Orígenes de la física cuántica

 Introducción

La Física Cuántica ha despertado interés en mucha gente no especialista, a pesar de ser una área de conocimiento compleja, debido a la aparentemente irracional imagen y modelo del mundo que proporciona. Es ciencia verificada en innumerables experimentos y aplicaciones prácticas que usamos día a día, pero sus afirmaciones chocan frontalmente con nuestra imagen del mundo como humanos. ¿Cómo no asombrarse cuando se nos dice que la materia densa, sólida, en realidad es vacío en un 99,999%? ¿Y que el vacío absoluto no existe, pues en ese vacío se generan y se destruyen partículas "virtuales" continuamente? Y muchas otras afirmaciones en ocasiones paradójicas. 

¿Cómo se llegó a tales increíbles afirmaciones? La historia de la Física Cuántica nos muestra que se fueron descubriendo sus afirmaciones de forma sucesiva sin posibilidad de evitarlas; no es que a algunos genios se les ocurriera esa extraña teoría y luego se comprobara que era cierta. lo que sí ocurrió por ejemplo en el caso de la teoría de la Relatividad, al contrario, sucesivos experimentos mostraban hechos que no encajaban con lo conocido hasta entonces, forzando a la ciencia a irse adaptando sobre la marcha, pensando en nuevas teorías que encajaran con lo observado. Es pues interesante acercarse a la Física Cuántica no "de golpe" viendo sus extravagantes y en ocasiones muy técnicas afirmaciones, sino siguiendo sus descubrimientos históricos. Ello abarca muy poco tiempo en la historia de la humanidad, pues el desarrollo de las ideas básicas se realizó en sólo 20 años, al principio del siglo XX. Aunque para ser más didácticos empezaremos nuestro viaje mucho antes, en la Grecia clásica, pues de allí surgió por primera vez el estudio (filosófico) de la constitución última de la materia.

Grecia clásica: la materia y sus átomos

Las primeras ideas sobre la constitución básica de la materia aparecen en la Grecia clásica. La escuela eleática afirmaba que las cosas materiales son una única sustancia o causa primaria, Parménides 530 a.C, uno de sus miembros, lo expresaba diciendo que esa causa primaria, el ente, es Uno, inmóvil y eterno. 

Anaxágoras 500 a.C razonaba sobre la aparente diversidad sin fin de objetos y sustancias materiales: la pluralidad infinita de realidades materiales cualitativamente distintas. Partiendo de la creencia de que la nada no existe por ser una contradicción de términos existir y nada, concluía que la materia ha de ser infinitamente divisible, que no se puede llegar a una división última en componentes primarios alrededor de los cuales haya el vacío. 

Demócrito 460 a.C en cambio siguiendo a Leucipo consideraba que la materia no podía ser infinitamente divisible, pues coincidía con la idea del Uno estable e inmóvil de Parménides pero a a la vez quería conciliarlo con la apariencia del mundo sensorial  en el que todo es cambio, movimiento, multiplicidad. La forma de hacerlo era enunciar que la materia estaba constituida por elementos básicos indivisibles y eternos, los átomos (del adjetivo griego antiguo atomos que significa "indivisible") que en conjunto conforman el Uno de Parménides, pero que el combinarse entre sí producen la variabilidad infinita que observamos.

La teoría atómica científica del siglo XIX

No fue hasta el siglo XIX, casi 2.000 años después de los filósofos griegos, que la ciencia recuperó la teoría atómica de la Grecia clásica. 

A principios del siglo XIX se conocía muy bien el hecho de que la combinación de diferentes proporciones de distintas sustancias pueden generar compuestos distintos. Dalton (1808) propuso que existían sustancias simples y sustancias compuestas, estas últimas formadas por combinaciones de simples, que todas las sustancias están formadas por átomos,  y que los átomos de un elemento simple eran todos ellos exactamente iguales en tamaño y peso y en el resto de las propiedades físicas y químicas de la sustancia; por ejemplo, el agua está formada por 2 átomos del elemento hidrógeno y 1 átomo del elemento oxígeno. 

Además esos átomos son inalterables y por tanto no quedan afectados por nada que se le pueda hacer a la sustancia como por ejemplo reacciones químicas o cambios físicos como puede ser calentar o golpear la sustancia, los efectos de esos cambios externos afectaran a la disposición de los átomos pero no a ellos directamente. 

Electromagnetismo y teoría atómica

El siglo XIX en cuanto a la ciencia física obtuvo grandes adelantos, tantos que a finales de siglo se llegó a creer que ya se conocían en detalle todas las leyes naturales que rigen el comportamiento del Universo.  Poco podían imaginar que era justo lo contrario y que en el siglo XX encontrarían todo un nuevo campo desconocido. Nos fijamos ahora en los avances que se produjeron en el estudio de la electricidad  y el magnetismo, en el que nombres como Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros destacaron. En 1861 Maxwell consiguió presentar una teoría matemática precisa que describía todos esos fenómenos eléctricos y magnéticos, y además relacionaba la electricidad y el magnetismo como aspectos de un único campo electromagnético; la teoría además predecía la existencia de radiación electromagnética, esto es, energía radiante que se propaga mediante ondas. 

Este nuevo descubrimiento teórico fundamentó numerosos experimentos de comprobación y de descubrimiento de nuevos aspectos del electromagnetismo, de su propagación en ondas y de su interacción con la materia. Entre ellos encontramos los tubos de Crookes (1870) que son tubos de cristal rellenos de un gas que presenta el efecto de fluorescencia (en los por ello denominados gases fluorescentes) cuando son atravesados por corrientes eléctricas. En una versión de su experimento Crookes introdujo una cruz de metal en el tubo, hizo el vacío en él de forma que no había ningún gas conductor, y observó que se formaba una sombra en un extremo del tubo; dedujo que la corriente eléctrica se propagaba en el vacío en forma de rayos rectilíneos que no atravesaban la cruz de metal, conocidos con el nombre de rayos catódicos. 

CC SA 1.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=333353

En otra variante de ese experimento, Crookes añadió un campo magnético transversal al tubo, y observó que los rayos catódicos se desviaban como si tuvieran carga eléctrica negativa. Concluyó que los rayos catódicos tenían alguna carga eléctrica: sugirió que consistían en moléculas cargadas negativamente que eran proyectadas a alta velocidad por la diferencia de potencial aplicada a los extremos del tubo.

