Elegante = verdadero

Frecuentemente los matemáticos y los físicos se guían por su intuición al enunciar y probar teorías; dicha intuición suele tener en cuenta propiedades aparentemente "inmateriales" como la elegancia y la belleza. ¿Por qué? 

Elegancia y belleza matemática

Platón afirmaba que la belleza debía de estar al servicio del conocimiento y del bien. Hoy en día los matemáticos y los físicos afirman que la “elegancia” de una teoría puede proporcionarles un indicio de su exactitud. Entendemos por elegancia el atributo de ser excepcionalmente eficaz y sencillo a la vez.
A este respecto recuerdo mi primer día de clase de la asignatura de Electromagnetismo en segundo de carrera (ya hace un montón de años), cuando el catedrático escribió las ecuaciones de Maxwell en la pizarra,

 

y acto seguido dijo “estas ecuaciones explican todos los fenómenos eléctricos, magnéticos y electromagnéticos, las ondas de radio, la luz, la radiación, todo. En el resto del curso nos dedicaremos exclusivamente a estudiar sus implicaciones”. Me impresionó tanta información de tanta importancia condensada en tan poco espacio y, además, expresada de una forma que permite hacer deducciones prácticas. A mi modo de ver, estas impresiones coinciden bastante con la definición de elegancia dada arriba: eficaz y simple. Además, presentan una evidente simetría, una alternancia entre los campos E y B.

Otra ecuación con numerosos adeptos en cuanto a su elegancia es la identidad de Euler,

que reúne en forma muy breve y simple, de forma sorprendente, a cinco valores importantes de las matemáticas, el número pi, el número de Euler, el número imaginario i, la unidad y el cero.

La percepción de la "belleza" a menudo implica la interpretación de alguna ecuación o ley de la naturaleza que produce sentimientos de atracción y bienestar emocional. En la mentes de los matemáticos, esta percepción parece estar relacionada con la elegancia: su eficacia y su modo directo de expresar una verdad universal.

Veamos a continuación dos corrientes de pensamiento acerca del  origen de la sensación de belleza y elegancia en las teorías científicas, particularmente en las matemáticas y la física: la platónica y la enunciada por las ciencias cognitivas.

Los platónicos

Sostienen que las verdades matemáticas son necesariamente existentes de forma independiente de la mente humana, lo que hacen los matemáticos es descubrir verdades que ya estaban ahí, independientemente de si hay o no alguien para hacerlo. La intuición matemática sería una "inspiración" que nos conecta con esa realidad pre-existente. No me extenderé más sobre esta corriente de opinión pues ya lo hice en otro artículo reciente: los fundamentos de la matemática, !no están fundamentados!,  al cual me remito. 

Sí añadiré que muchos matemáticos son platónicos incluso sin ser conscientes de ello: basta con fijarse en cuantos de ellos al hablar se expresan en términos de "descubrimientos". Por ejemplo, la identidad de Euler, ¿fue descubierta?  Responder sí implica aceptar que ya existía de antemano, pero era desconocida hasta que Euler la descubrió, y eso es platonismo matemático. Un buen artículo al respecto es Las verdades matemáticas, ¿se inventan o se descubren?, en el blog PsicoGeek.

Belleza y verdad en las ciencias cognitivas

En el otro extremo de opinión, por así decirlo, se sitúa la neurología, que busca explicaciones fisiológicas a todos los aspectos de la mente, incluso a aquellos más "espirituales" como la percepción de la belleza y de la verdad.

Investigadores de la Universidad de Michigan publicaron, en el 2004, una teoría de la sensación estética: afirma que nos parecen más bellas las obras de arte o piezas musicales cuando son fáciles de percibir. Posteriormente investigadores de la Universidad de Basilea mostraron que cuando el procesamiento mental de una afirmación es inesperadamente sencillo se incrementa la sensación de que dicha afirmación debe de ser cierta.

