Entendiendo la mecánica cuántica (IV)

"Su teoría es disparatada, pero no lo suficientemente disparatada para ser verdad."

Niels Bohr

En los tres post anteriores de este monográfico de mecánica cuántica vimos la dualidad onda-partícula, la cuantización de la energía, el principio de incertidumbre y el colapso de la función de onda. Ahora trataremos sobre cuando tenemos que aplicar la mecánica cuántica y cuando la clásica, veremos el principio de exclusión y sus consecuencias, y la misteriosa propiedad de "no localidad" que presenta el mundo cuántico. Con todo este material podremos discutir las profundas implicaciones que tiene la teoría cuántica en la comprensión de la realidad física.

El mundo clásico como límite del cuántico

De lo dicho hasta ahora, ondas de probabilidad, cuantización, principio de incertidumbre, parece seguirse que el mundo de lo muy pequeño sigue unas leyes diferentes de nuestro mundo habitual, pero no es así. De la misma forma que la teoría de la relatividad tiene efectos despreciables a velocidades muy inferiores a la de la luz, pero va cobrando importancia cuando consideramos velocidades mayores, también ocurre lo mismo con la mecánica cuántica, que tendrá efectos progresivamente más importantes a medida que los objetos que consideramos se reducen en masa y tamaño.

Por ejemplo, consideremos el principio de incertidumbre de Heisenberg que mencionamos en la parte III, que como decíamos prohíbe el conocimiento simultáneo de ciertos pares de magnitudes, como la posición y la velocidad. Matemáticamente podemos expresarlo en la forma

donde x es la posición, p es la cantidad de movimiento (que es igual al producto de la masa m por la velocidad v) y es la constante de Planck h dividida por 2π, que en el sistema internacional de unidades tiene un valor de 6,6·10⁻³⁴ J·s .  Observemos que la fórmula relaciona las incertidumbres de las magnitudes, de ahí los símbolos en forma de triángulo Δ. La constante h tiene un valor realmente pequeño: pensemos en un grano de arena fina, de diámetro 0,06 mm y 0,67 mg de peso, y con una indeterminación (error de medición) del 1%;  con estos valores la fórmula nos dice que la indeterminación en la velocidad  del grano de arena es de 7·10⁻²³ metros por segundo, o sea 0,00000000000000000000007 m/s,  un error absolutamente despreciable. Dicho de otro modo, podemos determinar la velocidad del grano de arena con una precisión prácticamente del 100% (del 99,99999999999999999999993%). También podemos visualizar lo pequeño de este error en la determinación de la velocidad pensando que un objeto que se moviese a 7·10⁻²³ m/s tardaría en avanzar un milímetro... ¡unos 5.000 millones de años!

Por otra parte si consideramos un electrón, moviéndose en una órbita de diámetro de dimensiones 10⁻⁸ cm, con una masa 9·10⁻²⁸ gramos, nos resulta una incertidumbre en la velocidad de unos 10⁶ metros por segundo, esto es ¡1000 kilómetros por segundo! Dicho de otra manera: si determinamos la posición no podemos tener ni idea de la velocidad del electrón.

Paquetes de ondas, estados cuánticos puros y compuestos

Paquete de ondas: hay oscilación apreciable
sólo en una región Δx, fuera de ella es
despreciable.

La relación de incertidumbre puede expresarse gráficamente imaginando que una partícula cuántica es una superposición de ondas tal que produce un paquete de ondas, una onda que tiene amplitud distinta de cero solo en cierta región pequeña del espacio; esta región se mueve con el tiempo, y podemos imaginar que se corresponde con la posición de la partícula, de hecho la partícula es el paquete de ondas. La indeterminación en la posición se corresponde con la anchura del paquete. En la figura la línea de puntos roja delimita la envolvente del paquete,  que se desplaza por el espacio con la denominada velocidad de grupo del paquete.

Superposición de ondas

Matemáticamente los paquetes de onda se forman por superposición de ondas distintas que interfieren entre sí.  Físicamente se denominan estados puros a las ondas componentes que al combinarse forman los estados compuestos, representados por paquetes de ondas. Cada estado puro tiene asociada una función de onda cuántica, y el estado compuesto es la suma de funciones de onda.
Hay una relación entre estos estados y el proceso de medición: si en un sistema en estado puro se efectúa una medición, el sistema pasa a estar en un estado compuesto: la medición destruye el estado puro. Por ejemplo  un electrón libre, antes de efectuar mediciones,  está en un estado puro, con una función de onda "simple" que se extiende por todo el espacio; en el momento de medirlo le forzamos a comportarse como partícula, con lo cual se convierte en un paquete de ondas localizado que es una mezcla de estados puros.

De la mecánica clásica de Newton a la mecánica cuántica

La ecuación fundamental de la mecánica de Newton relaciona la masa m  y la aceleración a de una partícula con la fuerza F que la impulsa, variable según la posición x:

F(x) = m·a(x) = m·d²x/dt² ,

donde hemos expresado la aceleración como la segunda derivada de la posición. Por otro lado la dinámica cuántica está determinada por la ecuación de Schrödinger que es

Hφ = i·h·dφ/dt,

donde φ es la función de onda de la partícula, relacionada con la probabilidad de encontrarla en una cierta posición,  H es el operador de Hamilton, relacionado con la energía de la partícula, y dφ/dt es la variación de φ con el tiempo. Con un poco de matemáticas que no detallaremos, esta ecuación se transforma en

F(X) = m·A(X) = m·d²X/dt²,

idéntica a la de Newton pero con los parámetros X, A que representan los valores medios de la posición x y la aceleración a. Esto tiene sentido pues trabajamos con probabilidades. Cuando lo aplicamos a un objeto grande, la onda tiene una posición definida y una probabilidad cercana al 100% de estar en esa posición, así que el valor medio coincide con el valor observado. De esta forma la mecánica clásica trabaja con valores medios muy estables y definidos, mientras que en la cuántica los valores oscilan según marcan las probabilidades dadas por la función de onda.

Evolución del paquete de ondas con el tiempo

Decíamos que el operador H está relacionado con la energía; supongamos que ésta sea constante, o sea independiente del tiempo. Entonces la ecuación de Schrödinger  que describe la evolución con el tiempo de la onda φ(x,t) al resolverla nos dice que, si el paquete de ondas está libre (no confinado), se irá expandiendo hasta ocupar todo el espacio, dejando de ser un paquete de ondas para convertirse en una onda libre. A este fenómeno se le llama difusión del paquete de ondas. En la práctica significa que, después de haber localizado una partícula con una medición, al pasar el tiempo la partícula vuelve a exhibir un comportamiento ondulatorio y le perdemos la pista: ya no podemos predecir su posición en el futuro, sólo la probabilidad de que esté en una posición.

Expansión de una función de onda libre con el tiempo t: inicialmente la probabilidad de
encontrar la partícula está confinada a una región estrecha, pero la evolución con
el tiempo predicha por la ecuación de Schrödinger va ampliando la región y finalmente
ocupará todo el espacio.