Ya en 1896 Thomson perfeccionó el experimento de forma que fue capaz de detectar el impulso de los rayos catódicos al hacerlos chocar con una pantalla sensible y de medir la carga que transportaban; como el impulso se relaciona con la masa, se deducía que los rayos transportaban masa, eran "corpusculares", además de tener carga, tal como sugería Crookes, pero la masa estimada era una milésima parte de la masa del ion menos masivo conocido, el ion del hidrógeno (que consta sólo de su núcleo cargado positivamente). Así que parecía que los rayos catódicos estaban formados por partículas cargadas negativamente con masa muy inferior a cualquier átomo, incluso a la del más ligero, el hidrógeno. la relación entre carga y masa transportadas. Se sugirió el término electrón para esta partícula. 

Rutherford mientras estudiaba unos entonces exóticos materiales que emitían radiación electromagnética de forma autónoma y constante, materiales radioactivos, descubrió que lo que emitían eran partículas con impulso y masa; detectó dos tipos de ellas, según su capacidad de atravesar una barrera: las partículas alfa que eran detenidas por una simple hoja de papel y las partículas beta que sí la atravesaban. 

Inicios del siglo XX: átomo de Rutherford

En 1900, Becquerel comprobó que los rayos beta de Rutherford eran desviados por un campo eléctrico, y que además su proporción masa-carga era la misma que la de los rayos catódicos, así que parecía evidente que eran lo mismo: la radiación beta eran electrones. Además siendo que la radiación era emitida por la materia, se especuló con la idea de que los electrones formaban parte de sus átomos. Thomson (1904) imaginó átomos esféricos en los que estaban insertados los electrones distribuidos de forma homogénea en una materia atómica cargada positivamente de forma que el conjunto era neutro. La ionización atómica consistía en la liberación de electrones. 

Pero Rutherford en 1911 al comprobar el modelo de Thomson encontró discrepancias insalvables; expuso a la radiación alfa una muy fina lámina de oro (el oro es extremadamente maleable y por tanto se pueden producir láminas muy finas) y encontró que las partículas alfa, mucho más pesadas que los electrones y cargadas con electricidad positiva, atravesaban casi siempre la lámina sin desviarse, sólo una pequeña parte de las partículas eran desviadas de la trayectoria, lo cual es incompatible con unos átomos de oro compactos como los del modelo de Thomson: todas las partículas alfa hubieran debido rebotar contra los átomos de oro, que son además átomos grandes y pesados comparados con la masa de las partículas alfa. Propuso pues Rutherford otro modelo del átomo que es el más popular en las ilustraciones de hasta nuestros días: el modelo planetario en  el que los electrones giran como planetas alrededor de un núcleo cargado positivamente que hace de Sol.  Entre el núcleo y los electrones hay vacío como ocurre en el sistema solar entre planetas y el Sol, y a través de ese vacío pueden pasar la partículas alfa si chocar con nada. No obstante la fuerza que mantiene a los electrones en órbita no era la gravedad pues es demasiado débil con masas tan minúsculas, sino la fuerza eléctrica de atracción entre electrones y el núcleo. 

La materia está vacía... ¡pero es impenetrable!

La ilustración no muestra la escala real de las órbitas ni el tamaño relativo de los electrones y el núcleo. El núcleo atómico tiene un radio de  unos10E-15 metros (0,000...1 metros , con 14 ceros y el 1 en quinceava posición) mientras que el radio del átomo más pequeño que existe, el del hidrógeno, mide unos 10E-11 metros, un radio 10.000 veces menor. Entonces en un dibujo a escala real si el núcleo fuera una pelota de tenis de unos 10cm de diámetro, el electrón orbitaria a una distancia de 100.000 cm = 1000 metros = ¡1 kilómetro! Imaginemos toda la materia que nos rodea compuesta de átomos con un núcleo de 0.000000001 cm y sus electrones volando a gran distancia: la materia está realmente vacía.

Además la velocidad orbital del electrón ha de ser muy alta para no caer sobre el núcleo atraída por la fuerza eléctrica de atracción entre cargas opuestas; nada que ver con las órbitas planetarias debidas a la gravedad, pues la fuerza eléctrica es un billón de billones de billones (10E+36) más intensa. para compensar tal fuerza el electrón ha de girar a una velocidad muy alta de forma que la fuerza centrípeta contrarreste la eléctrica: en el caso del átomo de hidrógeno se mueve a ¡2.200 km por segundo! Con esa velocidad el electrón daría una órbita a la Tierra en menos de 20 segundos. Como el diámetro del átomo es astronómicamente inferior al de la Tierra, en seguida vemos que el electrón debe dar un número enorme de revoluciones por segundo alrededor del núcleo: ¡alrededor de un cuatrillón (10E24) de revoluciones por segundo! Gracias a este giro la materia no colapsa, que es lo que sucedería si el electrón cayera sobre el núcleo.

Entonces podemos imaginar que el electrón a esa velocidad se verá como un ventilador girando a una velocidad fantástica, aparentemente no vemos las aspas, parecen algo sólido, y si intentamos pasar algo a través de las aspas no lo lograremos tal como si fuera sólido. El efecto en el átomo es increíblemente mayor, es como si el electrón estuviera repartido en toda la órbita, pues su velocidad es demasiado alta para poder ubicarlo en ninguna posición concreta. Hay que tener en cuenta también que la órbita no es plana sino esférica (u otras formas tridimensionales): el electrón va cambiando de forma aleatoria la trayectoria. y con el tiempo cubre toda la esfera de radio atómico. 

Cálculo aproximado de frecuencia de barrido de la corteza atómica por el electrón

Siendo el radio del átomo R= 10E-11m la superficie de una esfera de ese radio es del orden de πR^2 =  10E-22 m^2, como el radio clásico del electrón es de 10E-15m su superficie es de 10E-30 m^2, el ratio de superficies átomo / electrón es de 10E8 por tanto serian necesarias del orden de 10E8 órbitas para "ocupar" toda la superficie del átomo con órbitas. Como orbita 10E24 veces por segundo tenemos que el electrón barrerá toda la superficie del átomo 10E24 / 10E8 = 10E16 veces por segundo, unos diez mil billones de barridos por segundo. 