En la Universidad de Bergen han aplicado esta teoría a la intuición matemática, presentando problemas de aritmética simples a estudiantes de matemáticas en la forma de patrones de puntos, algunos expresaban verdades y otros falsedades:

Para cada suma de puntos sólo tenían dos segundos, así que no podían contar. Como resultado, las ecuaciones con simetría en los puntos (la suma superior de la figura) se consideraban con más frecuencia correctas aún siendo falsas. En el ejemplo, la igualdad simétrica es falsa, y la asimétrica verdadera. 

Según estos investigadores estos experimentos aportan indicios de la relación  entre elegancia y verdad matemática en la mente. El cerebro cuando ha de tomar decisiones prefiere aquellas alternativas que puede comprender con más facilidad, que también es aquella en la que las diferentes partes parecen encajar mejor. Esto proporciona sensaciones positivas: se experimenta la belleza como resultado de la facilidad de percepción.

Conclusiones

Parece fundamentada la afirmación de que la simetría está relacionada con la facilidad de percepción y comprensión, y a su vez con el sentimiento de elegancia, de forma que puede tener un papel en la intuición matemática. Aunque también es cierto que los teoremas científicos son mucho más complicados que los simples patrones de puntos usados por los investigadores, de forma que hay que afinar mucho más los experimentos. Por otra parte, la pregunta "¿el número pi fue descubierto o fue inventado?" sigue sin tener una respuesta última. De momento deberán de seguir coexistiendo platónicos y no-platónicos. 

Bibliografía

• Mente y cerebro, Investigación y Ciencia, nº 42/2010

La conjetura de Hodge para “dummies”

Introducción

La conjetura de Hodge es una de los llamados “problemas del milenio” propuestos por el Clay Mathematics Institute, cada uno de los cuales está premiado con un millón de dólares para el investigador que los resuelva. En general para el no iniciado no es fácil entender los enunciados de estos problemas, de hecho lo más común es no entender en absoluto lo que se pide. Éste suele ser el caso de la conjetura de Hodge , y es así incluso para matemáticos profesionales que no están trabajando en el campo de la topología algebraica. En este sentido se han realizado charlas y presentaciones para mostrar el sentido de la conjetura al público no especializado. En éste artículo intento mostrar el significado y utilidad práctica de la conjetura para los lectores no matemáticos pero interesados en la ciencia. Evidentemente un conocimiento de matemáticas en general a nivel universitario será de gran ayuda.

Este artículo se presenta al Carnaval de Matemáticas edición 2.8, que está alojado en el bloc Ciencia Conjunta. A continuación traduzco la descripción oficial del problema, ligeramente retocada. En lo que sigue definiremos los conceptos básicos necesarios para entender el significado y la importancia de esta conjetura. Empezaremos por las definiciones de geometrías y espacios no euclídeos, siguiendo con las construcciones matemáticas llamadas variedades.

Descripción oficial

En el siglo XX los matemáticos descubrieron técnicas muy generales para investigar las formas de objetos complicados en espacios abstractos. La idea básica es preguntar en qué medida podemos aproximar la forma de un objeto dado construyéndolo a partir de bloques simples de dimensión cada vez mayor. Esta técnica resultó ser tan útil que tiene muchas generalizaciones diferentes, llevando eventualmente a potentes herramientas que han permitido hacer a los matemáticos grandes progresos en la catalogación de la variedad de objetos que encontraron en sus investigaciones. Desafortunadamente, los orígenes geométricos del procedimiento, más intuitivos,  se oscurecieron en esta generalización. En cierto sentido, era necesario añadir bloques que no tenían ninguna interpretación geométrica.

La conjetura de Hodge afirma que para los tipos especialmente útiles de  espacios llamados variedades algebraicas proyectivas, los “bloques de construcción“ llamados ciclos de Hodge son en realidad  combinaciones (racionales lineales) de otros bloques geométricos llamadas ciclos algebraicos. Veamos que significa esto y que aplicaciones tiene.

Geometrías no euclídeas
La geometría euclídea es la que aprendemos en la escuela, la más intuitiva; sus principios rectores fueron postulados por Euclídes en su tratado Elementos.

