Computabilidad, hipercomputadores y conciencia

Tortuga: ¿Cree usted que TODO número par puede ser representado como la diferencia de dos primos impares?
Aquiles: Qué curioso lo similar de esta pregunta a la conjetura de Goldbach (que sustituye "diferencia" por "suma")
Tortuga: Ciertamente. Pero existe una diferencia impresionante. (...) su búsqueda de una representación de un billón como la suma de dos primos tiene la garantía de finalizar.
Aquiles: ¡Ahhh! Ya veo, si elijo representar un billón como la diferencia de dos primos no tendré ningún límite para el tamaño de los primos involucrados, podrían ser tan grandes que me tomaría un billón de años encontrarlos.

D.R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach, un eterno y grácil bucle.

En este artículo daremos una breve introducción a la teoría de la computabilidad, con implicaciones para el conocimiento, la mente, la inteligencia artificial y el Universo (casi nada ;-) .

Comprobación de afirmaciones sobre números
Tal como expone la conversación entre Aquiles y la Tortuga, hay afirmaciones de la teoría de números que pueden comprobarse en un número máximo de pasos previamente conocido, mientras que en otras afirmaciones no podemos asegurar cuantos pasos son necesarios. Para saber si un número natural N es igual a la suma de dos primos, basta con ir probando todas la combinaciones de dos primos menores que el propio número N. Por ejemplo, para N = 24 efectuaremos las sumas crecientes 1+1=2, 1+3=4, 2+3=5, 1+5=6, ..., 11+11=22, 11+13=24. Este proceso tenía que acabar como mucho sumando N-1=23 con 1.
En cambio si buscamos diferencias de números primos no hay un número límite, ya que  siempre podemos escoger primos arbitrariamente grandes, como por ejemplo 991-967=24. Este hecho aparentemente inocente tiene profundas implicaciones, como veremos. Para ello, introducimos los conceptos de sistemas formales y recursión.

Sistemas formales y proposiciones recursivas

Un sistema formal  es un conjunto de símbolos (el alfabeto del sistema, también llamados axiomas),  reglas para combinar los símbolos para formar secuencias de símbolos (también llamadas cadenas o teoremas) y las reglas de la lógica de proposiciones, para poder afirmar o negar proposiciones.

Por ejemplo, sea el siguiente sistema formal:

• Alfabeto: "M","U"
• Cadenas válidas: secuencias de las letras del alfabeto que siguen las reglas.
• Regla I: a una cadena terminada en U se le puede agregar otra U
• Regla II: a una cadena que contenga la secuencia UUU se le puede sustituir la secuencia por M
• Variables: x, y, z  que representan cadenas cualesquiera
  
• Operaciones lógicas: AND, OR, NOT , (implicación), ∀ (para todo)
  

Aplicando las reglas, a partir del alfabeto se pueden formar cadenas válidas (denominadas teoremas): M, U, UU, UUU, UUUU, UM, ... Aplicando operaciones lógicas, podemos formar proposiciones lógicas: UU UUU (por la regla I), ∀xUUUy  xMy (la regla II).

En todo sistema formal hay verdades (teoremas y axiomas) y falsedades (ninguna de las anteriores):

• UU es un teorema: es cierto
• M es un axioma: es cierto
• MU M es falso: no hay ninguna regla que lo permita

Una proposición es recursiva si podemos diseñar un algoritmo que sea capaz de comprobar si la proposición es cierta. Si además el algoritmo necesita una secuencia de pasos de finalización predecible, entonces la proposición es recursiva primitiva. Así, en el sistema de la aritmética, la afirmación "el número N cumple la conjetura de Goldbach", equivalente a decir "es igual a la suma de dos primos", es una verdad recursiva primitiva, ya que podemos comprobarlo realizando operaciones aritméticas en un número finito que será menor o igual que un límite dado. En cambio la proposición "N es una diferencia de dos primos" no es recursiva primitiva, pues no sabemos el número máximo de pasos a seguir. Cuando todas las proposiciones que podamos hacer sobre un sistema son recursivas, el propio sistema formal será recursivo.