El principio de exclusión

Números cuánticos

El principio de exclusión fue descubierto por Pauli en 1925, resolviendo muchos problemas técnicos importantes de la época como por ejemplo  los detalles de la estructura atómica o de la valencia química. Pauli descubrió el principio en relación a los electrones, enunciando que no más de dos electrones de un átomo no pueden tener el mismo estado de movimiento. Este “estado” se definía en esa época con tres números, los números cuánticos: la distancia al núcleo (n), la medida de su momento angular (l) y un número que mide la orientación de la órbita del electrón en el espacio(m). En la figura se ilustra como afectan a la órbita los números l y m para un n fijado.

Así, en el Helio sus dos electrones tienen el estado (n,l,m)=(1,0,0), mientras que en el Litio, con tres electrones, no podemos tener el tercer electrón en el mismo estado (1,0,0), ha de ocupar el siguiente estado libre.

Posteriormente se añadió un cuarto número cuántico para describir la rotación del electrón alrededor de su propio eje, el denominado espín (s), con lo que el estado quedó definido por (n,l,m,s). De este modo, el principio de exclusión adoptó una forma más precisa: dos electrones de un átomo no pueden tener el mismo  conjunto de números cuánticos (n,l,m,s). En esta formulación, el principio permitió avanzar en el conocimiento de la estructura electrónica de los átomos, en el fundamento de la valencia química y en la espectroscopia y el magnetismo.

¿Pero porqué solo afecta a los electrones de un núcleo? Imaginemos que dos átomos están “cerca” (como sucede cuando forman una molécula), ¿como sabe un electrón que ha de obedecer al principio de “su” átomo y no al del vecino? Lo que sucede en realidad es que en este caso de proximidad de dos átomos se formulan números cuánticos relativos al conjunto de átomos, que son diferentes al de un átomo aislado, y el principio de exclusión se aplica entonces a todos los electrones en conjunto.

Otra generalización posterior estableció que la exclusión afecta a todas las partículas elementales que pertenecen a la clase denominada fermiones, los cuales son los constituyentes básicos de la materia; no se aplica en cambio a la otra clase existente de partículas, los bosones, que actúan como portadoras de fuerzas (por ejemplo es un bosón el fotón, el componente cuántico de la luz).

Cuasifuerzas y antisimetria
El principio de exclusión junto con la repulsión eléctrica impide que los átomos se interpreneten, ya que cunado los números cuánticos están ocupados por electrones ya no podemos añadir ninguno más. Esto sugiere que está en juego alguna fuerza repulsiva.

Usando funciones de onda y probabilidades, sean dos partículas materiales A y B con funciones de onda u(A) y v(B) . Las probabilidades de encontrar A y B  en las posiciones x(A) y x(B)  vienen dadas por u²(A) y v²(B) respectivamente. Según las reglas usuales de las probabilidades, la probabilidad de encontrar A en x(A) y B en x(B) simultáneamente es el producto de probabilidades u²(A)·v²(B) siempre que A y B sean independientes. Entonces si consideramos A y B como un sistema único de dos partículas, su función de onda sería

w(A, B) = u(A)·v(B)

Pero esta función conjunta de A y B no satisface el principio de exclusión, o sea que la naturaleza no se comporta así con las partículas materiales; hay que modificar la función para que adopte esta otra forma:

w(A,B) = u(A)·v(B) - u(B)·v(A)

Si las partículas A y B fueran idénticas en el sentido de tener el mismo estado  u(A) = v(B), es fácil ver que w(A,B) = 0 y por tanto la probabilidad de encontrar el sistema en cualquier posición sería cero. Esta es otra forma de enunciar el principio de exclusión. La función w(A,B) se dice que es antisimétrica debido a que si intercambiamos A y B obtenemos w(B,A) = - w(A,B).

Probabilidades de los estados de un sistema
de dos partículas que obedece al principio de
exclusión: en la diagonal estan los estados
idénticos con probabilidad nula, y en los
extremos los estados totalmente distintos con
mayor probabilidad.

Fijémonos en el detalle de que en la ecuación las partículas A y B se intercambian sus funciones u y v. Además, en cuanto a probabilidades, la fórmula implica que A y B no son independientes, hay una interacción entre A y B. Además, usando las expresiones de las funciones de onda en w(A,B) y realizando operaciones se llega a que es imposible (probabilidad = 0) que las partículas lleguen a juntarse, y tampoco pueden tener la misma velocidad. Así, dos partículas en principio libres se "evitan" entre sí, y el efecto parece que sea una fuerza de repulsión. Pero hay un detalle sutil: no podemos incorporar esa fuerza a la función de onda de la partícula, surge de la antisimetría impuesta por el principio de exclusión.
Podemos comparar el concepto con el de la fuerza de la gravedad en la teoría de la relatividad general: surge como consecuencia de la geometría del espacio-tiempo. Por esto las llamamos "cuasifuerzas". Tanto la cuántica como la gravedad, ¡se deducen de propiedades matemáticas!

 La "no localidad"
Podríamos pensar que los efectos del principio de exclusión son locales, en el sentido de que tiene efecto sólo cuando las partículas están cercanas; han habido intentos de explicar este principio cuántico y los demás acudiendo a teorías de variables locales "ocultas", que explicarían todo en términos de interacción local (cercana) pero que no hemos podido detectar aún (ocultas).

Pero no es así: el físico John S. Bell enunció y demostró su teorema que viene a decir:

"Ninguna teoría física de variables ocultas locales puede reproducir todas las predicciones de la mecánica cuántica"

El teorema implica que debemos aceptar que hayan interacciones a distancias arbitrarias entre partículas cuánticas, y estas interacciones han de ser instantáneas. Para entender la implicación de esta afirmación, supongamos que dos partículas que forman un sistema con función de onda w(A,B) (técnicamente diremos que tienen entrelazamiento cuántico) empiezan a separarse una de otra a toda velocidad, y eventualmente llegan a estar separadas por kilómetros de distancia; a pesar de ello, siguen formando un sistema entrelazado, de tal manera que ciertas mediciones efectuadas en una de las partículas, ¡afectaran instantáneamente a la otra! Esto será así independientemente de la distancia que las separa. Este hecho fue confirmado por Alain Aspect en una serie de experimentos.

Conclusiones
En los cuatro posts de esta serie dedicada a entender la mecánica cuántica hemos expuesto con un mínimo de matemáticas los fundamentos de la teoría. El próximo post será "menos físico" y más "filośofico", en el sentido de intentar mostrar las implicaciones de toda la teoría de cara a nuestro conocimiento de la realidad física.

Entendiendo la mecánica cuántica (III)

"Dios no juega a los dados con el universo"

Albert Einstein 

"Einstein, deje de decirle a Dios lo que tiene que hacer"

Niels Bohr, respondiendo a Einstein.

En la primera parte vimos los experimentos que llevaron a la idea de la dualidad onda-partícula, y en la segunda parte vimos porqué necesitamos la cuantización de la energía para entender la estabilidad de los átomos y el equilibrio entre materia y energia. Estas dos teorías, dualidad  y cuantización, parecen independientes, pero podemos relacionarlas, con lo cual obtendremos mayor comprensión.

