Elegante = verdadero

Frecuentemente los matemáticos y los físicos se guían por su intuición al enunciar y probar teorías; dicha intuición suele tener en cuenta propiedades aparentemente "inmateriales" como la elegancia y la belleza. ¿Por qué? 

Elegancia y belleza matemática

Platón afirmaba que la belleza debía de estar al servicio del conocimiento y del bien. Hoy en día los matemáticos y los físicos afirman que la “elegancia” de una teoría puede proporcionarles un indicio de su exactitud. Entendemos por elegancia el atributo de ser excepcionalmente eficaz y sencillo a la vez.
A este respecto recuerdo mi primer día de clase de la asignatura de Electromagnetismo en segundo de carrera (ya hace un montón de años), cuando el catedrático escribió las ecuaciones de Maxwell en la pizarra,

 

y acto seguido dijo “estas ecuaciones explican todos los fenómenos eléctricos, magnéticos y electromagnéticos, las ondas de radio, la luz, la radiación, todo. En el resto del curso nos dedicaremos exclusivamente a estudiar sus implicaciones”. Me impresionó tanta información de tanta importancia condensada en tan poco espacio y, además, expresada de una forma que permite hacer deducciones prácticas. A mi modo de ver, estas impresiones coinciden bastante con la definición de elegancia dada arriba: eficaz y simple. Además, presentan una evidente simetría, una alternancia entre los campos E y B.

Otra ecuación con numerosos adeptos en cuanto a su elegancia es la identidad de Euler,

que reúne en forma muy breve y simple, de forma sorprendente, a cinco valores importantes de las matemáticas, el número pi, el número de Euler, el número imaginario i, la unidad y el cero.

La percepción de la "belleza" a menudo implica la interpretación de alguna ecuación o ley de la naturaleza que produce sentimientos de atracción y bienestar emocional. En la mentes de los matemáticos, esta percepción parece estar relacionada con la elegancia: su eficacia y su modo directo de expresar una verdad universal.

Veamos a continuación dos corrientes de pensamiento acerca del  origen de la sensación de belleza y elegancia en las teorías científicas, particularmente en las matemáticas y la física: la platónica y la enunciada por las ciencias cognitivas.

Los platónicos

Sostienen que las verdades matemáticas son necesariamente existentes de forma independiente de la mente humana, lo que hacen los matemáticos es descubrir verdades que ya estaban ahí, independientemente de si hay o no alguien para hacerlo. La intuición matemática sería una "inspiración" que nos conecta con esa realidad pre-existente. No me extenderé más sobre esta corriente de opinión pues ya lo hice en otro artículo reciente: los fundamentos de la matemática, !no están fundamentados!,  al cual me remito. 

Sí añadiré que muchos matemáticos son platónicos incluso sin ser conscientes de ello: basta con fijarse en cuantos de ellos al hablar se expresan en términos de "descubrimientos". Por ejemplo, la identidad de Euler, ¿fue descubierta?  Responder sí implica aceptar que ya existía de antemano, pero era desconocida hasta que Euler la descubrió, y eso es platonismo matemático. Un buen artículo al respecto es Las verdades matemáticas, ¿se inventan o se descubren?, en el blog PsicoGeek.

Belleza y verdad en las ciencias cognitivas

En el otro extremo de opinión, por así decirlo, se sitúa la neurología, que busca explicaciones fisiológicas a todos los aspectos de la mente, incluso a aquellos más "espirituales" como la percepción de la belleza y de la verdad.

Investigadores de la Universidad de Michigan publicaron, en el 2004, una teoría de la sensación estética: afirma que nos parecen más bellas las obras de arte o piezas musicales cuando son fáciles de percibir. Posteriormente investigadores de la Universidad de Basilea mostraron que cuando el procesamiento mental de una afirmación es inesperadamente sencillo se incrementa la sensación de que dicha afirmación debe de ser cierta.

En la Universidad de Bergen han aplicado esta teoría a la intuición matemática, presentando problemas de aritmética simples a estudiantes de matemáticas en la forma de patrones de puntos, algunos expresaban verdades y otros falsedades:

Para cada suma de puntos sólo tenían dos segundos, así que no podían contar. Como resultado, las ecuaciones con simetría en los puntos (la suma superior de la figura) se consideraban con más frecuencia correctas aún siendo falsas. En el ejemplo, la igualdad simétrica es falsa, y la asimétrica verdadera. 

Según estos investigadores estos experimentos aportan indicios de la relación  entre elegancia y verdad matemática en la mente. El cerebro cuando ha de tomar decisiones prefiere aquellas alternativas que puede comprender con más facilidad, que también es aquella en la que las diferentes partes parecen encajar mejor. Esto proporciona sensaciones positivas: se experimenta la belleza como resultado de la facilidad de percepción.

Conclusiones

Parece fundamentada la afirmación de que la simetría está relacionada con la facilidad de percepción y comprensión, y a su vez con el sentimiento de elegancia, de forma que puede tener un papel en la intuición matemática. Aunque también es cierto que los teoremas científicos son mucho más complicados que los simples patrones de puntos usados por los investigadores, de forma que hay que afinar mucho más los experimentos. Por otra parte, la pregunta "¿el número pi fue descubierto o fue inventado?" sigue sin tener una respuesta última. De momento deberán de seguir coexistiendo platónicos y no-platónicos. 