Expresabilidad  y representabilidad

En un sistema formal la expresabilidad significa que cualquier predicado que enunciemos sobre el sistema podrá expresarse en el lenguaje propio del sistema.
Resulta ser que todo sistema recursivo es expresable.

Entonces cualquier afirmación cierta o falsa respecto al sistema, como por ejemplo "no existe ningún teorema (cadena bien formada) que termine en  MU", la podremos expresar con los símbolos del sistema: "NOT xMU". Tenemos que este sistema posee la propiedad de la expresabilidad.

La representabilidad de una proposición significa que siempre que la proposición es cierta entonces tenemos un teorema del sistema, y cuando es falsa tenemos  un no teorema. Por ejemplo "existen cadenas que terminan en  MU" produce las cadenas MU, UMU, MUMU, ... ¿Son todas teoremas? Sí lo son. (compruébelo el lector). En el caso de que cualquier cadena terminada en MU sea un teorema, diremos que la proposición es representable. Si todas las proposiciones posibles son representables, el sistema formal será representable.

La propiedad de la representabilidad es más difícil de poseer que la expresabilidad. No insistiremos en ello, ya que nos apartaría de la línia que nos hemos trazado.

Verdades y falsedades no computables
Se cree que la propiedad de un sistema de ser recursivo implica que es computable (tesis Church-Turing), o sea que para saber si una proposición es cierta o falsa podemos programar un computador que nos responda la pregunta; el tiempo que empleará dependerá de si la proposición es recursiva primitiva o no.

¿Qué afirmaciones no serán recursivas y por tanto no computables? En general cualquier sistema suficientemente complejo para poder referenciarse a sí mismo será no recursivo. Por ejemplo, decidir si un algoritmo que busca dos números primos cuya diferencia sea igual a un billón se detendrá en un número finito de pasos no es un problema computable; o sea, no existe ningún algoritmo que decida si el algoritmo de las diferencias de primos se detendrá. Entonces la verdad o falsedad de la afirmación "el algoritmo que busca dos números primos cuya diferencia sea igual a un billón se detendrá" no es computable. Observemos que "no computable" significa que no sabemos si el programa de ordenador encontrará la solución en tiempo determinado, que es indecidible computacionalmente.

Ahora bien, parece evidente que toda afirmación ha de ser falsa o verdadera, aunque ello sea indecidible computacionalmente. ¿O quizá no está tan claro?. Veamos algunas opiniones al respecto.

Computabilidad de la mente. Tesis de la inteligencia artificial (IA)
Viene a decir: "Lo que es computable por los seres humanos es computable a través de máquinas". O sea que todo proceso mental de decisión ha de poder representarse por un algoritmo que se pueda ejecutar en un ordenador. Si es el caso, entonces como hay afirmaciones indecidibles computacionalmente, tales afirmaciones también seran indecidibles para la mente humana. Siguiendo esta línea de razonamiento, si una afirmación es indecidible, ¿podemos sostener que ha de ser cierta o falsa? ¿O bien su certeza es simplemente indefinida, ni cierta ni falsa?

Nuestra intuición nos indica lo contrario, que toda afirmación ha de estar definida, otra cosa es el conocimiento que tengamos sobre ella. Siguiendo nuestra intuición diríamos que hay un conocimiento computable y también un conocimiento no computable. La cuestión ahora es: ¿la mente tiene acceso al conocimiento no computable?. Según los defensores de la IA la respuesta es negativa.

Por otro lado existe la teoría de la hipercomputación que afirma la posibilidad de programar máquinas para resolver problemas no recursivos; si fuera cierto todos los enunciados serían decidibles computacionalmente, e incluso podríamos tener IA superior a la inteligencia humana.

Autoconciencia y computabilidad
La autoconciencia es una forma de auto-referencia, y en principio, aplicando lo visto hasta ahora, podemos pensar que es poseída por sistemas no computables. No obstante, los seguidores de la tesis de la IA en su versión fuerte enuncian que también la conciencia ha de ser computable. Claro, siempre podemos separar la conciencia de la autoconciencia, y decir que la primera es computable y la segunda no; por ejemplo, un gato es consciente pero no es autoconsciente, así que debería ser posible emular con un ordenador la mente de un gato, algo que todavía está fuera de nuestras posibilidades. (Nota: IBM anunció que había construido un superordenador con 147.000 CPU's que tenía la potencia de cálculo del cerebro de un gato, pero hay cierta controversia con ello, y además sólo han construido el "hardware", falta el "software", esto es, la mente).