En el siglo XIX se empezó a pensar en la posibilidad de postular geometrías alternativas que no cumplieran todos los postulados de Euclides. Por ejemplo el quinto postulado afirma que si una recta corta a otras dos con  ángulos internos cuya suma sea menor que 180 grados entonces esas dos rectas prolongadas se cortan. Negando ese postulado pero manteniendo los otros cuatro se llega a las geometrías hiperbólicas.

Veamos otra geometría no euclídea: de los postulados de Eucĺides se deduce que las posiciones relativas de dos rectas no coincidentes y sus puntos de corte pueden ser de dos formas posibles:

          

La geometría proyectiva en cambio enuncia que todo par de rectas se cortan en un punto: define el punto del infinito, de forma que cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en ese punto del infinito. El punto del infinito no se considera especial, al contrario, es un punto más. Entonces todo conjunto de rectas paralelas tendrá un punto en el infinito común.  El conjunto de todos los puntos en el infinito forman una recta,  la recta del infinito. Esta construcción se corresponde con los puntos de fuga visuales: las vías del tren, paralelas, vistas desde la perspectiva del ojo parecen cortarse en un punto.

Así, en la geometría proyectiva, todas las rectas se cortan, tanto si son paralelas como si no; este hecho facilita los desarrollos teóricos, al eliminar el caso especial de rectas paralelas.


El plano complejo

Un número complejo x se define por x = a + bi, donde i² = -1. En el plano complejo asociamos a cada complejo x un punto de coordenadas (a,b). El eje horizontal representa los números reales y el eje vertical los denominados números imaginarios. Los complejos son de gran utilidad práctica en ingeniería eléctrica y electrónica, en Física y por supuesto en Matemáticas.

Proyección estereográfica

Sea un círculo de radio unidad en el plano; si trazamos rectas desde el punto N del “polo norte” del círculo, cortaran al eje horizontal en un punto P', y al círculo en otro punto P. Si imaginamos el mismo esquema pero con una esfera de radio unidad, entonces el eje horizontal será un plano horizontal (el plano ecuatorial), y las rectas que parten de N seguirán definiendo los puntos de corte P' y P. Se define P' como la proyección estereográfica de P. Cualquier punto de la esfera se representa como un punto del plano; para el punto N su proyección será el punto del infinito.

Espacios proyectivos complejos

Como antes, consideremos una esfera de radio unidad pero ahora el plano ecuatorial será el plano complejo C.  La esfera estará situada en el espacio complejo C², formado por parejas de complejos (x,y), y se conoce por la esfera de Riemann. Si nos fijamos en el conjunto de rectas proyectivas de C² que parten de N, se define el espacio proyectivo complejo CP¹ como ese conjunto de rectas. Observemos que al definir el espacio proyectivo “hemos bajado” una dimensión: desde C² definimos CP¹. Así, la esfera de Riemann define el el espacio proyectivo complejo de una dimensión, también llamado línea proyectiva.

Si en vez de usar el plano complejo C como plano ecuatorial, usamos el espacio C², necesitaremos una esfera en C³ (espacio formado por ternas de puntos (x,y,z) complejos) que obviamente ya no podemos representar gráficamente. Pero las ideas son las mismas, y obtendríamos el espacio CP², el plano proyectivo complejo. En general, usando n+1 dimensiones complejas obtenemos un espacio proyectivo CP(n).

Formas algebraicas en el espacio  CP²; variedades
El el espacio CP² podemos definir rectas, círculos y cualquier otra figura geométrica; en general una variedad algebraica en CP² es el conjunto de puntos de C³ que cumplen una ecuación algebraica F(x,y,z) = 0. Las variedades (manifold en inglés) son generalizaciones de las figuras que conocemos del espacio euclídeo a espacios abstractos de cualquier dimensión.