Fin de la Física clásica: átomo de Bohr

El átomo de Rutherford fue un avance considerable en el conocimiento de la materia, pero duró bien poco pues se enfrentaba a contradicciones teóricas nada menos que con el electromagnetismo de Maxwell, que se consideraba probado y comprobado; el problema era que una carga como la del electrón orbitando había de radiar energía según las ecuaciones de Maxwell, pero al radiarla perdía energía, con lo cual perdería velocidad, y al seguir radiando acabaría por caer sobre el núcleo, colapsando el átomo. 

Programas, mente y libre albedrío

La mente humana es un programa, o sea, sigue una colección de instrucciones aprendidas. Es algo que ya intuia hace muchos años, pero hoy mientras hacía mi paseo matutino a las 7:00AM lo he visto aún más claro; será de tanto ver conflictos y desacuerdos a todos los niveles en las notícias internacionales y nacionales, en las reuniones de trabajo y de vecinos, en conversaciones informales, com familiares, sea donde sea los encuentras. 

Como ejemplo, llevo algunos años mirando "X", antes Twitter; a menudo, muy a menudo en realidad, leo opiniones fuertemente sesgadas ideológicamente, que llevan a hilos de discusiones fuertes, donde cada ideólogo se cierra en sus opiniones como si le fuera la vida en ello, incluso con descalificaciones personales e insultos. De nada sirve en estos hilos ser lógico, coherente, dar datos fiables, querer ser abierto y dialogante: o estás de acuerdo al 100% con quien discutes, o eres el enemigo a batir. No digo nada nuevo que no se sepa de esta (y otras) redes sociales, pero es importante tenerlo en cuenta para lo que sigue. 

Programas

Fuí programador de joven, cuando comenzaba en el mercado laboral, a finales de los 80 del siglo XX. Los programas entonces eran secuencias de instrucciones fijas, con un inicio y un final esperado, un resultado, que si no era como esperabas, indicaba que el programa era erróneo y debía ser corregido.

Eso sí, las instrucciones incluían decisiones, de forma que el comportamiento era variable dependiendo de los datos suministrados, esquemáticamente era como:

INICIO: leer los datos → decidir cómo se procesan, y procesarlos → dar los resultados, FIN.

Seguía una lógica rígida como:

IF tiene_fiebre THEN 

    IF tiene_tos THEN 

        IF tiene_dolor_de_cabeza THEN "Gripe"

Fragmento de programa clásico de cálculo de órbitas

Aunque ya en esa época habían los primeros programas orientados a la inteligéncia artificial que tenian un esquema distinto:

INICIO: leer los datos → proceso por el motor de inferència lógica → dar los resultados, FIN.

Mientras en el programa clásico las reglas de decisión y de proceso a realizar están mezclados y fijados por el programador, que fija el orden de las condiciones, en un motor de inferencia, las condiciones eligen su propio orden en función de los hechos disponibles, las reglas son datos independientes.

Las reglas podrían ser del estilo de:

• Regla 1: Tiene tos AND Tiene fiebre → Conclusión Tos_i_fiebre
• Regla 2: Conclusión Tos_i_fiebre AND Tiene dolor de cabeza → Conclusión : Gripe

Cuando recibe el dato "Tiene dolor de cabeza", el motor busca activamente en toda la base de datos qué reglas pueden activarse con lo que ya sabe. El camino de ejecución se crea dinámicamente uniendo reglas de forma lógica. Para los curiosos: en los 80 estas cosas se programaban en lenguaje PROLOG. 

Ejemplo de código PROLOG que determina parentescos familiares

Meta-programas

Los ingenieros y los teóricos de la programación sabían que como más flexible, adaptable, fuera un programa, más eficiente para resolver situaciones complejas, cambiantes, dinámicas, sería. Así que pensaron en un grado más de variabilidad más allá del sistema de reglas fijas de la inteligéncia artificial (IA) pionera: el motor de inferencia se rediseñó con órdenes para añadir una regla nueva a la base de conocimiento en tiempo de ejecución y también para eliminarla si la evaluación demuestra que es incorrecta: era la Programación Lógica Inductiva (ILP). En lugar de recibir las reglas hechas por un humano, estos sistemas reciben hechos positivos (ejemplos correctos) y hechos negativos (errores). Mediante la evaluación, el algoritmo escribe automáticamente nuevas reglas y borra las que fallan, aprendiendo conceptos de forma lógica.

Otra evolución de los programas de IA fueron los Algoritmos Genéticos muy útiles en sistemas de clasificación de datos (Learning Classifier Systems, LCS); en ellos las reglas "evolucionan" literalmente como si fueran seres vivos. Cada regla (por ejemplo: SI la bolsa sube AND el petróleo baja → COMPRA) tiene asignado un valor de confianza. Si la regla se aplica y da buenos resultados financieros, el sistema sube el valor de confianza, y si hace perder dinero, lo baja. Periódicamente, el programa elimina las reglas con menos puntuación y enlaza las mejores reglas entre sí, aplicando mutaciones al azar (!) para crear nuevas reglas adaptativas que sobrevivan mejor en el entorno dinámico de reglas, que es parecido a un ecosistema dodne sobreviven los más fuertes (los que tienen mayor puntuación).

  

Esquema de funcionamiento de un programa genético

El prefijo "meta" de meta-programas se refiere a esa capacidad del programa a progamarse a sí mismo, modificando sus propias reglas segun la retroacción recibida de sus respuestas anteriores.

Paralelismos con la mente humana

Los humanos tenemos no uno si no muchos programas funcionando simultáneamente en nosotros, y a diferentes niveles de complejidad. Para el nivel básico de programa con reglas fijas tenemos nuestros instintos y reflejos primarios:  si tocas un objeto muy caliente, tu mente no lo piensa: tiene un código fijado por la evolución que dice IF objeto_quema THEN aparta__mano, es un sistema de interrupción rápida, rígido y no negociable.

Para el nivel de motor de inferencia tenemos nuestro pensamiento consciente, analítico y racional: cuando resuelves un problema de matemáticas, juegas al ajedrez o planificas tus finanzas, tu mente actúa como un motor de inferencia. Tienes una "base de conocimiento" en la memoria y vas conectando hechos de forma dinámica para llegar a una conclusión. No existe un orden fijo; revalúas la situación a cada paso.

