorarlos, y por tanto el Universo se comporta como un hipercomputador cuántico. Entonces, en un futuro podría ser posible construir hipercomputadores que resolvieran todos los problemas, tanto computables como no computables.

Por último hay quienes opinan que el Universo no es computable ni lo será nunca, y que la hipercomputación es irrealizable en la práctica.

Conclusiones

De un asunto aparentemente muy específico, como es la computabilidad de afirmaciones numéricas sencillas, vemos que se extienden ramificaciones que llegan a la teoría del conocimiento (cómo saber que es cierto y que es falso), la mente y la conciencia e incluso a todo el Universo, planteándonos cuestiones muy importantes que quedan abiertas.

Bibliografía

• D.R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach, un eterno y grácil bucle.

La conjetura de Hodge para “dummies”

Introducción

La conjetura de Hodge es una de los llamados “problemas del milenio” propuestos por el Clay Mathematics Institute, cada uno de los cuales está premiado con un millón de dólares para el investigador que los resuelva. En general para el no iniciado no es fácil entender los enunciados de estos problemas, de hecho lo más común es no entender en absoluto lo que se pide. Éste suele ser el caso de la conjetura de Hodge , y es así incluso para matemáticos profesionales que no están trabajando en el campo de la topología algebraica. En este sentido se han realizado charlas y presentaciones para mostrar el sentido de la conjetura al público no especializado. En éste artículo intento mostrar el significado y utilidad práctica de la conjetura para los lectores no matemáticos pero interesados en la ciencia. Evidentemente un conocimiento de matemáticas en general a nivel universitario será de gran ayuda.

Este artículo se presenta al Carnaval de Matemáticas edición 2.8, que está alojado en el bloc Ciencia Conjunta. A continuación traduzco la descripción oficial del problema, ligeramente retocada. En lo que sigue definiremos los conceptos básicos necesarios para entender el significado y la importancia de esta conjetura. Empezaremos por las definiciones de geometrías y espacios no euclídeos, siguiendo con las construcciones matemáticas llamadas variedades.

Descripción oficial

En el siglo XX los matemáticos descubrieron técnicas muy generales para investigar las formas de objetos complicados en espacios abstractos. La idea básica es preguntar en qué medida podemos aproximar la forma de un objeto dado construyéndolo a partir de bloques simples de dimensión cada vez mayor. Esta técnica resultó ser tan útil que tiene muchas generalizaciones diferentes, llevando eventualmente a potentes herramientas que han permitido hacer a los matemáticos grandes progresos en la catalogación de la variedad de objetos que encontraron en sus investigaciones. Desafortunadamente, los orígenes geométricos del procedimiento, más intuitivos,  se oscurecieron en esta generalización. En cierto sentido, era necesario añadir bloques que no tenían ninguna interpretación geométrica.

La conjetura de Hodge afirma que para los tipos especialmente útiles de  espacios llamados variedades algebraicas proyectivas, los “bloques de construcción“ llamados ciclos de Hodge son en realidad  combinaciones (racionales lineales) de otros bloques geométricos llamadas ciclos algebraicos. Veamos que significa esto y que aplicaciones tiene.

Geometrías no euclídeas
La geometría euclídea es la que aprendemos en la escuela, la más intuitiva; sus principios rectores fueron postulados por Euclídes en su tratado Elementos.

En el siglo XIX se empezó a pensar en la posibilidad de postular geometrías alternativas que no cumplieran todos los postulados de Euclides. Por ejemplo el quinto postulado afirma que si una recta corta a otras dos con  ángulos internos cuya suma sea menor que 180 grados entonces esas dos rectas prolongadas se cortan. Negando ese postulado pero manteniendo los otros cuatro se llega a las geometrías hiperbólicas.

Veamos otra geometría no euclídea: de los postulados de Eucĺides se deduce que las posiciones relativas de dos rectas no coincidentes y sus puntos de corte pueden ser de dos formas posibles:

          

La geometría proyectiva en cambio enuncia que todo par de rectas se cortan en un punto: define el punto del infinito, de forma que cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en ese punto del infinito. El punto del infinito no se considera especial, al contrario, es un punto más. Entonces todo conjunto de rectas paralelas tendrá un punto en el infinito común.  El conjunto de todos los puntos en el infinito forman una recta,  la recta del infinito. Esta construcción se corresponde con los puntos de fuga visuales: las vías del tren, paralelas, vistas desde la perspectiva del ojo parecen cortarse en un punto.