Ondas libres y ondas estacionarias

Onda material libre (fuente: Wikipedia)

Una onda material, como por ejemplo las ondas en la superfície del agua, transmite un movimiento oscilatorio a las partículas a la que afecta, determinando la amplitud y la frecuencia de la oscilación. En la figura vemos una onda "cortada" en la dirección de propagación; la partícula se representa por el punto azul. Estamos suponiendo que la onda no encuentra ningún obstáculo para propagarse y que además no se atenúa.

Onda estacionaria (fuente:http://electron9.phys.utk.edu) 

Cuando la onda está confinada en un recipiente (pensemos en una piedra que dejamos caer en una balsa de agua) no puede propagarse libremente sino que rebota contra las paredes y retrocede; entonces los frentes de onda que retroceden interfieren con los que avanzan. Dependiendo de los parámetros en juego (dimensiones del recipiente, longitud de onda=distancia entre crestas) puede darse el caso de que la interferencia produzca oscilaciones estacionarias, en las que cada punto oscila siempre con una amplitud que va desde cero hasta un máximo.

A diferencia de las ondas libres, en las que todos los puntos oscilan con la misma amplitud, en la onda estacionaria hay puntos, denominados nodos, en los cuales la amplitud es cero, esto es, quedan inmóviles. El número de nodos también depende de los parámetros del sistema oscilante. Es un fenómeno bien conocido (y aprovechado) en acústica y en los instrumentos musicales, tanto de cuerda como de viento; en los instrumentos de viento las vibraciones son del aire, dentro de los tubos del instrumento, que hacen el papel de recipiente.

Las ondas estacionarias también pueden producirse con campos electromagnéticos; en este caso ya no podemos visualizar partículas oscilando, son los propios campos eléctrico y magnético los que oscilan, podiendo confinarlos en un recipiente aislante (dieléctrico). Una aplicación técnica son las guías de onda que mediante ondas estacionarias confinadas en una estructura  permiten transmitir señales electromagnéticas con una baja disipación.

Ondas estacionarias de probabilidad
Volvamos a la mecánica cuántica: recordemos que la dualidad onda-partícula se resolvió matemáticamente postulando que cada partícula tiene asociada una onda que nos permite calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en una posición en cada instante, esto es, una onda de probabilidad. La evolución temporal de esta onda viene dada por la ecuación de Schrödinger.

Para una partícula confinada en un recipiente, la solución de la ecuación produce probabilidades nulas para ciertas posiciones; podemos comparar la situación con las ondas estacionarias: es como si la onda de probabilidad "rebotara" en las paredes e interfiriera consigo misma, creando nodos estacionarios con amplitud de onda nula, que equivale a decir con probabilidad nula de que la partícula se sitúe en los nodos.

Si consideramos que el átomo es una forma de confinamiento de los electrones que contiene, tenemos que el electrón no podrá ocupar cualquier posición (órbita) sino sólo las permitidas por las ondas estacionarias de probabilidad que se generan al confinarlos. Es una explicación de porqué sólo se permiten ciertas órbitas electrónicas (y las energías asociadas) en los átomos. Esto nos permite relacionar las ondas de probabilidad que modelan las ondas-partículas con la cuantificación de la energía del átomo. Claro que en el caso de las ondas de probabilidad todo es más abstracto, como veremos a continuación.

Función de onda y su colapso en la medición

Pero, ¿qué es una onda de probabilidad? Es un ente matemático abstracto, que se denomina función de onda ,  un vector pero no de números reales sino de funciones definidas en un espacio de Hilbert H que representa los posibles estados físicos de la partícula o del sistema de partículas en consideración. La probabilidad de encontrar la partícula en un estado (posición, velocidad, energía, ...) se encuentra calculando el módulo del vector . El aparato matemático puede asustar un poco al no especialista, pero el concepto sí podemos tenerlo claro: se trata de reflejar matemáticamente la realidad experimental, que hemos visto que es extraña, con partículas sin trayectoria definida interfiriendo consigo mismas como si fueran ondas distribuidas por el espacio.

Colapso de la función de onda: al efectuar
una medición, por ejemplo de la posición,
la función de onda reduce su extensión al
punto resultado de la medición, "forzando"
a la partícula a tomar ese estado definido.

Un aspecto importante de la función de onda es que, como decíamos, nos da la probabilidad de encontrar al sistema en un cierto estado; pero para "encontrar" algo debemos buscarlo, y en este contexto esto equivale a realizar una medida sobre el sistema, para saber su posición, velocidad, energía, etc. Pues bien, al medir forzamos al sistema, que hasta ese momento estaba indefinido, pues sólo sabíamos de él por su función de onda, o sea por probabilidades, lo forzamos a definirse; ya no hay probabilidades, sino valores resultado de la medición. Si no tenemos probabilidades, no tenemos función de onda, se colapsa.
Por ejemplo, si medimos la posición de la partícula, la función de onda dispersa por todo el espacio colapsa para producir un valor de la posición. Por ejemplo, en el experimento de la doble rendija que consideramos en la primera parte para presentar la dualidad onda-partícula, la función de onda colapsa cuando la onda llega a la pantalla, ya que la obligamos a definir la posición en que la partícula choca con la pantalla.

El colapso de la función de onda ha traído numerosas interpretaciones y consecuencias que repasamos a continuación.

El principio de incertidumbre
Una consecuencia de la medición y su efecto en la función de onda es que las propiedades que estamos acostumbrados a medir en nuestro mundo macroscópico no existen realmente, en el sentido de que no están definidas hasta que las medimos. Pero al medir colapsamos la función de onda, lo cual implica que nos quedamos sin la información que nos daba del estado del sistema, de hecho solo nos queda la magnitud medida. Por ejemplo, si medimos la posición de una partícula, perdemos todos los restantes parámetros como velocidad o energía; si medimos la velocidad, entonces sólo tendremos la velocidad, etc. Este principio, enunciado originalmente de una forma distinta, se debe a Heisenberg. Implica por tanto que nuestra capacidad de conocer el estado físico de un sistema está seriamente limitado. Más específicamente, prohíbe el conocimiento simultáneo de ciertos pares de magnitudes, como la posición y la velocidad.


La paradoja del gato de Schrödinger

Paradoja del gato de Schrödinger (Wikipedia)

Esta famosa paradoja surge cuando intentamos relacionar la función de onda, aplicable al microcosmos, con nuestro macrocosmos, y tiene que ver con los límites de aplicabilidad de la mecánica cuántica y el colapso de la función de onda. Imaginemos una habitación cerrada dentro de la cual situamos material radioactivo, un detector de radiactividad, un poderoso gas venenoso, y un gato.
El detector se activa cuando el material radioactivo emite radiación, cosa que puede suceder inmediatamente o después de un cierto tiempo, no podemos predecirlo pues es un fenómeno cuántico regido por su función de onda. El detector está conectado con una válvula que se abre cuando detecta radiación, dejando salir el gas venenoso y matando al pobre gato. No podemos ver el interior de la habitación pues está cerrada y no tiene ventanas.

En un momento dado, el que el gato esté vivo o muerto nos es desconocido, y depende enteramente de la función de onda del material radioactivo: si el detector mide radiación, se produce el colapso de la función, hay un estado definido, y el gato muere. Lo paradójico es que mientras esto no suceda, la función de onda está indefinida, y de hecho es una mezcla de estados posibles, algunos de los cuales implican que el gato está vivo, y otros implican que está muerto. De hecho según la mecánica cuántica el estado del gato está indefinido, como una "onda de probabilidad de estar vivo". Este hecho matemático se uso por los detractores de la mecánica cuántica como un argumento a favor de que la teoría está incompleta, pues produce paradojas.