Computabilidad del Universo

Hay  teorías que afirman que el Universo en su conjunto se comporta como un inmenso ordenador, que procesa información y la transforma. 

En esta línea una de las variantes afirma que el Universo sólo procesa información recursiva (computable), y precisamente por ello la información no recursiva es no computable, ya que el Universo no puede contener un ordenador más potente que él mismo (!). Equivalentemente, se afirma que el Universo se comporta como una máquina de Turing. Si están en lo cierto, todo proceso físico podrá simularse en un computador, y la Física computacional eventualmente podrá simular todo el Universo.

Otra corriente de opinión sostiene que existen procesos no computables, y que no podemos ignorarlos, y por tanto el Universo se comporta como un hipercomputador cuántico. Entonces, en un futuro podría ser posible construir hipercomputadores que resolvieran todos los problemas, tanto computables como no computables.

Por último hay quienes opinan que el Universo no es computable ni lo será nunca, y que la hipercomputación es irrealizable en la práctica.

Conclusiones

De un asunto aparentemente muy específico, como es la computabilidad de afirmaciones numéricas sencillas, vemos que se extienden ramificaciones que llegan a la teoría del conocimiento (cómo saber que es cierto y que es falso), la mente y la conciencia e incluso a todo el Universo, planteándonos cuestiones muy importantes que quedan abiertas.

Bibliografía

• D.R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach, un eterno y grácil bucle.

Elegante = verdadero

Frecuentemente los matemáticos y los físicos se guían por su intuición al enunciar y probar teorías; dicha intuición suele tener en cuenta propiedades aparentemente "inmateriales" como la elegancia y la belleza. ¿Por qué? 

Elegancia y belleza matemática

Platón afirmaba que la belleza debía de estar al servicio del conocimiento y del bien. Hoy en día los matemáticos y los físicos afirman que la “elegancia” de una teoría puede proporcionarles un indicio de su exactitud. Entendemos por elegancia el atributo de ser excepcionalmente eficaz y sencillo a la vez.
A este respecto recuerdo mi primer día de clase de la asignatura de Electromagnetismo en segundo de carrera (ya hace un montón de años), cuando el catedrático escribió las ecuaciones de Maxwell en la pizarra,

 

y acto seguido dijo “estas ecuaciones explican todos los fenómenos eléctricos, magnéticos y electromagnéticos, las ondas de radio, la luz, la radiación, todo. En el resto del curso nos dedicaremos exclusivamente a estudiar sus implicaciones”. Me impresionó tanta información de tanta importancia condensada en tan poco espacio y, además, expresada de una forma que permite hacer deducciones prácticas. A mi modo de ver, estas impresiones coinciden bastante con la definición de elegancia dada arriba: eficaz y simple. Además, presentan una evidente simetría, una alternancia entre los campos E y B.

Otra ecuación con numerosos adeptos en cuanto a su elegancia es la identidad de Euler,

que reúne en forma muy breve y simple, de forma sorprendente, a cinco valores importantes de las matemáticas, el número pi, el número de Euler, el número imaginario i, la unidad y el cero.

La percepción de la "belleza" a menudo implica la interpretación de alguna ecuación o ley de la naturaleza que produce sentimientos de atracción y bienestar emocional. En la mentes de los matemáticos, esta percepción parece estar relacionada con la elegancia: su eficacia y su modo directo de expresar una verdad universal.

Veamos a continuación dos corrientes de pensamiento acerca del  origen de la sensación de belleza y elegancia en las teorías científicas, particularmente en las matemáticas y la física: la platónica y la enunciada por las ciencias cognitivas.