Así, en la geometría proyectiva, todas las rectas se cortan, tanto si son paralelas como si no; este hecho facilita los desarrollos teóricos, al eliminar el caso especial de rectas paralelas.


El plano complejo

Un número complejo x se define por x = a + bi, donde i² = -1. En el plano complejo asociamos a cada complejo x un punto de coordenadas (a,b). El eje horizontal representa los números reales y el eje vertical los denominados números imaginarios. Los complejos son de gran utilidad práctica en ingeniería eléctrica y electrónica, en Física y por supuesto en Matemáticas.

Proyección estereográfica

Sea un círculo de radio unidad en el plano; si trazamos rectas desde el punto N del “polo norte” del círculo, cortaran al eje horizontal en un punto P', y al círculo en otro punto P. Si imaginamos el mismo esquema pero con una esfera de radio unidad, entonces el eje horizontal será un plano horizontal (el plano ecuatorial), y las rectas que parten de N seguirán definiendo los puntos de corte P' y P. Se define P' como la proyección estereográfica de P. Cualquier punto de la esfera se representa como un punto del plano; para el punto N su proyección será el punto del infinito.

Espacios proyectivos complejos

Como antes, consideremos una esfera de radio unidad pero ahora el plano ecuatorial será el plano complejo C.  La esfera estará situada en el espacio complejo C², formado por parejas de complejos (x,y), y se conoce por la esfera de Riemann. Si nos fijamos en el conjunto de rectas proyectivas de C² que parten de N, se define el espacio proyectivo complejo CP¹ como ese conjunto de rectas. Observemos que al definir el espacio proyectivo “hemos bajado” una dimensión: desde C² definimos CP¹. Así, la esfera de Riemann define el el espacio proyectivo complejo de una dimensión, también llamado línea proyectiva.

Si en vez de usar el plano complejo C como plano ecuatorial, usamos el espacio C², necesitaremos una esfera en C³ (espacio formado por ternas de puntos (x,y,z) complejos) que obviamente ya no podemos representar gráficamente. Pero las ideas son las mismas, y obtendríamos el espacio CP², el plano proyectivo complejo. En general, usando n+1 dimensiones complejas obtenemos un espacio proyectivo CP(n).

Formas algebraicas en el espacio  CP²; variedades
El el espacio CP² podemos definir rectas, círculos y cualquier otra figura geométrica; en general una variedad algebraica en CP² es el conjunto de puntos de C³ que cumplen una ecuación algebraica F(x,y,z) = 0. Las variedades (manifold en inglés) son generalizaciones de las figuras que conocemos del espacio euclídeo a espacios abstractos de cualquier dimensión.

Otro tipo de variedad es la variedad topológica: son aquellas que, si las “observamos con una lupa”,  veremos que en pequeñas porciones la variedad “parece” un espacio euclídeo; de forma más técnica se dice que localmente las variedades topológicas son homomorfas al espacio euclídeo.

Una subclase muy importante de las variedades topológicas son las variedades diferenciables: localmente son suficientemente “suaves” para poder aproximarlas por un plano euclídeo. La esfera (en cualquier número de dimensiones) es un ejemplo de variedad topológica diferenciable.

El concepto de variedad es fundamental para muchas partes de la geometría y la física matemática moderna, ya que permite estudiar estructuras más complicadas que se expresan y se entienden en términos de las propiedades relativamente bien entendidas de variedades en espacios.

Subvariedades
Una subvariedad es un subconjunto de puntos de una variedad elegidos de tal manera que dicho subconjunto es a su vez una variedad.

En  nuestro viaje hacia la conjetura de Hodge hasta ahora tenemos un espacio “suave” que localmente se asemeja el espacio euclidiano, pero a mayor escala ese "espacio" es diferente, y que se describe por un grupo de ecuaciones. Lo que hacemos ahora es dividir ese espacio en partes geométricas más pequeñas y simples: las subvariedades. Esto nos permite simplificar el estudio de las propiedades de variedades abstractas, al descomponerlas en subvariedades más simples. Pero antes introducimos el concepto de topología.