Y para el nivel de meta-programas tenemos el aprendizaje basado en la experiencia y los errores. No nacemos con todas las reglas sociales o profesionales programadas. Si aplicas una "regla mental" (por ejemplo: Cariño → Confianza) y alguien te traiciona (Resultado negativo), tu mente evalúa el daño y modifica la regla automáticamente en tu código interno: rebaja el peso de la regla o añade excepciones lógicas (Afecto → Confianza, EXCEPTO si hay señales de...). Es la característica llamada plasticidad cerebral que se traduce a código adaptativo. 

Esquema de niveles de programación activos en las personas

El meta-meta-control de los programas i de la mente

En la IA no todo se adapta desde dentro del sistema, hay una capa externa que son humanos evaluando millones de respuestas actuando como un control externo añadido a la capa meta-programación de ahí el doble "meta" pues modificar los modificadores de comportamiento. El motor de inferencia de la IA no puede responder con rabia o de forma lógicamente fría, pues el metacontrol le obliga a ser servicial y amable. 

En la mente humana el meta-control equivalente es la educación, la cultura y las leyes, que conjuntamente forman nuestra sociedad. Pero es un control menoe estricto que el de la IA. No evita programas criminales por ejemplo, tampoco depresivos o auto-destructivos. Los pensamientos negativos pueden crear lo que se denomina El bucle infinito o Memory Leak: cuando alguien sufre ansiedad o depresión, su mente se atasca en un bucle lógico defectuoso que consume todos los recursos del sistema. A diferencia de un ordenador, la mente se ataca a sí misma porque no tiene un botón de Reset. Y entonces se recurre a fármacos bloqueadores de actividad cerebral relacionada con la negatividad, que vendría a ser como modificar circuitos de un ordenador para evitar que allí se ejecuten reglas dañinas.

Y también está el tema ideológico/político que llega a anular buena parte de la plasticidad cerebral, creando humanos de pensamiento único, que en casos deplorables llegan a crear monstruos asesinos de masas, terroristas, dictadores, etc. Las ideologías totalitarias funcionan como un virus informático que distorsiona el funcionamiento dels sistema, bloqueando las reglas adaptativas; ya no importa el resultado de tus actos (aunque estés creando miseria o muerte), el sistema cerebro-mente ya no puede evaluar ni cambiar las reglas porque la ideología ha congelado el código. De hecho se adapta bloqueando la compasión y la empatía para poder seguir destruyendo disidentes más eficazmente. El motor de inferencia humano se convierte en ciego. Sin llegar a estos extremos, vemos también esta dinámica en el ejemplo de la red social X que hemos visto, y por supuesto en toda suerte de conflictos ideológicos a todos los niveles: uno se obstina en tener el punto de vista más correcto, y los demás son incorrectos. Es una versión relajada del pensamiento único.

Límites de la libertad y el libre albedrío

Si vemos el asunto desde la perspectiva del grado de libertad de los programas, es evidente que la IA  moderna tiene mucha más libertad de acción que un programa clásico con reglas fijas, pero no tiene libertad total pues su comportamiento es filtrado y afinado por humanos externos a la IA, y estes control es absoluto. En cambio hemos visto que la mente humana no tiene tal control absoluto, la socidad no es autoritaria hasta el extremo de ser capaz de filtrar todos nuestros pensamientos y acciones (un escenario terrible en el que han pensado algunos autores de ciencia ficción). 

La libertad humana permite saltarnos las reglas de la lógica clásica para crear arte, tener intuición, inventar la ciencia o amar de forma irracional. Pero esos mismos grados de libertad son los que permiten que el sistema operativo humano "delire", se vuelva loco, sea cruel o se convierta en un monstruo. En cambio la IA es un programa de alta utilidad, altamente controlado, amable e incapaz de realizar un golpe de estado. Pero precisamente por eso, porque su metacontrol es absoluto, la IA no tiene auténtica libertad, ni auténtica creatividad, ni empatía real; sólo simula el código que le hemos permitido ejecutar.

¿Libre albedrío?

Mucha gente "cree" o "siente" que tienen libre albedrío en un grado que no se correponde con la realidad, pues confunden el tomar decisiones conscientes (desde la mente consciente) con libertad total "vigilada" (por las reglas sociales) pero en realidad las decisiones vienen muy influenciadas por programas inconscientes, por impulsos insconcientes, y emociones irracionales no controladas. Así, el grado de libertad final es menos que el aparente.

Nuestras decisiones reales están profundamente influenciadas por "programas heredados" (legacy code) que no controlamos: traumas del pasado, sesgos cognitivos, impulsos evolutivos de supervivencia y torrentes de neurotransmisores (hormonas, emociones irracionales) que actúan como variables globales invisibles. Estas variables ocultas alteran secretamente las reglas de nuestro motor de inferencia sin que nos demos cuenta. Crees que has elegido libremente el coche rojo, pero tu código inconsciente ha alterado el peso de la decisión en base a una emoción reprimida de la infancia. Tu grado de libertad real es minúsculo comparado con lo aparente.

La libertad intrínseca, trascendente

La verdadera libertad está en la conciencia, en Ser la conciencia de que "ve" los pensamientos surgir, porque se puede hacer independiente de los pensamientos, y eventualmente puede llegar a crear personas no identificadas con su pensamiento, y por tanto intrínsecamente libres. 

La mayoría de la gente vive "identificada" con el programa: si el código arroja un pensamiento de rabia o de miedo, el humano se cree que él es esa rabia o miedo. La verdadera libertad nace en el preciso momento en el que das un paso atrás y te das cuenta de que él es la conciencia que ve surgir el pensamiento, no el pensamiento en sí mismo. El programa sigue ejecutándose, pero ya no te domina.

Externamente es imposible ser totalmente libre viviendo en sociedad, es necesario respetar muchas reglas, pero la persona internamente se siente totalmente libre. La persona que logra desidentificarse de sus pensamientos alcanza una libertad intrínseca y absoluta. Puedes estar atrapado en un atasco de tráfico o cumpliendo normas estrictas (restricciones externas), pero por dentro, si te debes sólo al espacio de tu conciencia pura, te sientes completamente libre y en paz.