Los platónicos

Sostienen que las verdades matemáticas son necesariamente existentes de forma independiente de la mente humana, lo que hacen los matemáticos es descubrir verdades que ya estaban ahí, independientemente de si hay o no alguien para hacerlo. La intuición matemática sería una "inspiración" que nos conecta con esa realidad pre-existente. No me extenderé más sobre esta corriente de opinión pues ya lo hice en otro artículo reciente: los fundamentos de la matemática, !no están fundamentados!,  al cual me remito. 

Sí añadiré que muchos matemáticos son platónicos incluso sin ser conscientes de ello: basta con fijarse en cuantos de ellos al hablar se expresan en términos de "descubrimientos". Por ejemplo, la identidad de Euler, ¿fue descubierta?  Responder sí implica aceptar que ya existía de antemano, pero era desconocida hasta que Euler la descubrió, y eso es platonismo matemático. Un buen artículo al respecto es Las verdades matemáticas, ¿se inventan o se descubren?, en el blog PsicoGeek.

Belleza y verdad en las ciencias cognitivas

En el otro extremo de opinión, por así decirlo, se sitúa la neurología, que busca explicaciones fisiológicas a todos los aspectos de la mente, incluso a aquellos más "espirituales" como la percepción de la belleza y de la verdad.

Investigadores de la Universidad de Michigan publicaron, en el 2004, una teoría de la sensación estética: afirma que nos parecen más bellas las obras de arte o piezas musicales cuando son fáciles de percibir. Posteriormente investigadores de la Universidad de Basilea mostraron que cuando el procesamiento mental de una afirmación es inesperadamente sencillo se incrementa la sensación de que dicha afirmación debe de ser cierta.

En la Universidad de Bergen han aplicado esta teoría a la intuición matemática, presentando problemas de aritmética simples a estudiantes de matemáticas en la forma de patrones de puntos, algunos expresaban verdades y otros falsedades:

Para cada suma de puntos sólo tenían dos segundos, así que no podían contar. Como resultado, las ecuaciones con simetría en los puntos (la suma superior de la figura) se consideraban con más frecuencia correctas aún siendo falsas. En el ejemplo, la igualdad simétrica es falsa, y la asimétrica verdadera. 

Según estos investigadores estos experimentos aportan indicios de la relación  entre elegancia y verdad matemática en la mente. El cerebro cuando ha de tomar decisiones prefiere aquellas alternativas que puede comprender con más facilidad, que también es aquella en la que las diferentes partes parecen encajar mejor. Esto proporciona sensaciones positivas: se experimenta la belleza como resultado de la facilidad de percepción.

Conclusiones

Parece fundamentada la afirmación de que la simetría está relacionada con la facilidad de percepción y comprensión, y a su vez con el sentimiento de elegancia, de forma que puede tener un papel en la intuición matemática. Aunque también es cierto que los teoremas científicos son mucho más complicados que los simples patrones de puntos usados por los investigadores, de forma que hay que afinar mucho más los experimentos. Por otra parte, la pregunta "¿el número pi fue descubierto o fue inventado?" sigue sin tener una respuesta última. De momento deberán de seguir coexistiendo platónicos y no-platónicos. 

Bibliografía

• Mente y cerebro, Investigación y Ciencia, nº 42/2010

Los fundamentos de la matemática... ¡no están fundamentados!

Introducción

El campo de conocimiento conocido por “fundamentos de la matemática” tiene como objetivo central el dilucidar cómo se establece que una afirmación matemática es cierta o falsa. A nivel práctico, las matemáticas enuncian afirmaciones denominadas teoremas, proposiciones y lemas que se han de demostrar mediante un procedimiento lógico, partiendo de unas premisas, y usando una cadena de razonamientos sin ambigüedades ni falsedades “ocultas”. Hay diferentes corrientes de opinión respecto a los detalles de este proceso, pero no nos equivoquemos pensando que “solo son detalles”, ya que es sabido que “el diablo se oculta en los detalles”. Veremos en efecto que en la forma de llevar a la práctica el proceso de demostración matemática se esconden dificultades que no han sido resueltas, y que se relacionan con campos aparentemente lejanos como el de la inteligencia artificial o el del origen de la vida. Para ello primero pasaremos revista a las tendencias actuales, exponiéndolas primero y mostrando sus carencias a continuación. Es en las carencias donde hay terreno para investigar y avanzar.