Topología y espacios topológicos
La topología estudia las propiedades más fundamentales de toda la geometría, en el sentido de que es más fácil que dos objetos geométricos sean topológicamente equivalentes que usando cualquier otra teoría geométrica, como la algebraica. Por ejemplo, dos figuras aparentemente tan distintas como un “donut” (hablando en propiedad tal figura es un “toro”) y una jarra son topológicamente equivalentes porque se puede convertir una en otra mediante deformaciones continuas sin rasgar ni cortar:

 Por lo tanto una herramienta básica en el estudio de las geometrías más complicadas y abstractas es considerar su estructura topológica.

Un espacio topológico es una estructura matemática simple formada por un conjunto S, un conjunto T de subconjuntos de S, y unas reglas  referentes a las uniones e intersecciones de los subconjuntos de T. Por ejemplo, los números reales (el conjunto S) junto con los intervalos de reales (a,b) (todos ellos forman el conjunto T) y algunas propiedades básicas de los números definen el espacio topológico de los reales.

Es una estructura simple porque sólo depende de la teoría de conjuntos. Por otra parte se puede relacionar la topología de un espacio con su métrica (la forma como medimos distancias); en estos espacios topológicos métricos se definen y estudian distancias entre conjuntos, así como proximidades, fronteras de conjuntos, etc.

Tipos de espacios
Hasta ahora hemos definido diferentes tipos de espacios: euclídeos, proyectivos, reales, complejos, diferenciables, topológicos... Es importante tener en cuenta que estas clasificaciones se superponen. Así, por ejemplo, podemos considerar en el espacio proyectivo complejo C² una medida de la distancia, con lo cual lo dotamos de una métrica (con lo cual será un espacio métrico); si además consideramos sus propiedades topológicas, entonces tratamos a C² como espacio topológico métrico.


Homotopías, homologías, grupos y clases
Cuando se estudian los espacios vectoriales se trabaja con sus subespacios, más simples; de la misma misma forma,  se estudia un espacio topológico mirando subespacios topológicos, como curvas o superficies. Puesto que hay muchos posibles subespacios, se introduce una relación de equivalencia (permite realizar una clasificación de los subespacios en clases de equivalencias):   la homotopía, o invariabilidad de deformación.

Esta relación de equivalencia en la práctica es todavía complicada; otra más sencilla de calcular es la homología: dos figuras geométricas dentro de un espacio dado son homólogas si juntas forman el contorno de una figura de dimensiones superiores.

La motivación original para la definición de grupos de homología es la observación de que un aspecto importante de la forma de un objeto son sus huecos cerrados (“agujeros”). Debido a que un hueco es algo que "no existe", no es trivial definir un agujero, o cómo distinguir entre diferentes tipos de agujeros. La homología es un método matemático riguroso para detectar y clasificar huecos,

Por ejemplo las vocales {A, E, I, O, U} consideradas como formas se pueden clasificar en dos clases: sin huecos cerrados {E, I, U} y con un hueco cerrado {A, O}.

A cualquier espacio topológico X se puede asociar un conjunto Hk (X), siendo k un número natural,  cuyos elementos son clases de homología. El tamaño y la estructura de Hk (X) ofrece información sobre el número de “agujeros” en X.

Por ejemplo, un “toro” en el espacio euclídeo es una superficie de revolución que se obtiene cuando un círculo gira alrededor de una recta que está en su plano sin cortarlo. Algebraicamente se expresa como la combinación lineal de dos círculos distintos, como se muestra a la derecha: uno de color rosa y otro de rojo. Hablando informalmente, cada círculo es una clase de homología del toro.

Topológicamente, esto significa que un camino cerrado que primero rodea al hueco del toro  (como  el círculo rosa) y después da la la vuelta al cuerpo del toro  (como el círculo rojo) se puede deformar a un camino que primero rodea al cuerpo y luego al hueco. El toro tiene una generalización a dimensiones más altas, el toro n-dimensional, o el n-toro, para abreviar, que se forma combinando  n círculos. El toro del espacio euclídeo es un 2-toro.