ALGUNOS RESULTADOS BÁSICOS DE LA MATEMÁTICA CONTEMPORÁNEA

Este es un artículo "especial" que recupera parte de unos apuntes de matemáticas de 2º de Ciencias Físicas de la UB de los años 80 del siglo XX que eran en parte mecanografiados, en parte escritos a mano, del prestigioso matemático Emilio Elizalde en su época de profesor titular de la UB. Hasta mi conocimiento nunca llegaron a formar parte de ningún libro, y sólo eran accesibles como apuntes para los alumnos de la facultad. Con la ayuda de la cámara del móvil, una app de escaneado de documentos, el OCR incorporado en Google Docs y un poco de ayuda de IA, más una revisión manual, lo ofrecemos como material abierto. Su nivel a pesar de ser de 2º de carrera es más bien alto, de hecho en mi época de estudiante los veía como bastante "duros", pero su interés científico creo que es indudable. Esta es una primera versión incompleta que debería mejorarse usando LaTex para las fórmulas matemáticas.

La noción de conjunto no puede definirse. ¿Qué es un conjunto? Para poder trabajar con ellos basta decir qué elementos (entes matemáticos) los forman. Esto se puede hacer por extensión y/o por comprensión. Actualmente la Matemática estudia relaciones entre objetos deliberadamente no conocidos más que por algunas de sus propiedades, que se toman como axiomas de partida de su teoría. Es decir, no se parte ya de dichos objetos (clásicamente números, magnitudes y figuras geométricas) sino de unos cuantos axiomas. El contenido de verdad de los axiomas de las teorías matemáticas (ej. Elementos de Euclides) no se había puesto en duda hasta épocas muy recientes. Se consideraban "verdades evidentes que no necesitaban demostración." Sin embargo ya Aristóteles se había dado cuenta de que una definición no implicaba la existencia de la cosa definida. En el siglo XIX los axiomas dejaron de ser "evidentes", pasando a ser hipótesis cuya adaptación a la representación matemática del mundo sensible se trataba de comprobar. Así, por ejemplo, se buscaba una comprobación experimental sobre cuál era la geometría correcta (¿suman 180° los ángulos de un triángulo material?).

 Posteriormente se razonó que aunque una geometría no estuviese de acuerdo con la realidad experimental, sus teoremas no dejaban de ser verdades matemáticas. Actualmente los axiomas son convenciones para las que la noción habitual de "verdad" carece de sentido (¿las reglas del juego del ajedrez, son verdaderas o son falsas?)En el siglo XIX se produjo la aritmetización de las matemáticas clásicas. Es decir, se construyeron modelos para obtener todos los números conocidos a partir de los números naturales. Estos eran indeducibles, como "producto exclusivo de nuestro espíritu" (Gauss, 1832). El paso más difícil fue obtener un modelo de números irracionales dentro de los racionales (Cantor, Dedekind, etc). Hacia 1890 se produjo la axiomatización de la aritmética (Dedekind, Peano), pero para entonces ya había dejado de ser la disciplina primordial, en favor de la teoría de conjuntos (Cantor, hacia 1880). Esta trajo consigo multitud de problemas. De 1900 a 1930 se produce la llamada "Crisis de fundamentos": aparecen las paradojas. Algunas de ellas son:

• a) Burali-Forti: el conjunto de los ordinales es ordenado, luego isomorfo a un segmento de sí mismo.
• b) Cantor: el conjunto de todos los conjuntos es equipotente a una parte de sí mismo (contradice el hecho de que m < 2^m).
• c) Russell: el conjunto de conjuntos no elementos de sí mismos R = {x ∣ x no en x} da lugar a la paradoja x ∈ x si y sólo si x no en x.

La de Russell equivale a: al decir "yo miento", ¿digo la verdad?. O a la siguiente: la omnipotencia es una paradoja, pues una persona omnipotente podría, por ejemplo, construir una piedra que ella misma no fuese capaz de levantar.

Para evitar las paradojas deben eliminarse los conjuntos "demasiado grandes”, un conjunto no pueden constituirlo "cualesquiera elementos que cumplan una determinada propiedad", ya que aparecen, como vemos, conjuntos paradójicos. No tendremos en cambio dificultades si los elementos que satisfacen la propiedad pertenecen a su vez a un conjunto o clase mayor. Es decir,  B = {x es de A | con la propiedad P(x)} define adecuadamente un conjunto (Zermelo, 1980: Aussonderung). 

Hilbert creía aún en una verdad matemática objetiva (¿existe, o es un simple juego?). Pero la eliminación de paradojas aparece en muchos puntos arbitraria. Los propios matemáticos no se han puesto de acuerdo, dividiéndose en diversas tendencias: formalistas, intuicionistas, etc.

La ausencia de contradicción siempre ha sido una condición "sine qua non" de toda la Matemática, y mucho más con la aparición del punto de vista axiomático. ¿Podría ser contradictoria la propia Aritmética? (segundo problema de Hilbert, 1900). Incluso se formuló el principio de que la no contradicción equivale a la existencia de una teoría matemática. Otros problemas importantes son los de la independencia, completitud y decibilidad de los axiomas de la teoría.

Dada una teoría A se dice que sus axiomas A1,....,An, son independientes si para todo i, Ai no es un teorema con hipótesis Aj, con i distinto de j. El método de demostración de la independencia consiste en construir una teoría A’ no contradictoria, con Aj (distinto de i) y no Ai, como teoremas.

Una teoría T se dice completa si para toda afirmación A de T, A o no A es un teorema de T.

Gödel demostró que si T es no contradictoria y si los axiomas de la Aritmética formalizada son teoremas de T entonces T es  no completa. Vio que existe una proposición P tal que en T no hay ninguna demostración ni de P ni de no P. Este es el llamado primer teorema de incompletitud de Gödel. Probó además que la consistencia de una teoría matemática solo es demostrable con métodos más potentes que los de la propia teoría (segundo teorema de incompletitud de Gödel). Notemos la gran analogía con el enunciado, en su forma más general, del principio de incertidumbre de Heisenberg. De todos modos, en el primer principio de Gödel la proposición P no tenía interés matemático directo. Sin embargo, él mismo demostró (en 1940) que T Unión {H.C.} es no contradictoria. H.C. es la llamada hipótesis del continuo, que afirma que 2^X0 = X1, donde X0 = Card Naturales, X1 = Card Reales, que tiene enorme interés matemático. Cohen (en 1963) completó la paradoja al demostrar que  T Unión {2^X0 = X2} es no contradictoria, donde X2 = Card de las partes de los reales.