Otro tipo de variedad es la variedad topológica: son aquellas que, si las “observamos con una lupa”,  veremos que en pequeñas porciones la variedad “parece” un espacio euclídeo; de forma más técnica se dice que localmente las variedades topológicas son homomorfas al espacio euclídeo.

Una subclase muy importante de las variedades topológicas son las variedades diferenciables: localmente son suficientemente “suaves” para poder aproximarlas por un plano euclídeo. La esfera (en cualquier número de dimensiones) es un ejemplo de variedad topológica diferenciable.

El concepto de variedad es fundamental para muchas partes de la geometría y la física matemática moderna, ya que permite estudiar estructuras más complicadas que se expresan y se entienden en términos de las propiedades relativamente bien entendidas de variedades en espacios.

Subvariedades
Una subvariedad es un subconjunto de puntos de una variedad elegidos de tal manera que dicho subconjunto es a su vez una variedad.

En  nuestro viaje hacia la conjetura de Hodge hasta ahora tenemos un espacio “suave” que localmente se asemeja el espacio euclidiano, pero a mayor escala ese "espacio" es diferente, y que se describe por un grupo de ecuaciones. Lo que hacemos ahora es dividir ese espacio en partes geométricas más pequeñas y simples: las subvariedades. Esto nos permite simplificar el estudio de las propiedades de variedades abstractas, al descomponerlas en subvariedades más simples. Pero antes introducimos el concepto de topología.


Topología y espacios topológicos
La topología estudia las propiedades más fundamentales de toda la geometría, en el sentido de que es más fácil que dos objetos geométricos sean topológicamente equivalentes que usando cualquier otra teoría geométrica, como la algebraica. Por ejemplo, dos figuras aparentemente tan distintas como un “donut” (hablando en propiedad tal figura es un “toro”) y una jarra son topológicamente equivalentes porque se puede convertir una en otra mediante deformaciones continuas sin rasgar ni cortar:

 Por lo tanto una herramienta básica en el estudio de las geometrías más complicadas y abstractas es considerar su estructura topológica.

Un espacio topológico es una estructura matemática simple formada por un conjunto S, un conjunto T de subconjuntos de S, y unas reglas  referentes a las uniones e intersecciones de los subconjuntos de T. Por ejemplo, los números reales (el conjunto S) junto con los intervalos de reales (a,b) (todos ellos forman el conjunto T) y algunas propiedades básicas de los números definen el espacio topológico de los reales.

Es una estructura simple porque sólo depende de la teoría de conjuntos. Por otra parte se puede relacionar la topología de un espacio con su métrica (la forma como medimos distancias); en estos espacios topológicos métricos se definen y estudian distancias entre conjuntos, así como proximidades, fronteras de conjuntos, etc.

Tipos de espacios
Hasta ahora hemos definido diferentes tipos de espacios: euclídeos, proyectivos, reales, complejos, diferenciables, topológicos... Es importante tener en cuenta que estas clasificaciones se superponen. Así, por ejemplo, podemos considerar en el espacio proyectivo complejo C² una medida de la distancia, con lo cual lo dotamos de una métrica (con lo cual será un espacio métrico); si además consideramos sus propiedades topológicas, entonces tratamos a C² como espacio topológico métrico.


Homotopías, homologías, grupos y clases
Cuando se estudian los espacios vectoriales se trabaja con sus subespacios, más simples; de la misma misma forma,  se estudia un espacio topológico mirando subespacios topológicos, como curvas o superficies. Puesto que hay muchos posibles subespacios, se introduce una relación de equivalencia (permite realizar una clasificación de los subespacios en clases de equivalencias):   la homotopía, o invariabilidad de deformación.

Esta relación de equivalencia en la práctica es todavía complicada; otra más sencilla de calcular es la homología: dos figuras geométricas dentro de un espacio dado son homólogas si juntas forman el contorno de una figura de dimensiones superiores.