Algunas interpretaciones del colapso de la función de onda
¿Qué más implica el colapso de la función de onda? Hay varias interpretaciones. La más pragmática seria decir que la función es un objeto matemático que nos da información en forma de probabilidades, de forma que cuando realmente medimos y conocemos el valor exacto, la función ha de desvanecerse pues ya no tenemos la información exacta; esta forma de verlo renuncia a dar un significado físico a la función de onda, sólo es una construcción matemática, y se la conoce como interpretación de Copenhague.

Desde otro punto de vista, la función de onda tiene un significado físico, pues puede causar interferencias, ondas estacionarias, etc., que afectan al estado real del sistema, produciendo las figuras de interferencia del experimento de la doble rendija o los niveles de energía cuánticos. Sería como el campo electromagnético, que no consideramos un objeto abstracto sino algo real con lo que se puede interactuar. Entonces ese ente físico que es la función de onda, que evoluciona según una ley física modelada por la ecuación de Schrödinger, colapsa por nuestro acto de medir: nuestra decisión de medir la posición produce una posición, si lo que decidimos es medir una velocidad entonces producimos una velocidad. De ahí que hayan interpretaciones  (Von Neumann, Wigner) que defienden la importancia de la conciencia en el acto de medir y colapsar la función de onda.

Interpretación de los muchos universos
de la paradoja de gato de Schrödinger:
el gato vive en unos universos y muere
en los otros (Wikipedia)

Aún otro modo de verlo es la interpretación de los muchos mundos, que sostiene que realmente la función de onda no se colapsa realmente, sino que en nuestro universo produce un resultado de la medida pero sigue existiendo en infinitos universos paralelos en los que no se ha realizado esa medida. Puede parecer una interpretación demasiada fantástica, pero de hecho está bien argumentada y es coherente.


Conclusiones
En esta tercera entrega hemos relacionado los hechos empíricos de la dualidad onda-partícula y los niveles energéticos de los átomos usando las funciones de onda, pero nos quedan abiertos numerosos interrogantes acerca del verdadero significado de la función de onda (que es lo mismo que decir de la mecánica cuántica). En la cuarta y última entrega veremos otro misterioso aspecto de la teoría, el entrelazamiento cuántico, y intentaremos sintetizar cómo todo lo expuesto afecta a la naturaleza de la realidad física.

Entendiendo la mecánica cuántica

"Si usted piensa que entiende a la mecánica cuántica... entonces usted no entiende la mecánica cuántica."
"No te pongas a repetir, si puedes evitarlo '¿pero cómo puede ser así?' porque te irás hacia un callejón sin salida del que nadie ha escapado. Nadie sabe cómo puede ser así." 

Richard Feynman

¿Realmente es así? ¿La mecańica cuántica es imposible de entender? Paradójicamente, es la teoría física más precisa que haya creado jamás el hombre, y sus aplicaciones en la técnica son multitud: en la electrónica, en la seguridad de los datos (criptografía cuántica), la diagnosis por resonancia magnética nuclear, la química cuántica, y próximamente tendremos ordenadores cuánticos, por citar sólo algunos ejemplos. Así que podríamos decir que desconocer totalmente sus fundamentos nos lleva a un cierto analfabetismo científico. Vamos a intentar ver lo más fundamental y básico de esta teoría, y de paso ver dónde estás los problemas de comprensión (y ya se sabe que en los problemas es donde hay más oportunidades de aprender). Como el camino es largo, lo haremos por etapas: en esta primera entrega vemos la dualidad onda-partícula y sus consecuencias, en las siguientes trataremos los niveles de energía y la estabilidad del átomo, las paradojas de la mecánica cuántica, y algunas de sus aplicaciones. Empecemos.

Propagación clásica: ondas o trayectorias

Ondas en un fluido. La energía del
impacto se propaga en todas direcciones.

Una onda es un modo de propagación de una entidad física que se caracteriza por distribuirse por todo el espacio; por contra, una trayectoria es aquella propagación de un objeto en la cual en cada momento el objeto tiene una posición determinada. 

Son ejemplos ondulatorios la propagación del impacto de una piedra en la superficie de un lago, el sonido (ondas de presión en el aire), o las ondas de radio; en todos ellos a medida que transcurre el tiempo el área ocupada por la onda crece, y eventualmente podría llegar a ocupar todo el espacio. 

Trayectorias de una pelota

Son ejemplos de trayectorias la seguida por una bala que se dispara horizontalmente o una pelota de fútbol. El objeto describe una curva (una parábola en este caso, debido al campo gravitatorio), en cada instante el objeto tiene una posición, velocidad y aceleración definidas.

Las definiciones anteriores son "clásicas" en el sentido de que son excluyentes: o bien tenemos una propagación por ondas o bien por trayectorias.

Propagación dual: ondas y trayectorias

Interferencia de ondas. Una onda
se divide en dos e interfiere consigo

misma en una pantalla. Si en vez de una

onda usamos un haz de partículas, se
observa también un patrón de
interferencias ondulatorio.

Hacia 1923 se sabía que la luz, en ciertos experimentos, se comportaba como un haz de partículas, los fotones, que seguían trayectorias, mientras que en otros experimentos se comportaba claramente como una onda; había por tanto la controversia (antigua, ya que empezó con Newton y Huygens en el siglo XVII) de si la naturaleza de la luz era ondulatoria o corpuscular. En ese año se empezó a experimentar con electrones, que en principio se creía que eran partículas fundamentales. En algunos de esos experimentos se descubrió que también el electrón se comportaba de forma deslocalizada, esto es, como una onda. Este es el caso de la interferencia de ondas.

Entonces empezó a surgir la idea de que la dualidad onda-trayectoria no se limitaba a la luz, sino que podía ser una característica de las partículas muy pequeñas. En efecto, experimentos posteriores confirmaron las propiedades de propagación por ondas para otras partículas materiales, como el neutrón;  incluso objetos no tan pequeños, como átomos y moléculas enteros, ¡mostraban propagación ondulatoria!. 

Entendiendo qué es la dualidad

Interferencia de electrones. Un haz de
electrones se dirige a la pared con dos
orificios; variando la distancia entre ellos
se obtienen diferentes patrones de
interferencia ondulatorios.

Así, tenemos que en ciertas condiciones una partícula se comporta tal como nos imaginamos a una partícula, con una trayectoria definida, pero si montamos un experimento en el que un haz de partículas se divide, no obtenemos dos haces, los cuales producirían  en la pantalla dos puntos separados donde impactaría cada uno, sino que los haces interfieren entre sí, y las partículas van impactando en diversos lugares de la pantalla, de forma que finalmente se forma un patrón de impactos idéntico al que obtendríamos en un experimento con ondas. 