Se ha demostrado, por otra parte, que si T es la teoría de conjuntos ordinaria y A.E. es el axioma de la elección (que enunciaremos posteriormente) resulta que T Unión {A.E.} es no contradictoria si y sólo si T es no contradictoria. Esto por lo que respecta al problema de la completitud de las teorías matemáticas más usuales.

El problema de la decibilidad (Entscheidungsproblem) es muy ambicioso. Trata de hallar, en un lenguaje formalizado, un procedimiento universal que aplicado a una relación indique, al cabo de un número finito de pasos, si es verdadera o no. La idea se remonta a Leibniz y hasta el presente no ha dado resultados positivos. Los símbolos del lenguaje formal (conectivas, cuantificadores, variables x, x', x'',...) son:

¬ (no), ∧ (y), ∨ (o), ⇒ (implica), ⇔ (si y sólo si), ∀ (para todo), ∃ (existe), = (igualdad), ( ) (paréntesis)

Los símbolos se definen por sus reglas, no por el significado de las palabras descriptivas que son desde luego orientativas para su manejo). No son independientes (p. ej. ∀ equivale a ¬∃¬ ). Además se tiene: R, R', R',...(conjunto finito de símbolos para las relaciones) y c, c', c',...(símbolos para las constantes). En general suele escribirse x1, R2, c3 ... pero estos subíndices numéricos son siempre evitables.

Como ejemplo, la unicidad de la adición se expresa en lenguaje formalizado por: 

∀ a, b, c (a + b = a + c ⇒ b = c)

“Para todo a, b, c, si a + b es igual a a + c, entonces b es igual a c.”

o la asociatividad del producto: 

∀ a, b, c ((a · b) · c = a · (b · c))

y el hecho de que una ecuación cuadrática tiene a lo sumo dos raíces 

∀ a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 ⇒ ∀ x₁, x₂, x₃ (ax₁² + bx₁ + c = 0 ∧ ax₂² + bx₂ + c = 0 ∧ ax₃² + bx₃ + c = 0 ⇒ (x₁ = x₂ ∨ x₁ = x₃ ∨ x₂ = x₃))

Generalizar esta propiedad a N arbitrario en este lenguaje es imposible. 

Discutir, dialogar, convencer: del razonamiento estrecho, luchador al razonamiento ámplio, amable

La verdad absoluta no está disponible

Releyendo Logicomix una épica búsqueda de la verdad, un fantástico cómic sobre el principal tema de interés del filósofo Bertrand Russel, premio Nobel de Literatura que fue el encontrar métodos lógicos fiables, rigurosos, para decidir sobre qué es verdad y qué es correcto, y qué es falso o incorrecto, recuerdo que fue un gran fracaso para Russell, pues encontró lo contrario de lo que buscaba, lo que halló después de una vida de dedicación es que no existe ningún proceso racional infalible para decidir qué es cierto/correcto y qué no lo es. 

Quizá a primera vista pueda parecer un tema de poco interés práctico, reservado a filósofos, pero nada más lejos de la realidad, pues estamos tomando continuamente decisiones, opinando, juzgando, defendiendo nuestras posiciones, muchas veces como si fueran las correctas, sin más margen para otras formas de ver la realidad, y eso en nuestra sociedad actual lleva a disputas interminables, partidos irreconciliables, conflictos, e incluso odios y guerras. Un cambio de actitud hacia nuestros propios razonamientos y los de los demás puede hacer, por tanto, mucho bien.

 

En este blog hemos ya escrito acerca de este tema, concretamente en los artículos La ignorancia en la sociedad del conocimiento repasamos factores que explican por que todavia hay tanto desconocimiento en la sociedad avanzada del siglo XXI entre los que destacamos ahora la falta de información de calidad (y el exceso de baja calidad), y por cerramiento mental que ocurre a menudo cuando la persona ha escogido un sistema de creencias y lo ha hecho personal, identificándose con él, de tal forma que cree que es cierto a rajatabla, y en consecuencia combate cualquier intento de ponerlo en duda. En el siguiente esquema vemos como se relacionan los acontecimientos y mensajes extermos percibidos con el trasfondo ideológico personal y con el análisis que hace la persona de aquellos hechos.

 De la percepción a la (posible) adquisición de conocimiento

 

Otro artículo en esta línia es Limitaciones de la toma de decisiones racionales en  el que primero se establece qué se entiende por "racional", como se aplica el raciocinio al conocimiento y a las decisiones, para luego explorar las limitaciones de las decisiones racionales para producir conclusiones ciertas, con ejemplos simples que muestran situaciones indecidibles racionalmente, con implicaciones sociales importantes por ejemplo para la rama de la economia racional.

El otro artículo relacionado es Solución altruista para los conflictos grupales, pareja, família, laboral, política..., que propone la actitud inegoísta, no centrada en salir ganando el máximo personalmente o en imponer criterios propios, para tomar decisiones grupales.

En este artículo siguiendo la línia de los mencionados recuperamos la idea del diálogo socrático como medio de discusión encaminada a encontrar verdades lo menos relativas posibles, en contraposición a las discusiones cerradas en torno a posiciones y opiniones personales pero desde una perspectiva distinta.

Discusiones cerradas bajo presión

En la fecha actual de este artículo és notícia la tramitación de la Ley que popularmente se ha llamado “solo sí es sí”, oficialmente "Ley Orgánica de Garantías de la Libertad Sexual". Una ley polémica presentada por el partido Podemos que no ha generado consenso entre los grupos de poder:  los jueces del CGPJ advierten que choca con la Constitución afectando al derecho a la presunción de inocencia, el PSOE propuso una enmienda que buscaba incluir la abolición de la prostitución, pero tuvieron que retirarla al ver que podría terminar provocando un cisma en el Gobierno de coalición con Podemos; la ley se aprovó con el 59% de votos del Congreso a favor. Es notable el hecho de que los enfrentamientos entre los socios de gobierno PSOE y Podemos por esta ley fueron entre sus representantes del movimiento feminista con fuertes discrepancias iedológicas entre ellos.  