La motivación original para la definición de grupos de homología es la observación de que un aspecto importante de la forma de un objeto son sus huecos cerrados (“agujeros”). Debido a que un hueco es algo que "no existe", no es trivial definir un agujero, o cómo distinguir entre diferentes tipos de agujeros. La homología es un método matemático riguroso para detectar y clasificar huecos,

Por ejemplo las vocales {A, E, I, O, U} consideradas como formas se pueden clasificar en dos clases: sin huecos cerrados {E, I, U} y con un hueco cerrado {A, O}.

A cualquier espacio topológico X se puede asociar un conjunto Hk (X), siendo k un número natural,  cuyos elementos son clases de homología. El tamaño y la estructura de Hk (X) ofrece información sobre el número de “agujeros” en X.

Por ejemplo, un “toro” en el espacio euclídeo es una superficie de revolución que se obtiene cuando un círculo gira alrededor de una recta que está en su plano sin cortarlo. Algebraicamente se expresa como la combinación lineal de dos círculos distintos, como se muestra a la derecha: uno de color rosa y otro de rojo. Hablando informalmente, cada círculo es una clase de homología del toro.

Topológicamente, esto significa que un camino cerrado que primero rodea al hueco del toro  (como  el círculo rosa) y después da la la vuelta al cuerpo del toro  (como el círculo rojo) se puede deformar a un camino que primero rodea al cuerpo y luego al hueco. El toro tiene una generalización a dimensiones más altas, el toro n-dimensional, o el n-toro, para abreviar, que se forma combinando  n círculos. El toro del espacio euclídeo es un 2-toro.


Ciclos algebraicos
Ahora que ya tenemos los conceptos de variedad, sub-variedad y clases de homología, podemos definir los “bloques” elementales que aparecen en la conjetura de Hodge.

Primero de todo, decir que un resultado general es que en una variedad, que hemos visto que se define por unas ecuaciones, sus sub-variedades, también definidas por unas ecuaciones, se pueden separar en clases de homología que “recubren” la variedad.

En particular, un ciclo algebraico de una variedad algebraica V es  una clase de homología en V que se puede expresarse como una combinación lineal de las subvariedades de V.

El estudio de los ciclos algebraicos es en uno de los principales objetivos de la geometría algebraica de las variedades en general, siendo muy útil para descubrir propiedades. La dificultad es: demostrar la existencia de ciclos algebraicos es relativamente fácil, pero los métodos actuales  para construirlos son deficientes. Si tuviéramos métodos prácticos de construcción de clases de homologías de variedades (como los ciclos  algebraicos) se podría probar la existencia de subvariedades con ciertas propiedades deseables prefijadas utilizando cálculos de homología. Ello nos daría un potente instrumento de estudio de las variedades en general.

Ciclos de Hodge
Un ciclo de Hodge es un tipo especial  de  clase de homología en una variedad compleja algebraica que cumple ciertas condiciones específicas que no reproduciremos aquí. Se define por tanto de forma distinta a los ciclos algebraicos. Recordemos que la existencia de subvariedades con  “buenas” propiedades de homología nos facilita el estudio de las variedades en general; pues bien, los ciclos de Hodge estan definidos de forma que tienen esas buenas propiedades. La descripción detallada de dichas propiedades, su justificación, etc, son temas especializados que quedan fuera del ámbito de este artículo.

La conjetura de Hodge
Hemos visto que los espacios topológicos son simples en el sentido de que se  definen por una pocas propiedades; supongamos que en un cierto conjunto, que podría ser una variedad A, definimos una topología, y también definimos un subconjunto B de A que es diferenciable (recordemos que las variedades diferenciables son una subclase de las variedades topológicas).

Tenemos una variedad proyectiva compleja “suave" en el espacio proyectivo CPn que se describe por un grupo de ecuaciones de tal manera que tiene dimensión par (esto es así porque los números complejos tienen dimensión 2, y la dimensión resultante de CPn será (n+1)·2, que es par) . Luego tomamos la topología de la variedad y la dividimos en partes geométricas más pequeñas llamadas "ciclos de Hodge".

La conjetura afirma que: para los tipos de espacios llamados variedades algebraicas complejas proyectivas, los ciclos topológicos de Hodge son iguales a combinaciones racionales lineales de ciclos algebraicos.