Formación de un patrón de interferencia
de partículas cuánticas: conforme van llegando
a la pantalla se van descubriendo las zonas
con diferentes frecuencias de impacto

Además, esta interferencia no depende del tiempo: si lanzamos las partículas una a una, y observamos donde impactan en la pantalla, obtenemos el mismo patrón: unas zonas con alta densidad de impactos separadas por otras de menor densidad. Incluso si esperáramos más tiempo entre el lanzamiento de cada partícula, de forma que el experimento durase días, siempre obtendríamos el mismo patrón de interferencia. Vemos pues que en cada impacto la partícula se comporta como tal, pero en cuanto a su trayectoria se comporta como una onda, que se divide a causa de los agujeros practicados delante de la fuente de partículas e interfiere consigo misma.

Consecuencias de la dualidad cuántica

Entonces la trayectoria de una partícula no está definida en cierto tipo de experimentos y si lo está en otros. Que una trayectoria no esté definida significa que no tiene sentido hablar de la posición de la partícula, pues simplemente no existe: es como si la partícula estuviese desperdigada por el espacio existente entre el cañón de partículas y la pantalla, y solo volviese a existir como tal al llegar a la pantalla. Este hecho por sí solo ya nos cambia todos los esquemas habituales de qué es la materia y de cómo se mueve: resulta que se emite de forma definida, se mueve de forma "fantasmal"  y  vuelve a definirse cuando interactúa con la pantalla. Esta "fantasmalidad" se conoce como no-localidad. Cuando la partícula llega a la pantalla pierde su no-localidad e impacta en un lugar definido; a este proceso se le conoce como colapso de la (función de ) onda.

Pero hay otro hecho intrigante en la interferencia: ¿cómo sabe cada partícula dónde tiene que impactar en la pantalla para que finalmente se genere un patrón constante? Recordemos que el patrón se dibuja incluso si lanzamos las partículas una a una y con grandes intervalos de tiempo, por tanto las partículas no pueden enviarse señales entre ellas para pasarse información, a menos que admitamos retrocausalidad. Estas dos características, la no-localidad de la materia y la extraña interferencia cuántica que parece implicar retrocausalidad, son  hechos que contradicen nuestro sentido común y de aquí las citas del profesor Feynman.

Formalización de la dualidad: modelos cuánticos
Los físicos teóricos del siglo XX tuvieron que vérselas con este extraño comportamiento empírico, enfrentándose al reto de formular un modelo matemático que representara partículas y ondas a la vez, y salieron airosos con varias formas de encara el problema: la mecánica cuántica ondulatoria,  la ecuación de Schrödinger y la mecánica de matrices de Heisenberg.
Una onda es un fenómeno oscilante que transporta una energía proporcional a la frecuencia de oscilación. Louis De Broglie identificó los parámetros dinámicos de la partícula (energía cinética, cantidad de movimiento, velocidad, etc.) con los parámetros de transmisión de energía de la onda (energía de la onda, frecuencia, velocidad del frente de onda,...), formulando la hipótesis de la mecánica ondulatoria: a cada partícula material se le asocia una onda de materia. Materia y energía son entonces un único tipo de entidad que posee propiedades corpusculares y ondulatorias al mismo tiempo.

Posteriormente Erwin Schrödinger refinó la teoría de De Broglie: las ondas no son de materia, lo que representan es la probabilidad de que la partícula se encuentre en un punto del espacio-tiempo.

Ecuación de Schrödinger: describe la evolución temporal de la
probabilidad de encontrar una partícula en un punto del espacio.

Formuló su hipótesis en la denominada ecuación de Schrödinger (valedora del premio Nobel de Física), que determina la evolución con el tiempo de la probabilidad de la posición de una partícula, relacionándola con la cantidad de movimiento p y el potencial variable V.
Fijémonos en el detalle: no predice la posición (es imposible hacerlo) sino la probabilidad de tener una posición.  Por tanto una medida sobre un sistema cuántico proporciona un valor aleatorio entre los posibles resultados factibles. Esto concuerda con los hechos empíricos.
Esta teoría está aceptada hasta la actualidad, y funciona admirablemente bien. La única crítica seria  que se le puede hacer (sin entrar en temas de relatividad general y gravitación cuántica) es su pragmatismo: simplemente así funciona la naturaleza, aunque no lo entendamos. 

Teorías explicativas de la dualidad

Como el formalismo de la mecánica cuántica nos responde el cómo pero no el porqué, han surgido diversas teorías explicativas del porqué, todas ellas moviéndose en el límite de la física y la metafísica, ya que algunas de ellas son muy difíciles de comprobar experimentalmente, pero esto no significa que carezcan de valor, siempre que puedan señalar nuevos caminos de comprensión. Citemos algunas de ellas, sin ánimos enciclopédicos, por supuesto.
Hugh Everett propuso que existen infinitos universos paralelos, bifurcándose continuamente; cuando realizamos una medida cuántica, el resultado obtenido está en uno de los universos, pero todas los otros resultados posibles se están obteniendo en los otros universos. No sé que opina el lector, pero a mí me parece más incomprensible la teoría explicativa que lo que se propone explicar.
David Bohm amplió la mecánica ondulatoria original en la denominada teoría de De Broglie–Bohm usando la idea de que podían haber más variables en juego que las que conocemos, llamadas variables ocultas; estas variables desconocidas serían las responsables de convertir el aparente movimiento aleatorio de las partículas cuánticas en determinista. Para entenderlo, comparemos con el movimiento de los planetas del sistema solar antes de Newton: el porqué de sus trayectorias eran un misterio hasta que la teoría de la gravitación universal mostró que la misteriosa fuerza que los movía no era otra que la misma gravedad que hacía caer las manzanas al suelo. Del mismo modo las variables ocultas explicarían lo que ahora es un misterio. Posteriormente, Bohm amplió su teoría para abarcar a la propia realidad física; he escrito sobre ello en la serie de artículos "La totalidad y el orden implicado" de este blog.

En otras explicaciones se le da una importancia fundamental a la consciencia, debido a que depende de la decisión del experimentador el que el sistema cuántico se comporte de un modo o de otro; recordemos que el electrón se mostrará como partícula o como onda dependiendo del montaje experimental que diseñemos; incluso podemos decidir tapar un orificio justo antes de que un electrón llegue a la pantalla para cambiar su comportamiento "al vuelo". Recíprocamente, hay teorías que relacionan la facultad de tener una conciencia con fenómenos cuánticos: una mente cuántica; su defensor más conocido es Roger Penrose.

Movimiento browniano plano: es una trayectoria
errática que va cubriendo todo el plano.
Geométricamente es una curva fractal de
dimensión 2.

El último enfoque que trataré el que supone que el espacio-tiempo no tiene una dimensión entera, sino fractal, concretamente fractal entera e igual a 2, siendo ésto detectable sólo a muy pequeña escala. En ese caso, las trayectorias de las partículas seguirían las líneas fractales de espacio-tiempo, que tendrían una apariencia similar a las trayectorias del movimiento browniano: erráticas, a largo plazo irán llenando todo el espacio. Entonces las partículas volverían a tener trayectorias definidas, sólo que serían fractales. Esta teoría tiene su más conocido defensor en el astrofísico francés Laurent Nottale , que de paso intenta unificar la relatividad y la física cuántica. Para saber más sobre fractales enteros y sobre espacio-tiempo fractal recomiendo  los artículos  Polvo fractal con dimensión entera y  vacío cuantico - vacío fractal  del blog La bella teoría.