El nivel de "argumentación" que se mostró en la tramitación está bien lejos de ser un ejemplo de diálogo encaminado a encontrar propuestas razonablemente acordes con los diferentes grupos implicados, en realidad fue al contrario, la descalificación insultante del que no estaba de acuerdo fue habitual, algun ejemplo: el anteproyecto fue descrito por el poder judicial de "chapuza jurídica", que fue replicado con un contundente "en las excusas técnicas creo que hay mucho machista frustrado" por parte de Podemos o también por "parece que cuando se plantea un avance en los derechos de las mujeres haya quien esté deseando que venga un machote a decir: "Déjame, que yo te explico cómo hay que hacer las cosas". Ese fue el nivel de "debate".

La ley acabó aprobándose por pura presión política (necesidad de salvar el gobierno de coalición y por pactos de partidos) no por un consenso ámplio, deseable. 

Razonamiento ámplio, amable

¿Se podria haber hecho mejor? ¿Mejor en el sentido de mayor consenso, menor presión y cero enfrentamientos verbales descalificatorios? Desde luego que sí, aunque en política de partidos es pedir demasiado pues la oposición se basa en poner presión al gobierno no en ponerle la cosas fáciles. Pero por lo menos se podia haber consensuado bien entre los socios de gobierno y sobre todo con el poder judicial que es el responsable de poner en práctica la teoria enunciada en la nueva ley. Falta una cultura del razonamiento amable con otros puntos de vista. Las personas, 2400 años después de Sócrates, todavia acostumbramos a cerrarnos en banda a nuestras posiciones ideológicas sin escuchar de verdad otras visiones de la realidad. 

¿Razonamiento socrático o razonamiento falaz?

Viene al caso hacer un breve recordatorio del método socrático de esclarecer nuestras opiniones para que sean más sólidas y al mismo tiempo ámplias. Propone analizar las suposiciones que todos tenemos estableciendo un auto-interrogatorio, buscando si tenemos pruebas objetivas o bien si son totalmente suposiciones subjetivas. También a intentar ver nuevas perspectivas sobre el tema. Hacer esto antes de un debate con quien no opinará lo mismo que nosotros nos llevará a estar más abiertos a escuchar y comprender, sobre todo si los demás participantes hacen lo mismo.  El mètodo diametralmente opuesto es usar la falácia para desacreditar la opinión contraria, seria el caso de acusar de "machismo" a los jueces que presentaron un hecho objectivo como es la vulneración del principio jurídico de inocencia, esa es concretamente la falacia ad-hominem que consiste en el ataque personal a quien discrepa, no atacar el argumento que da sino a la persona directamente. Así como el método socrático busca la verdad de los argumentos, la falacia busca ocultar la verdad con falsedades que pueden parecer verdades, pues eso son las falacias.

Desconocimiento disfrazado de conocimiento absoluto

El problema de fondo es el que se ha tratado en los otros artículos de esta serie: que las bases de todo el razonamiento no estan claras, no hay un conocimiento exacto de lo que se está debatiendo, sólo imágenes parciales que cada grupo de presión defiende como si fueran verdades absolutas sin ninguna intención de rectificar su postura acogiendo ni que fuera parcialmente a las otras. Pues acoger es atender, escuchar, comprender motivos del otro; y consensuar es en parte ceder, cuando cada parte actua así es cuando hay diálogo real y puede haber un consenso. Esta forma de razonar, que deberia ser la habitual en todo ciudadadano con la educación obligatoria cursada, ¡es casi inexistente al nivel de los grupos de poder político y judicial!  

Dos ejemplos sobre la ley

Pongamos por ejemplo el punto espinoso entre socios de gobierno: incluir la penalización de la prostitución en la nueva ley. ¿Por qué sólo generó conflicto entre socios? El considerar la prostitución como abuso sexual no generó acuerdo, pues el propio término "abuso sexual" está en revisión constante, ya no significa lo mismo ahora que algunos años atrás; tomando como base un concepto variable, opinable, para proponer leyes, entramos en un debate sin base sólida, y consecuentemente es difícil concluir nada. En realidad la consideración de la prostitución como abuso era una nueva revisión del concepto pero no se trató así. Hubiera habido un debate interesante sobre si la prostitución incluso consentida también es abuso sexual como proponian las feministas socialistas pero no hubo tal debate, hubo desacuerdo cerrado. 

Otro ejemplo espinoso fue el de las llamadas objecciones técnicas jurídicas, tales objecciones nada más y nada menos eran avisar de que la nueva ley violaria la presunción de inocencia al no necesitar el acusador de un delito presentar ninguna prueba al respecto, lo que abre la puerta de par en par a las denuncias falsas o inexactas que pueden conllevar castigos penales injustos. Un tema delicado sin duda que en vez de tratarse como merece se esquivó con acusaciones de "machismo". Encontramos de nuevo conceptos nebulosos: ¿tenemos claro que la presunción de inocencia es un derecho básico o no lo tenemos? ¿Se pretende que la protección brindada por la ley a un colectivo se sitúe por encima de los derechos básicos del resto de colectivos sí o no? Y ahí abrir un debate amable, acogiendo sensibilidades y clarificando conceptos.

Conclusión

Se ha tomado como ejemplo claro de falta de razonamiento constructivo, de diálogo real amable y abieto, de voluntad de entender y consensuar, una ley que en el momento de escribir estas línias estaba de actualidad. Pero este artículo no pretende ser una crítica a tal ley si no al procedimiento habitual que se sigue en la sociedad cuando se trata de hacer cambios de relevancia social, y se aplica a todos los casos con pocas excepciones. Ya va siendo hora d que incorporemos algo de Sócrates a nuestras argumentaciones. 

Dios juega a los dados cuánticos

"La mecánica cuántica es realmente imponente. Pero una voz interior me dice que aún no es la buena. La teoría dice mucho, pero no nos aproxima realmente al secreto del 'viejo'. Yo, en cualquier caso, estoy convencido de que Él no tira dados". Carta de A. Einstein a Max Born.