Aplicaciones en cálculo diferencial e integral en variedades
Una forma diferencial es una generalización de los conceptos de derivada, vector gradiente, rotacional, etc del espacio euclídeo, aplicados a variedades diferenciables en espacios abstractos. Resulta ser que en espacios diferenciables existe una relación entre las clases de homología de los ciclos y las clases de equivalencia de las formas diferenciables.

Por otra parte, la integral definida de una función real f(x) en un intervalo (a,b) es una suma que realizamos sobre una linealización de la función, usando el concepto de diferencial dx:

Generalizando este concepto a funciones complejas integradas sobre variedades,

el intervalo (a,b) se transforma en la variedad A, y el integrando f(x)dx en la forma diferencial dw; la expresión anterior es el enunciado del teorema de Stokes, que relaciona la integral sobre la variedad con la integral sobre la frontera de la variedad, dA. Gracias a la descomposición de la variedad en elementos más simples, los ciclos, se simplifica el estudio de la diferenciación y de la integración en variedades. También el campo de estudio de las ecuaciones diferenciales se beneficia de la teoría de los ciclos y variedades.  

Fuentes de información

• Wolfram Matworld: http://mathworld.wolfram.com
• Blog de la mula Francis: http://francisthemulenews.wordpress.com/?s=hodge
• La conjetura de Hodge explicada para torpes por Dan Freed: http://www.ma.utexas.edu/users/dafr/HodgeConjecture/netscape_noframes.html
• Martin Lipschutz: Geometría Diferencial. McGraw Hill.
• Roger Penrose: El camino a la realidad. Debate. 
• Wikipedia

Los fundamentos de la matemática... ¡no están fundamentados!

Introducción

El campo de conocimiento conocido por “fundamentos de la matemática” tiene como objetivo central el dilucidar cómo se establece que una afirmación matemática es cierta o falsa. A nivel práctico, las matemáticas enuncian afirmaciones denominadas teoremas, proposiciones y lemas que se han de demostrar mediante un procedimiento lógico, partiendo de unas premisas, y usando una cadena de razonamientos sin ambigüedades ni falsedades “ocultas”. Hay diferentes corrientes de opinión respecto a los detalles de este proceso, pero no nos equivoquemos pensando que “solo son detalles”, ya que es sabido que “el diablo se oculta en los detalles”. Veremos en efecto que en la forma de llevar a la práctica el proceso de demostración matemática se esconden dificultades que no han sido resueltas, y que se relacionan con campos aparentemente lejanos como el de la inteligencia artificial o el del origen de la vida. Para ello primero pasaremos revista a las tendencias actuales, exponiéndolas primero y mostrando sus carencias a continuación. Es en las carencias donde hay terreno para investigar y avanzar.

Los formalistas

Los formalistas afirman que las matemáticas no son ni más ni menos que un lenguaje preciso, con unas reglas de formación basadas en la lógica. Presentan la matemática como un sistema formal basado en la teoría de conjuntos.

Un sistema formal consiste en un conjunto de enunciados de verdades matemáticas (denominados axiomas), junto con unas reglas de formación de nuevos enunciados ciertos, más las reglas de la lógica bivalente.

Los axiomas son afirmaciones que no se deducen de otras por considerarse evidentes, y sirven como punto de partida para demostrar otras afirmaciones.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema formal que trabaja con los símbolos 0 y 1:

Axioma 1: 0 es válido

Axioma 2: 1 es válido

Regla 1: Si x es válido, entonces x1 también es válido (x => x1)

Regla 2: Si x111 es válido, entonces x0 también es válido (x111 => x0)

Utilizando las reglas a partir de los axiomas podemos construir afirmaciones ciertas en este sistema (teoremas). Por ejemplo:

Teorema: 001 es válido

Demostración: 0 => 01 => 011 => 0111 => 00 => 001

Hemos partido del axioma 1; en el último paso se ha aplicado la regla 2, en los anteriores la regla 1.