Los formalistas

Los formalistas afirman que las matemáticas no son ni más ni menos que un lenguaje preciso, con unas reglas de formación basadas en la lógica. Presentan la matemática como un sistema formal basado en la teoría de conjuntos.

Un sistema formal consiste en un conjunto de enunciados de verdades matemáticas (denominados axiomas), junto con unas reglas de formación de nuevos enunciados ciertos, más las reglas de la lógica bivalente.

Los axiomas son afirmaciones que no se deducen de otras por considerarse evidentes, y sirven como punto de partida para demostrar otras afirmaciones.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema formal que trabaja con los símbolos 0 y 1:

Axioma 1: 0 es válido

Axioma 2: 1 es válido

Regla 1: Si x es válido, entonces x1 también es válido (x => x1)

Regla 2: Si x111 es válido, entonces x0 también es válido (x111 => x0)

Utilizando las reglas a partir de los axiomas podemos construir afirmaciones ciertas en este sistema (teoremas). Por ejemplo:

Teorema: 001 es válido

Demostración: 0 => 01 => 011 => 0111 => 00 => 001

Hemos partido del axioma 1; en el último paso se ha aplicado la regla 2, en los anteriores la regla 1.

En cambio hay cadenas de 0 y 1 que no son teoremas de este sistema, como por ejemplo las cadenas 10, 100, 1000, ... (¿puede ver el lector por qué?). Obsérvese que este sistema formal no contiene operaciones aritméticas, y ni siquiera contiene a todos los números binarios, y por tanto no debemos identificar las cadenas de símbolos formadas con números. Podríamos haber escogido como símbolos cualquier otro, como por ejemplo “a” y “b”.

El atractivo de la formalización es que proporciona un marco preciso de establecimiento de verdades y falsedades; tan preciso es que incluso nos podemos plantear la posibilidad de automatizarlo: podríamos programar un ordenador para que a partir de los axiomas y reglas fuera generando los teoremas automáticamente. Y también podría comprobar si una afirmación es cierta o falsa, comparándola con los teoremas que generaría: si coincide con alguno es cierta, en caso contrario será falsa. 

El “Entscheidungsproblem”, problema enunciado por David Hilbert, pregunta precisamente esto: ¿dado un sistema formal podremos siempre generar un programa para comprobar si una afirmación es cierta o falsa en este sistema? En el apartado “Crítica de las diferentes corrientes” veremos la respuesta a esta pregunta.

Los intuicionistas

Sostienen que las matemáticas son una creación de la mente humana, y todos los “objetos” matemáticos son objetos mentales. No hay una relación real entre objetos matemáticos y la “verdad”, tal como pretenden los formalistas. Algunas corrientes de opinión incluso niegan la existencia de los “fundamentos de las matemáticas” tal como los hemos definido, centrándose totalmente en la las matemáticas como un trabajo práctico, despojándolo de cualquier filosofía o metafísica. 

Es por tanto una postura muy pragmática, que creo que se puede comparar con la interpretación de Bohr (o de Copenhague) de la mecánica cuántica, que renuncia a entender sus fundamentos, contentándose con que los cálculos funcionen y se ajusten a la realidad observada.

La gran ventaja de esta forma de encarar el tema es que anula los problemas que nos encontramos en las otras corrientes de opinión, y es normal que así sea, porque es la menos ambiciosa de todas, renuncia expresamente a obtener un mayor conocimiento de lo que realmente puede ser la matemática, y la reduce a un instrumento, muy útil, muy potente, pero instrumento al fin y al cabo.

Los platónicos

Sostienen que las verdades matemáticas son necesariamente existentes de forma independiente de la mente humana, lo que hacen los matemáticos es descubrir verdades que ya estaban ahí, independientemente de si hay o no alguien para hacerlo.