Conclusiones
Independientemente del modelo matemático y de la interpretación que usemos, está claro que la realidad a muy pequeña escala se comporta de forma radicalmente diferente a lo que estamos acostumbrados en nuestro mundo macroscópico. Nuestra mente tiene dificultades para imaginar un mundo de carácter no-local, donde cualquier objeto puede influir a cualquier otro independientemente de la distancia en el espacio y en el tiempo.Si logramos imaginar un mundo así, entenderemos la mecánica cuántica.

Aleatoriedad, errores e inteligencia artificial

Aleatoriedad

Se dice que un sistema presenta aleatoriedad cuando sus estados no pueden predecirse de forma exacta, sino como mucho usando probabilidades. En la Física clásica se suponía que los sistemas aleatorios lo eran por desconocimiento de su funcionamiento exacto, debido a imposibilidades prácticas o a que el sistema era demasiado complejo. 

Así, el típico experimento aleatorio de lanzar una moneda realmente es determinista, pues dados sus posición y velocidad inicial exactas, así como sus propiedades físicas (masa, geometría, momento de inercia, ...) y aplicando las leyes de la mecánica ha de ser posible determinar su estado final. 

Llama con forma caótica

Esta visión determinista se derrumbó con la Mecánica Cuántica la cual introduce un factor de aleatoriedad insalvable propio de la Naturaleza, aunque sólo en el dominio de lo extremadamente pequeño.

Por otra parte en los denominados sistemas caóticos encontramos que a pesar de ser deterministas, son tan sensibles a cualquier variación de su estado inicial que en la práctica se comportan como si fueran aleatorios. Tal es el caso del lanzamiento de la moneda, pero también de ejemplos más interesantes  como el clima,  la formación de cristales, o la forma de las llamas de un fuego.

El problema de la generación de números aleatorios

La generación de números aleatorios por ordenador es de gran importancia práctica, pues nos permite simular sucesos aleatorios. Pero resulta que no es fácil generarlos, ya que por definición un programa de ordenador es una secuencia determinada de operaciones, que se ejecutan una detrás de otra, sin posibilidad de introducir aleatoriedad, en principio. De hecho, la mayoría de programas de generación de números aleatorios son de hecho "pseudoaleatorios": usan algoritmos matemáticos que, dado un valor inicial (conocido por "semilla")  generan una secuencia definida de números x₁, x₂, x₃, ..., de forma que para cada valor de la semilla se genera una lista distinta.

Una forma de que un algoritmo genere aleatoriedad es proporcionándole datos aleatorios desde el exterior; el propio hardware del ordenador puede proporcionarla a través de procesos impredecibles, como los movimientos de la cabeza lectora del disco duro o la tasa de actividad de la CPU.  La generación de aleatoriedad por hardware suele aprovechar fenómenos físicos altamente impredecibles, como el ruido eléctrico.

Movimiento browniano: trayectoria caótica seguida por una partícula
muy pequeña en un fluido; la dirección y la velocidad cambian repentinamente
conforme van rebotando en ella las moléculas del fluido, sin ningún patrón predecible.

En el caso de algunos algoritmos de generación de claves para criptografía como el GPG, se pide la colaboración del usuario para generar aleatoriedad:  mientras se genera la clave ha de realizar cuantas más acciones mejor, como mover el ratón rápidamente o re-dimensionar ventanas de aplicaciones; a este proceso se le llama generación de entropía.

Observemos que estos métodos utilizan de hecho sistemas físicos caóticos para generar aleatoriedad que no tienen porque ser realmente aleatorios, sólo demasiado complejos para ser predecibles. Actualmente empiezan a aparecer sistemas que recurren a los procesos cuánticos para generar auténtica aleatoriedad, como es el caso de la empresa suiza ID Quantique que vende sistemas de generación de claves aleatorias basadas en las propiedades cuánticas del fotón.

Errores aleatorios en las mediciones

Cuando medimos una magnitud física, es inevitable que el instrumento de medida afecte a la cantidad que deseamos medir; además, la medida estará afectada en algún grado por el denominado error experimental. Si el instrumento está bien calibrado y somos cuidadosos en el procedimiento de medida, entonces los errores serán totalmente aleatorios, y además sus probabilidades estarán determinadas por la distribución normal de probabilidad. 

Aleatoriedad y errores en la mente

Nuestra mente es una maravilla capaz de enviar un robot explorador a Marte o de enunciar la teoría de las cuerdas en un espacio de 10 dimensiones. Sin embargo, también destaca su elevada irracionalidad en ciertas ocasiones, así como su capacidad de cometer errores de todo tipo, disfunciones y aberraciones del comportamiento. A veces, la mente parece funcionar distorsionada como si algún "demonio" se hubiera infiltrado  en su interior. Esta es una característica distintiva de la mente humana en relación con la inteligencia artificial (IA), que no es tan dada a comportamientos erráticos.

Podemos preguntarnos, ¿estas disfunciones son errores aleatorios del cerebro? En esta pregunta hay dos tesis: (1) ¿el cerebro tiene errores de funcionamiento que se traducen en disfunciones mentales?, y (2) ¿estos errores no siguen ningún patrón predecible, se producen sin posibilidad de predicción?

Test de Turing

Test de Turing: ¿quien responde es
humano o máquina?

Sea como sea, los programas no tienen este tipo de errores pues son deterministas. Alan Turing, precursor de la informática y la IA, propuso en 1950 un test, el test de Turing, para discernir entre una mente humana y una artificial. Consiste en realizar el mismo conjunto de preguntas a un humano y a una máquina; de las respuestas que obtenemos se nos oculta quien las ha hecho, si hombre o máquina. Entonces si somos incapaces de deducir simplemente  analizando las respuestas si provienen de uno o del otro, diremos que la máquina ha superado el test, y muestra una inteligencia similar la la humana. El test es tan potente que hoy en día ni siquiera se utiliza debido a que se considera que ningún programa podría superarla. 

Lo que más se le acerca actualmente son los denominados chatterbots, que simulan una conversación humana pero limitada a un contexto determinado, como por ejemplo los asistentes virtuales de compras. A continuación tenemos un dialogo entre un humano (H) y el asistente virtual de RENFE Irene (I)

H: buenas tardes
I: Aquí me tienes, ¡buenas tardes!
   ¿Me dices cómo te gustaría que te llamara?
H: Pepe   
I: Fenomenal. A partir de ahora te llamaré Pepe.
H: ¿sales esta noche?
I: Me paso en esta ventana todas las horas del año... ¡Ojalá pudiera salir de aquí! Por cierto, Pepe, ¿en qué ciudad estás tú?
H: En Bombay
I: Preguntaba por una ciudad, da igual.
H: Quiero saber los horarios de cercanías
I: Tienes los horarios y recorridos de Cercanías. Los tienes en este enlace.

Un bot de tipo general que funciona aceptablemente es Cleverbot.