Bibliografía

• Mente y cerebro, Investigación y Ciencia, nº 42/2010

La ciencia va escasa de lógica

Modelos científicos basados en datos

La ciencia relaciona las observaciones de la realidad con modelos interpretativos, los cuales se van adaptando conforme los datos no quedan suficientemente explicados por el modelo. Un ejemplo paradigmático lo encontramos en la mecánica celeste. Antiguamente se creia que la Tierra estaba en el centro del Universo, y los astros giraban alrededor de ella, y ésta creencia realmente se ajustaba a las observaciones de la época. Posteriormente Ptolomeo refinó el sistema para que encajara con las nuevas observaciones, más precisas, de los movimientos de los astros. Conforme se recogian más observaciones el modelo fallaba en explicarlas, hasta que Copérnico postuló que los planetas giraban alrededor del Sol; pero incluso esta teoria no podia explicar los detalles de los movimientos, hizo falta un Newton primero, con la teoria de la gravitación universal, y un Einstein después, con la relatividad general, para explicar con total precisión la mecánica celeste.

Modelos científicos basados en principios sutiles

Así pues, puede parecer que históricamente nos vamos acercando a la verdad científica guiados exclusivamente por los datos. Pero realmente no es así: la consisténcia interna de los modelos, la simplicidad y la elegáncia de formulación, e incluso la intuición también participan en la creación de modelos. De hecho la teoria de la relatividad general se concebió claramente a partir de estos principios; posteriormente pudo verificarse al explicar con alto grado de precisión las pequeñas desviaciones de la órbita del planeta Mercurio (denominada la precesión del perihelio), imposibles de justificar con la teoria Newtoniana. Hay muchos otros ejemplos de teorias predominantemente fundadas en principios más sutiles que los datos proporcionados por las observaciones.

Ciencia Platónica y ciencia positivista

Vemos pues que el método científico proporciona y transmite datos de observaciones, los hace corresponder con modelos que interpretan la realidad, los cuales se forman con ayuda de ciertos principios “inspiradores” que no dependen de los datos. Esquemáticamente:

Como los principios són independientes de los datos, de hecho són independientes de la realidad observable, así que les podemos adjudicar propiedades metafísicas, por decirlo así, en el sentido de los mundos de Platón, que formuló una división entre el mundo sensible y mundo inteligible. En el esquema platónico hay tres mundos relacionados:

Comparando con el esquema anterior podemos identificar los datos con el mundo material, los modelos con la mente y los principios inspiradores con el mundo de las ideas platónico.

Siguiendo este argumento, hay científicos que se declaran platónicos; lo más curioso es que abundan más en las matemáticas, que siendo la ciencia exacta por definición, puede parecer al no experto que deberia ser la ciencia menos propensa a prestarse a devaneos metafísicos. En el otro extremo, el positivismo defiende que la ciencia sólo debe basarse en datos, y suelen ser sus convencidos defensores los biólogos.

Los modelos han de ser lógicos para ser útiles

Parece muy evidente la exigencia de que los modelos científicos deban seguir las leyes de la lógica, ésto es, que puedan servir para enunciar proposiciones que han de poder ser ciertas o falsas, y que puedan combinarse, contradecirse o implicarse entre ellas. Por ejemplo, la proposición “un objeto dejado caer desde una altura de 100 metros llegará a la superfície terrestre en aproximadamente 4,5 segundos” ha de poderse verificar (lo haríamos con la teoria de la gravitación de Newton o de Einstein, dependiendo de la precisión requerida) y resultará ser o cierta o falsa. Posteriormente podríamos comprobarlo realizando el experimento, pero ésto no es necesario para establecer la coherencia lógica de una teoria. Por tanto el que un modelo sea tratable con la lógica es uno de los principios inspiradores que hemos mencionado, independientemente de los datos.

Lógica, sí , pero ¿cual lógica?

Desde Aristóteles hasta prácticamente la actualidad la ciencia se ha apoyado en la denominada lógica bivalente, en la cual una proposición sólo puede ser verdadera o falsa. Pero modernamente se han formulado otros paradigmas lógicos que se han revelado útiles en distintos campos del conocimiento. Citaremos la lógica trivalente, con tres posibles clasificaciones en la que una proposición puede ser verdadera, falsa o indefinida, la lógica polivalente, con "n" posibles clasificaciones, o la lógica difusa, con sólo dos valores pero dependientes entre sí. Ésta última lógica se aplica con éxito en inteligencia artificial, y la encontramos en dispositivos tan mundanos como son los sistemas de foco automático en cámaras fotográficas o en electrodomésticos.

Las matemáticas no se pueden reducir a lógica

Hablando en términos generales, la ciencia está enlazada con la lógica a través de las matemáticas, y éstas estan fuertemente orientadas a la lógica bivalente. En particular, la metodologia de demostración de teoremas denominada “de reducción al absurdo”, profusamente utilizada, se basa en la bivalencia. Ahora bien, a principios del siglo XX algunos de los más brillantes matemáticos (Russel, Whitehead, Cantor, …) intentaron ajustar a la lógica bivalente todos los fundamentos de las matemáticas, ¡y el resultado fue el fracaso! Una amena descripción la proporciona el cómic Logicomix del cual hay una reseña en este blog. Y todo parece indicar que no será posible conseguirlo nunca (ver por ejemplo los teoremas  de incompletitud de Gödel). Claro que hay ramas de la matemática que estan usando lógicas alternativas, como la matemática borrosa y sus aplicaciones a la economía, pero todo el aparato matemático clásico (álgebra, geometria, cálculo diferencial,...) es bivalente.

Estamos por tanto ante una situación un tanto paradójica:

• Exigimos a la ciencia que tenga una fundamentación lógica como premisa
• En general, introducimos la lógica en los modelos científicos usando matemáticas
• Pero la mayor parte de las matemáticas no tiene un fundamento lógico bien definido, al menos con la lógica clásica bivalente

¿Quizá la solución sea incorporar en el futuro en toda la matemática las lógicas modernas?