Para argumentar de forma simple esta postura consideremos la relación existente entre el radio y la longitud de un círculo cualquiera en un espacio euclídeo, el número “pi”: π.
Ya en la antigua Egipto se hicieron cálculos aproximados de su valor. Durante milenios el problema de la “cuadratura del círculo”, calcular exactamente el valor de π, quedó abierto, hasta que en el siglo XVIII Johann Heinrich Lambert demostró (los platónicos dirían que descubrió) que “pi” tenia infinitos decimales, es decir que era un número irracional. Posteriormente el número pi fue apareciendo en infinidad de campos que aparentemente no tienen relación entre sí. Por ejemplo, la probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π². O bien, la serie infinita 1 – (1/3) + (1/5) – (1/7) + (1/9) – (1/11) + ... tiene por suma el valor π/4. También, la ley de Coulomb de la fuerza eléctrica entre dos cargas q, q' separadas por una distancia r en un es proporcional a qq' / (4πr²).

El descubrimiento de la naturaleza de π y su posterior uso en múltiples campos parece indicar que es una constante universal que siempre ha estado ahí, y que la humanidad descubrió en su momento.

Crítica de las diferentes corrientes

En el caso del formalismo, nos preguntamos ¿por qué debemos utilizar unos axiomas y no otros de equivalentes? O bien, ¿cómo podemos estar seguros de la supuesta certeza de los axiomas? También podemos dudar de la lógica: ¿por qué debemos emplear las reglas lógicas clásicas, y no otras más modernas?

Por otra parte con los teoremas de Gödel quedó claro que la noción de la verdad matemática no puede reducirse a un sistema puramente formal, ya que ningún sistema lo suficientemente potente y consistente que sea recursivo (esto es necesario para axiomatizar la teoría elemental de la aritmética en el conjunto infinito de números naturales) podrá evitar tener declaraciones no demostrables por el sistema.

Como respuesta a este problema en las denominadas “matemáticas inversas”, se establece un sistema formal provisional ampliable con más axiomas, de forma que para cada teorema que se puede afirmar en el sistema base pero no es demostrable, el objetivo es determinar el sistema axiomático particular (más fuerte que el sistema de base) que es capaz de demostrar el teorema. En “Gödel, Escher,Bach”, cap. 15e, de Douglas Hofstadter se habla de este procedimiento en términos no técnicos (aunque tampoco sean triviales de entender).

Respecto a la relación existente entre sistemas formales y programación de ordenadores, hay una muy interesante línea de investigación a seguir, que nos lleva desde las máquinas de Turing, pasando por la teoría de la computabilidad, hasta la inteligencia artificial, sus posibles limitaciones y las posibles diferencias entre razonamiento humano y automático: en efecto, hay quien sostiene que los teoremas de Gödel, entre otros razonamientos, muestran la línea divisoria entre mente y máquina, mientras que otros pensadores sostienen que esa línea solo existe por motivos tecnológicos, de forma que en algún momento se podrá crear inteligencia artificial con las mismas propiedades que la humana. En la primera postura tenemos por ejemplo al físico matemático Roger Penrose (ver por ejemplo “La nueva mente del emperador”) y en la segunda al propio Hofstadter. Muy recomendable en este sentido el artículo “Gödel y Turing” del blog El Topo Lógico. En relación a los límites de la inteligencia artificial también hay artículos en este blog.

El enfoque platónico es difícilmente demostrable, ja que tiene un componente metafísico importante, al “elevar” a verdades universales los objetos matemáticos. Así como el formalismo muestra errores de concepto que nos han abierto nuevas líneas de investigación, el considerar el origen de la verdad matemática como inalcanzable, por tener una existencia propia, deja a mi entender al enfoque platónico más cerrado y más estéril en el sentido de producir ideas nuevas. Lo cual no quiere decir que sea falso ni cierto, quien sabe. Exponentes célebres de este enfoque son el propio Kurt Gödel y Roger Penrose.

En el otro extremo el intuicionismo al renunciar al estudio de los fundamentos de las matemáticas por considerarlo poco práctico cae en mi opinión en el mismo problema que el platonismo, privándonos de nuevas teorías que sí ha producido y sigue produciendo el formalismo.

Conclusión

Vemos pues que no hay respuesta a día de hoy a la pregunta original, ¿cómo se establece que una afirmación matemática es cierta o falsa? Podemos decir que los fundamentos de la matemática... ¡siguen aún sin fundamentos!