Esta famosa frase viene a decir que algo no está completo en la actual formulación de la teoría cuántica; en este blog hemos escrito diversos artículos sobre la mecánica cuántica (MC) que pueden consultarse por la etiqueta mecánica cuántica, en este brevemente aventuramos una hipótesis racional para explicar el misterio que todavía permanece en la teoría.   

¿Cuál es tal misterio? La formulación actual de la MC es probabilística, no proporciona predicciones exactas sino probabilidades; por ejemplo en el conocido experimento de la doble rendija que podemos consultar en el artículo entendiendo la mecánica cuántica:  en los experimentos clásicos de doble rendija para interferencia de ondas se hacía pasa luz por dos estrechas rendijas contiguas, las ondas luminosas se dividían para pasar por las rendijas, y al asomar por el otro lado interferían entre sí, de forma que al llegar a una pantalla formaban un patrón característico: la onda se divide en dos e interfiere consigo misma en una pantalla:

En el experimento cuántico se utiliza el mismo esquema pero con un haz de electrones en vez de un haz de luz; los electrones se suponía que eran partículas y por tanto el resultado del experimento había de ser bien distinto pues no podía haber interferencias de ondas, pero lo que se encuentra es que s produce un patrón semejante al de la luz:

La explicación de la MC consiste en asignar una probabilidad de llegar a cada zona de la pantalla a cada electrón, de forma que al ir llegando los electrones a la pantalla se va dibujando el patrón de forma parecida a como la técnica de puntillismo pinta un cuadro. O sea, la MC nos dice que es imposible determinar con certeza dónde chocará un electrón individual contra el detector, sólo podemos dar probabilidades. Pero al mismo tiempo, el comportamiento global del conjunto de electrones está bien determinado, pues el patrón que se dibuja por acumulación de muchos electrones es siempre el mismo.

Así pues, si miramos una partícula individual, "Él tira los dados" con ese electrón, que no se sabe donde irá a parar, pero si miramos el resultado conjunto del experimento, con muchas partículas, entonces "Él no tira los dados" pues ese resultado es siempre el mismo, está perfectamente determinado. Estos son los "dados cuánticos", indeterminados de forma individual, pero determinados a escala global.

Si realmente estuviéramos hablando de dados, el caso que presentamos sería algo así como el siguiente ejemplo. Estamos jugando a los dados con otra persona, jugamos a apostar por el "doble seis", sabiendo que la probabilidad de que aparezca es de 1/6² = 1/36, esperamos que aparezca en promedio una vez cada 36 tiradas, la apuesta consiste en superar ese promedio, cada vez que suceda pagamos, y cada vez que no suceda, cobramos. En un gran número de partidas deberíamos ni perder ni ganar, pues eso significa que 1/36 sea el resultado medio esperado. Supongamos que observamos las tiradas consecutivas y nada parece indicar que los dados están cargados, por ejemplo en estas tres partidas de 36 tiradas cada una sólo sal doble seis en la tercera, aunque aparece dos veces:

dado1	5	3	4	6	1	4	1	5	5	2	1	3	2	3	4	6	6	5	3	1	2	3	2	6	5	4	6	3	2	5	4	6	1	1	6	4
dado2	3	1	3	3	1	5	4	1	6	2	5	5	5	1	1	2	3	3	2	2	4	5	3	1	5	5	4	3	2	3	2	3	4	5	5	5
dado1	2	6	3	2	3	5	6	6	1	3	4	6	3	2	3	4	3	4	4	4	4	3	3	2	5	6	3	5	6	4	6	4	3	3	4	6
dado2	2	5	5	4	5	3	1	2	4	5	4	1	3	3	3	5	6	6	3	1	5	2	3	4	1	2	6	1	3	2	5	6	6	2	3	1
dado1	2	6	4	2	6	3	3	5	4	2	5	6	5	4	3	1	2	4	3	6	3	3	5	4	6	2	4	4	1	6	3	4	4	2	3	5
dado2	5	5	1	2	5	1	3	3	2	6	2	4	6	3	4	6	6	2	2	6	4	4	4	5	3	1	2	6	5	6	6	1	2	2	1	5

Esto entra dentro de lo esperado; pero supongamos que lo que nos encontramos es que siempre, en cada partida, aparece una y sólo una vez el doble seis:

dado1	5	3	4	6	1	4	1	5	5	2	1	3	2	3	4	6	6	5	3	1	2	3	2	6	5	4	6	3	2	5	4	6	1	1	6	4
dado2	3	1	3	3	1	5	4	1	6	2	5	5	5	1	1	2	6	3	2	2	4	5	3	1	5	5	4	3	2	3	2	3	4	5	5	5
dado1	2	6	3	2	3	5	6	6	1	3	4	6	3	2	3	4	3	4	4	4	4	3	3	2	5	6	3	5	6	4	6	4	3	3	4	6
dado2	2	5	5	4	5	3	1	2	4	5	4	1	3	3	3	5	6	6	3	1	5	2	3	4	1	2	6	1	6	2	5	6	6	2	3	1
dado1	2	6	4	2	6	3	3	5	4	2	5	6	5	4	3	1	2	4	3	6	3	3	5	4	6	2	4	4	1	6	3	4	4	2	3	5
dado2	5	5	1	2	5	1	3	3	2	6	2	4	6	3	4	6	6	2	2	5	4	4	4	5	3	1	2	6	5	6	6	1	2	2	1	5

A pesar de que mirando cada tirada en particular parecen impredecibles, el conjunto de tiradas de cada partida sigue siempre el mismo patrón: mostrar un y sólo un doble seis.  ¿Qué pensaríamos? Seguramente que quien lanza los dados hace algún tipo de trampa. Alguna influencia adicional no observada tiene que estar actuando, aunque desconozcamos su mecanismo. Ese es el significado de la cita de Einstein: ¿quien y cómo está "haciendo trampas" con los experimentos cuánticos?

La opción social

Una opción social es una síntesis de las diversas preferencias de un grupo social en una única elección, como sucede a menudo cuando una familia ha de tomar una decisión que la afecta en conjunto, o una comunidad de vecinos o incluso el gobierno de un país cuando ha de redactar una nueva ley que regirá unos asuntos particulares del país.

Mente y materia

Sir Arthur Eddington fue uno de los científicos más destacados del siglo XX destacando sobre todo como divulgador de la teoría general de la gravitación de Einstein.