Ciclos algebraicos
Ahora que ya tenemos los conceptos de variedad, sub-variedad y clases de homología, podemos definir los “bloques” elementales que aparecen en la conjetura de Hodge.

Primero de todo, decir que un resultado general es que en una variedad, que hemos visto que se define por unas ecuaciones, sus sub-variedades, también definidas por unas ecuaciones, se pueden separar en clases de homología que “recubren” la variedad.

En particular, un ciclo algebraico de una variedad algebraica V es  una clase de homología en V que se puede expresarse como una combinación lineal de las subvariedades de V.

El estudio de los ciclos algebraicos es en uno de los principales objetivos de la geometría algebraica de las variedades en general, siendo muy útil para descubrir propiedades. La dificultad es: demostrar la existencia de ciclos algebraicos es relativamente fácil, pero los métodos actuales  para construirlos son deficientes. Si tuviéramos métodos prácticos de construcción de clases de homologías de variedades (como los ciclos  algebraicos) se podría probar la existencia de subvariedades con ciertas propiedades deseables prefijadas utilizando cálculos de homología. Ello nos daría un potente instrumento de estudio de las variedades en general.

Ciclos de Hodge
Un ciclo de Hodge es un tipo especial  de  clase de homología en una variedad compleja algebraica que cumple ciertas condiciones específicas que no reproduciremos aquí. Se define por tanto de forma distinta a los ciclos algebraicos. Recordemos que la existencia de subvariedades con  “buenas” propiedades de homología nos facilita el estudio de las variedades en general; pues bien, los ciclos de Hodge estan definidos de forma que tienen esas buenas propiedades. La descripción detallada de dichas propiedades, su justificación, etc, son temas especializados que quedan fuera del ámbito de este artículo.

La conjetura de Hodge
Hemos visto que los espacios topológicos son simples en el sentido de que se  definen por una pocas propiedades; supongamos que en un cierto conjunto, que podría ser una variedad A, definimos una topología, y también definimos un subconjunto B de A que es diferenciable (recordemos que las variedades diferenciables son una subclase de las variedades topológicas).

Tenemos una variedad proyectiva compleja “suave" en el espacio proyectivo CPn que se describe por un grupo de ecuaciones de tal manera que tiene dimensión par (esto es así porque los números complejos tienen dimensión 2, y la dimensión resultante de CPn será (n+1)·2, que es par) . Luego tomamos la topología de la variedad y la dividimos en partes geométricas más pequeñas llamadas "ciclos de Hodge".

La conjetura afirma que: para los tipos de espacios llamados variedades algebraicas complejas proyectivas, los ciclos topológicos de Hodge son iguales a combinaciones racionales lineales de ciclos algebraicos.

Aplicaciones en cálculo diferencial e integral en variedades
Una forma diferencial es una generalización de los conceptos de derivada, vector gradiente, rotacional, etc del espacio euclídeo, aplicados a variedades diferenciables en espacios abstractos. Resulta ser que en espacios diferenciables existe una relación entre las clases de homología de los ciclos y las clases de equivalencia de las formas diferenciables.

Por otra parte, la integral definida de una función real f(x) en un intervalo (a,b) es una suma que realizamos sobre una linealización de la función, usando el concepto de diferencial dx:

Generalizando este concepto a funciones complejas integradas sobre variedades,

el intervalo (a,b) se transforma en la variedad A, y el integrando f(x)dx en la forma diferencial dw; la expresión anterior es el enunciado del teorema de Stokes, que relaciona la integral sobre la variedad con la integral sobre la frontera de la variedad, dA. Gracias a la descomposición de la variedad en elementos más simples, los ciclos, se simplifica el estudio de la diferenciación y de la integración en variedades. También el campo de estudio de las ecuaciones diferenciales se beneficia de la teoría de los ciclos y variedades.  

Fuentes de información

• Wolfram Matworld: http://mathworld.wolfram.com
• Blog de la mula Francis: http://francisthemulenews.wordpress.com/?s=hodge
• La conjetura de Hodge explicada para torpes por Dan Freed: http://www.ma.utexas.edu/users/dafr/HodgeConjecture/netscape_noframes.html
• Martin Lipschutz: Geometría Diferencial. McGraw Hill.
• Roger Penrose: El camino a la realidad. Debate. 
• Wikipedia