La ciencia va escasa de lógica

Modelos científicos basados en datos

La ciencia relaciona las observaciones de la realidad con modelos interpretativos, los cuales se van adaptando conforme los datos no quedan suficientemente explicados por el modelo. Un ejemplo paradigmático lo encontramos en la mecánica celeste. Antiguamente se creia que la Tierra estaba en el centro del Universo, y los astros giraban alrededor de ella, y ésta creencia realmente se ajustaba a las observaciones de la época. Posteriormente Ptolomeo refinó el sistema para que encajara con las nuevas observaciones, más precisas, de los movimientos de los astros. Conforme se recogian más observaciones el modelo fallaba en explicarlas, hasta que Copérnico postuló que los planetas giraban alrededor del Sol; pero incluso esta teoria no podia explicar los detalles de los movimientos, hizo falta un Newton primero, con la teoria de la gravitación universal, y un Einstein después, con la relatividad general, para explicar con total precisión la mecánica celeste.

Modelos científicos basados en principios sutiles

Así pues, puede parecer que históricamente nos vamos acercando a la verdad científica guiados exclusivamente por los datos. Pero realmente no es así: la consisténcia interna de los modelos, la simplicidad y la elegáncia de formulación, e incluso la intuición también participan en la creación de modelos. De hecho la teoria de la relatividad general se concebió claramente a partir de estos principios; posteriormente pudo verificarse al explicar con alto grado de precisión las pequeñas desviaciones de la órbita del planeta Mercurio (denominada la precesión del perihelio), imposibles de justificar con la teoria Newtoniana. Hay muchos otros ejemplos de teorias predominantemente fundadas en principios más sutiles que los datos proporcionados por las observaciones.

Ciencia Platónica y ciencia positivista

Vemos pues que el método científico proporciona y transmite datos de observaciones, los hace corresponder con modelos que interpretan la realidad, los cuales se forman con ayuda de ciertos principios “inspiradores” que no dependen de los datos. Esquemáticamente:

Como los principios són independientes de los datos, de hecho són independientes de la realidad observable, así que les podemos adjudicar propiedades metafísicas, por decirlo así, en el sentido de los mundos de Platón, que formuló una división entre el mundo sensible y mundo inteligible. En el esquema platónico hay tres mundos relacionados:

Comparando con el esquema anterior podemos identificar los datos con el mundo material, los modelos con la mente y los principios inspiradores con el mundo de las ideas platónico.

Siguiendo este argumento, hay científicos que se declaran platónicos; lo más curioso es que abundan más en las matemáticas, que siendo la ciencia exacta por definición, puede parecer al no experto que deberia ser la ciencia menos propensa a prestarse a devaneos metafísicos. En el otro extremo, el positivismo defiende que la ciencia sólo debe basarse en datos, y suelen ser sus convencidos defensores los biólogos.

Los modelos han de ser lógicos para ser útiles

Parece muy evidente la exigencia de que los modelos científicos deban seguir las leyes de la lógica, ésto es, que puedan servir para enunciar proposiciones que han de poder ser ciertas o falsas, y que puedan combinarse, contradecirse o implicarse entre ellas. Por ejemplo, la proposición “un objeto dejado caer desde una altura de 100 metros llegará a la superfície terrestre en aproximadamente 4,5 segundos” ha de poderse verificar (lo haríamos con la teoria de la gravitación de Newton o de Einstein, dependiendo de la precisión requerida) y resultará ser o cierta o falsa. Posteriormente podríamos comprobarlo realizando el experimento, pero ésto no es necesario para establecer la coherencia lógica de una teoria. Por tanto el que un modelo sea tratable con la lógica es uno de los principios inspiradores que hemos mencionado, independientemente de los datos.

Lógica, sí , pero ¿cual lógica?