La habilidad de conversación del chatterbot suele limitarse a su área de conocimiento. En el caso de un programa que simulase ser un matemático, el propio Turing advirtió que el programa para superar el test debía ralentizar su respuesta e introducir algún error de vez en cuando para parecer un ser humano.  La introducción de errores en la respuesta podría ser aleatoria o bien producirse después de una larga serie de preguntas, para simular cansancio. Como ya hemos visto, este error intencionado aleatorio puede vincularse a una fuente de aleatoriedad generada por el mismo hardware de la máquina.

Aprender de los errores

Es sabido que los errores son una fuente de aprendizaje, tanto es así que una de las formas de aprender algo nuevo es por la técnica del ensayo-error, en la cual probamos algo nuevo, evaluamos el resultado, y corregimos los errores, para volver a ensayar de nuevo. Así pues, es importante que los ordenadores se equivoquen y sepan aprender de sus errores para simular el comportamiento de la mente. Los programas basados en redes neuronales simulan una red  reducida de neuronas; principalmente se utilizan para aprender a reconocer patrones: se les proporcionan unos datos de entrada con los cuales "aprenden", para después ser capaces de reconocer patrones similares. Este aprendizaje se basa en el ajuste de parámetros internos de la red usando el método ensayo-error. Por ejemplo las redes neuronales se pueden usar para leer los códigos de barra a pesar de haber manchas, arrugas o de una impresión de baja calidad.

La probabilidad en la Física

La probabilidad es un tema muy extenso y tiene diversos enfoques; aquí no trataremos los aspectos técnicos, sino que nuestro objetivo será comprender sus fundamentos y su significado en todo aquello que sea aplicable a las ciencias físicas.

El científico hace un uso muy bien definido de las probabilidades; cuando un físico dice que la probabilidad de desintegración  por unidad de tiempo de un núcleo de carbono-14 es de 3,6113594·10⁻⁴ por segundo, su afirmación tiene un carácter muy específico, mientras que en cambio si le preguntamos por la probabilidad de que la teoría de cuerdas sea correcta quizá se encogerá de hombros, ¡y esa actitud también tiene un significado bien definido!

Razonamiento inductivo y razonamiento deductivo

El denominado razonamiento inductivo se caracteriza por establecer conclusiones que no son totalmente seguras a partir de unos datos. Por ejemplo, en la inferencia estadística, un tipo de razonamiento inductivo, se formulan conclusiones sobre toda una población basándose en una muestra; sería el caso de afirmar que la intención de voto al partido "XYZ" es del 30% de la población cuando sólo se ha encuestado a una cienmilésima parte de la población. Trabaja pues con elementos de juicio incompletos en los cuales no es aplicable la exactitud. Es un modo de trabajo habitual en las ciencias correlacionales, como la Psicología o la Economía. Por otro lado el razonamiento deductivo establece conclusiones que se siguen necesariamente de los datos. Es el método habitual en las ciencias exactas.

Evidentemente no podemos ser rígidos en esta clasificación, y debemos aceptar que las ciencias no exactas pueden usar razonamientos deductivos, y que también las ciencias exactas son usuarias del razonamiento deductivo; un ejemplo paradigmático de éste último caso es la investigación experimental de las partículas fundamentales en aceleradores de partículas, para ser más concretos citaremos el posible descubrimiento del bosón de Higgs en el 2012, que de producirse no será anunciado con total certeza, sino con una probabilidad muy elevada, cercana pero no igual al 100%. Para más detalles sobre probabilidades en Física experimental podéis visitar este artículo del blog de la mula Francis. Dicho esto, podemos afirmar que las ciencias exactas son predominantemente deductivas, y que las ciencias correlacionales son inductivas; además, estas últimas se esfuerzan por convertirse en exactas en la medida de sus posibilidades.

Ciencia deductiva y probabilidad

Así, cuando las ciencias deductivas utilizan probabilidades, no las considera como una forma de expresar el grado de seguridad de una afirmación, sino como una magnitud mensurable, en igualdad con otras magnitudes como las longitudes, velocidades, aceleraciones, etc.
Como ejemplo, consideremos de nuevo la probabilidad de desintegración de un núcleo radiactivo de carbono-14. Dada una cantidad inicial N(0) de material radiactivo, al cabo de cierto tiempo t la cantidad que quedará viene dada por la ley de la desintegración radiactiva

N(t) = N(0)·e^-Pt 

donde P es la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo; entonces vemos que P = (1/t)·Ln (N(0) / N(t)) es un valor constante, determinado, que  de hecho es una propiedad del material: podemos establecer su valor en el laboratorio midiendo la cantidad de material residual con diferentes valores del tiempo t. Por tanto la probabilidad P se determina midiendo, es una magnitud mensurable.

La probabilidad mensurable y los errores experimentales

Podemos objetar que la medición de cualquier magnitud física conlleva la probabilidad de cometer errores, de modo que al definir la probabilidad deductiva como mensurable caemos en un círculo vicioso. Aclaremos este punto.

Es cierto que en el laboratorio siempre se toman diversas medidas de una magnitud y después se promedian, con el propósito de minimizar el error cometido. En este procedimiento no hay necesidad de probabilidades, excepto para estudiar la distribución de los errores experimentales. Si consideramos ahora la determinación de la probabilidad como magnitud veremos que hay que proceder del mismo modo que para cualquier otra magnitud: tomaremos medidas repetidas de la probabilidad (pensemos por ejemplo en el carbono-14) y las promediaremos para obtener el valor físico aproximado, dentro de la precisión requerida. Admitido esto, no hay nada incoherente en la definición dada de la probabilidad como magnitud física.

Definiciones clásicas de la probabilidad

La conocida regla de Laplace considera que la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número total de casos posibles, siempre que estos sean igualmente probables. Un ejemplo típico es determinar la probabilidad de obtener un número par en el lanzamiento de un dado:

P(número par) = card({2,4,6} / card({1,2,3,4,5,6}) = 3/6 = 1/2,

Un dado físicamente es un cubo simétrico, y por tanto podemos considerar que al lanzarlo la probabilidad de que cualquier cara quede en la parte superior es igual para todas ellas.

donde "card" indica el operador que nos da el número de elementos de un conjunto. Esta definición nos permite calcular probabilidades antes de realizar cualquier medición, siempre que conozcamos el número de casos. Es una fórmula exacta, sin errores.

Otra definición es la frecuencial: afirma que la probabilidad de un suceso es el cociente entre la frecuencia con la que se presenta el suceso y el número total de repeticiones del experimento, suponiendo que este último es muy grande;  a este cociente se le denomina frecuencia relativa, de forma que la probabilidad es la frecuencia relativa cuando el número  de repeticiones es grande.   Es una definición empírica, pues el valor obtenido depende del experimento.

Experimentalmente se ha comprobado que las dos definiciones, la de Laplace y la frecuencia, coinciden cuando el número de repeticiones n del experimento se hace arbitrariamente grande (ley de regularidad estadística).  La definición frecuencial de la probabilidad usa el concepto de límite: la probabilidad de obtener un cierto resultado de un experimento aleatorio es la frecuencia  relativa obtenida al repetir el experimento infinitas veces.