Desde Aristóteles hasta prácticamente la actualidad la ciencia se ha apoyado en la denominada lógica bivalente, en la cual una proposición sólo puede ser verdadera o falsa. Pero modernamente se han formulado otros paradigmas lógicos que se han revelado útiles en distintos campos del conocimiento. Citaremos la lógica trivalente, con tres posibles clasificaciones en la que una proposición puede ser verdadera, falsa o indefinida, la lógica polivalente, con "n" posibles clasificaciones, o la lógica difusa, con sólo dos valores pero dependientes entre sí. Ésta última lógica se aplica con éxito en inteligencia artificial, y la encontramos en dispositivos tan mundanos como son los sistemas de foco automático en cámaras fotográficas o en electrodomésticos.

Las matemáticas no se pueden reducir a lógica

Hablando en términos generales, la ciencia está enlazada con la lógica a través de las matemáticas, y éstas estan fuertemente orientadas a la lógica bivalente. En particular, la metodologia de demostración de teoremas denominada “de reducción al absurdo”, profusamente utilizada, se basa en la bivalencia. Ahora bien, a principios del siglo XX algunos de los más brillantes matemáticos (Russel, Whitehead, Cantor, …) intentaron ajustar a la lógica bivalente todos los fundamentos de las matemáticas, ¡y el resultado fue el fracaso! Una amena descripción la proporciona el cómic Logicomix del cual hay una reseña en este blog. Y todo parece indicar que no será posible conseguirlo nunca (ver por ejemplo los teoremas  de incompletitud de Gödel). Claro que hay ramas de la matemática que estan usando lógicas alternativas, como la matemática borrosa y sus aplicaciones a la economía, pero todo el aparato matemático clásico (álgebra, geometria, cálculo diferencial,...) es bivalente.

Estamos por tanto ante una situación un tanto paradójica:

• Exigimos a la ciencia que tenga una fundamentación lógica como premisa
• En general, introducimos la lógica en los modelos científicos usando matemáticas
• Pero la mayor parte de las matemáticas no tiene un fundamento lógico bien definido, al menos con la lógica clásica bivalente

¿Quizá la solución sea incorporar en el futuro en toda la matemática las lógicas modernas?

Logicomix: an epic search for truth

Leí este sensacional cómic el pasado mes de junio. Supe de él por la sección de cultura del periódico, y desde el primer momento pensé que pintaba bien, asi que lo busqué por Internet i lo encargué a una libreria inglesa en la versión original. Y no me defraudó, al contrario. De hecho yo ya habia leído con interés algunas publicaciones de Bertrand Rusell, tengo algún libro suyo per casa, así que sólo por eso el cómic ya me llamaba la atención, pero como decia, superó con mucho mis expectativas.

La línea argumental nos lleva desde la juventud de Russell, cuando su obsesión era la búsqueda de la verdad, de la verdad matemática para ser exactos, que centró en la lógica. Conforme avanzamos, vemos que esa búsqueda se imbrica con los fundamentos de la matemática y aparecen algunos de los grandes matemáticos de la primera mitad del siglo XX: Hilbert, Frege, Cantor, Whitehead, Poincaré, Gödel ... todos ellos tienen una participación en esa búsqueda de la verdad. En este nivel, la matemática se solapa con la filosofia, de modo que también participan algunos filósofos y sus ideas, como Ludwig Wittgenstein.

El mérito de Logicomix es que consigue introducir al neófito en la comprensión de los grandes avances de la matemàtica del siglo XX de forma amena, a la vez que muestra el viaje vital de Russell, desde su más bien triste infancia, pasando por sus diversos amorios, las dos grandes guerras, su pacifismo militante que le valió pena de cárcel, hasta su vejez, en la que realiza que su búsqueda de la verdad absoluta no ha sido todo lo fructífera que deseaba. 

Además, en mi caso particular he de reconocer que en buena parte comparto la inquietud de Russell por descubrir dónde está la línia divisoria entre verdad y falsedad; no solo tiene implicaciones filosóficas y morales, sino también científicas y técnicas. Hay todavia múltiples debates abiertos en este sentido; ¿puede un autómata reconocer la verdad? ¿se puede automatizar la demostración de teoremas matemáticos (como la del Teorema de Pitágoras, a² + b² = c², en la figura)? cuáles son los límites de la inteligéncia artificial? el reconocimento de la verdad, ¿sólo puede hacerlo un ser consciente?