En la siguiente figura, en la parte superior, se muestran en el eje vertical las frecuencias relativas obtenidas en la simulación del lanzamiento de una moneda 400 veces, anotando las caras obtenidas, y en eje horizontal el número de lanzamientos (la escala es logarítmica). Vemos que las frecuencias oscilan con amplitud decreciente, estabilizándose progresivamente cerca del valor 0.5, que  tomaríamos como probabilidad en el sentido frecuencial. Este valor coincide con el obtenido mediante la regla de Laplace: P(salga cara) = card {"cara"} / {"cara", "cruz"} = 1/2.

Comparación de los límites de la frecuencia relativa con el de una suma infinita; el primero se acerca al límite de forma lenta e irregular, el segundo rápida y regularmente.

En la gráfica inferior se muestra la evolución de la suma infinita (1/2)·[(1/2) + (1/2)²+(1/2)³ + ... ] que tiene como valor límite 1/2. Vemos que esta suma se acerca a su límite mucho más rápido y de forma menos errática que la  probabilidad. Ademas, en el caso de la probabilidad siempre podemos encontrar una desviación amplia del valor 1/2 para cualesquiera valores de n; cuando n es grande sucede raramente, pero no es imposible, mientras que en el caso del límite matemático "habitual" las desviaciones arbitrarias no se producen. Así pues, el concepto de límite de la probabilidad frecuencial presenta diferencias respecto a los límites de funciones tal como se definen en los textos de cálculo.

Probabilidad de conjuntos infinitos

La definición frecuencial nos proporciona un concepto útil para interpretar la probabilidad (la frecuencia relativa teórica que esperamos encontrar en un experimento ideal con infinitas repeticiones, pero no es nada práctica. La fórmula de Laplace en cambio nos proporciona un método de cálculo. Es un hecho notable que los valores numéricos proporcionados por ambas definiciones coincidan. Utilizadas conjuntamente nos permiten resolver un gran número de problemas. 

Una limitación importante aparece cuando el conjunto de posibles resultados es infinito; por ejemplo, estamos interesados en saber cuál es la probabilidad de encontrar una molécula en una región del espacio. Siendo la posición una variable continua, el número de posiciones posibles dentro de cualquier intervalo será infinito, por lo que la regla de Laplace no está bien definida.

Se han propuesto definiciones más generales de la probabilidad que permiten enfrentarse a estos casos con infinitas posibilidades: los conjuntos denominados conjuntos de Borel (o borelianos) y  la medida de Lebesgue. Con estas herramientas podemos incluso calcular probabilidades asociadas a conjuntos "rebuscados".

Por ejemplo, ¿cual es la probabilidad de que, al escoger al azar un punto x cualquiera del  intervalo [0, 1], el punto escogido sea un número racional? Hay infinitos racionales en cualquier intervalo, e infinitos números en el intervalo [0, 1], con lo que la regla de Laplace resultaría en un infinito / infinito que es un valor indeterminado.

La definición frecuencial también se pone en apuros con problemas de este tipo, pues los generadores de números aleatorios realmente no son del todo aleatorios, ya que usan algoritmos deterministas, y además que yo sepa no suelen generar números irracionales. Los nuevos ordenadores cuánticos podrían quizá resolver este problema, ver por ejemplo el artículo Evidencias de que los procesos cuánticos generan números aleatorios verdaderos.

Hay conjuntos más complicados,  como por ejemplo el conjunto de Cantor, que se construye de modo recursivo.

Construcción del conjunto de Cantor. Seguimos los siguientes pasos:

• Tomamos el intervalo [0, 1].
• Le quitamos un tercio de intervalo, concretamente el intervalo abierto (1/3; 2/3). Nos quedan los intervalos [0, 1/3] y [2/3, 1]
• Quitamos a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos (1/3²; 2/3²) y (7/3²; 8/3²).
• Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.

El conjunto de Cantor C tiene infinitos puntos; de hecho se da la paradoja de que contiene tantos puntos como todo el intervalo [0, 1]. que contiene a C. Por la regla de Laplace la probabilidad de escoger un punto de C sería card(C) / card([0,1]) = 1, que es absurdo, ya que  una probabilidad de un suceso igual a 1  significa que el suceso se presenta siempre, es decir que x siempre pertenecerá a C. En cambio usando la teoría de Lebesgue, la medida de C resulta ser cero, y  por consiguiente la probabilidad de que al escoger un punto al azar del intervalo [0, 1] el punto pertenezca a C es cero. Una excelente descripción de los conjuntos de Cantor y sus curiosas propiedades, así como su teoría de los números trans-infinitos la ofrece este blog.

Mecánica estadística

Volvamos a la Física, concretamente a la Física a escala molecular. A estas escalas debemos aplicar los principios de la mecánica cuántica, que establece que la energía de cada molécula sólo puede tomar unos valores discretos., está cuantizada. Para simplificar, pensemos en un gas; una molécula libre de gas moviéndose en un recipiente tendrá un estado, variable, definido por tres  números cuánticos, uno para cada dimensión del espacio, y cada estado permitido define un nivel de energía. Conociendo la distribución de las partículas entre los estados permitidos de energía del gas, se pueden predecir sus propiedades macroscópicas de interés (denominadas observables), como la temperatura, la presión, la densidad, etc.

Moléculas de un gas en un recipiente, cada molécula rebota con las paredes y con otras moléculas, cambiando su velocidad continuamente. La velocidad media a temperatura ambiente es del orden de cientos de metros por segundo.

Dado el enorme número de moléculas existentes, del orden de 10¹⁸ por cada cm³, la determinación de sus energías se ha de realizar usando técnicas estadísticas. Así, no determinamos energías, sino probabilidades de tener ciertas energías.

Distribución de probabilidades de velocidades de Maxwell-Boltzmann para los gases nobles, en el eje horizontal se muestran las velocidades de las moléculas, en el vertical las probabilidades.

Se han formulado diversas técnicas de cálculo de probabilidades ajustadas a cada tipo de moléculas; por ejemplo, si todas las partículas son iguales (más precisamente: indistinguibles), y cada estado de energía puede ser ocupado por todas las moléculas sin restricciones, las probabilidades viene dadas por la denominada distribución de probabilidad de Bose-Einstein. Si las partículas son distinguibles, entonces se aplica la distribución de Maxwell-Boltzmann. Estas probabilidades pueden aplicarse a sistemas generales de muchas partículas cuánticas, como por ejemplo los fotones.

Tal como decíamos al principio, las probabilidades calculadas en Física Estadística son magnitudes medibles, y su concepto es distinto del de las probabilidades más comunes, como la de sacar un número par cuando lanzamos un dado. Por ejemplo, la temperatura de un cuerpo, un observable, está directamente relacionada con el valor medio de las velocidades de sus moléculas, que a su vez está determinada por su distribución de probabilidades.

Bibliografía

• Sobre mecánica Estadística: F.W. Sears: Termodinámica, teoría cinética y termodinámica estadística. Ed. Reverté.
• Sobre la probabilidad en las ciencias exactas: H. Margenau: La naturaleza de la realidad física. Ed. Tecnos.
• Sobre conjuntos de Borel y medida Lebesgue: T. Apostol: Análisis Matemático. Ed. Reverté.
• Sobre aplicación de las medidas Lebesgeu en la probabilidad: E. Elizalde: Métodos matemáticos algebraicos, tomo III. Universidad de Barcelona.