En cambio hay cadenas de 0 y 1 que no son teoremas de este sistema, como por ejemplo las cadenas 10, 100, 1000, ... (¿puede ver el lector por qué?). Obsérvese que este sistema formal no contiene operaciones aritméticas, y ni siquiera contiene a todos los números binarios, y por tanto no debemos identificar las cadenas de símbolos formadas con números. Podríamos haber escogido como símbolos cualquier otro, como por ejemplo “a” y “b”.

El atractivo de la formalización es que proporciona un marco preciso de establecimiento de verdades y falsedades; tan preciso es que incluso nos podemos plantear la posibilidad de automatizarlo: podríamos programar un ordenador para que a partir de los axiomas y reglas fuera generando los teoremas automáticamente. Y también podría comprobar si una afirmación es cierta o falsa, comparándola con los teoremas que generaría: si coincide con alguno es cierta, en caso contrario será falsa. 

El “Entscheidungsproblem”, problema enunciado por David Hilbert, pregunta precisamente esto: ¿dado un sistema formal podremos siempre generar un programa para comprobar si una afirmación es cierta o falsa en este sistema? En el apartado “Crítica de las diferentes corrientes” veremos la respuesta a esta pregunta.

Los intuicionistas

Sostienen que las matemáticas son una creación de la mente humana, y todos los “objetos” matemáticos son objetos mentales. No hay una relación real entre objetos matemáticos y la “verdad”, tal como pretenden los formalistas. Algunas corrientes de opinión incluso niegan la existencia de los “fundamentos de las matemáticas” tal como los hemos definido, centrándose totalmente en la las matemáticas como un trabajo práctico, despojándolo de cualquier filosofía o metafísica. 

Es por tanto una postura muy pragmática, que creo que se puede comparar con la interpretación de Bohr (o de Copenhague) de la mecánica cuántica, que renuncia a entender sus fundamentos, contentándose con que los cálculos funcionen y se ajusten a la realidad observada.

La gran ventaja de esta forma de encarar el tema es que anula los problemas que nos encontramos en las otras corrientes de opinión, y es normal que así sea, porque es la menos ambiciosa de todas, renuncia expresamente a obtener un mayor conocimiento de lo que realmente puede ser la matemática, y la reduce a un instrumento, muy útil, muy potente, pero instrumento al fin y al cabo.

Los platónicos

Sostienen que las verdades matemáticas son necesariamente existentes de forma independiente de la mente humana, lo que hacen los matemáticos es descubrir verdades que ya estaban ahí, independientemente de si hay o no alguien para hacerlo.

Para argumentar de forma simple esta postura consideremos la relación existente entre el radio y la longitud de un círculo cualquiera en un espacio euclídeo, el número “pi”: π.
Ya en la antigua Egipto se hicieron cálculos aproximados de su valor. Durante milenios el problema de la “cuadratura del círculo”, calcular exactamente el valor de π, quedó abierto, hasta que en el siglo XVIII Johann Heinrich Lambert demostró (los platónicos dirían que descubrió) que “pi” tenia infinitos decimales, es decir que era un número irracional. Posteriormente el número pi fue apareciendo en infinidad de campos que aparentemente no tienen relación entre sí. Por ejemplo, la probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π². O bien, la serie infinita 1 – (1/3) + (1/5) – (1/7) + (1/9) – (1/11) + ... tiene por suma el valor π/4. También, la ley de Coulomb de la fuerza eléctrica entre dos cargas q, q' separadas por una distancia r en un es proporcional a qq' / (4πr²).

El descubrimiento de la naturaleza de π y su posterior uso en múltiples campos parece indicar que es una constante universal que siempre ha estado ahí, y que la humanidad descubrió en su momento.

Crítica de las diferentes corrientes

En el caso del formalismo, nos preguntamos ¿por qué debemos utilizar unos axiomas y no otros de equivalentes? O bien, ¿cómo podemos estar seguros de la supuesta certeza de los axiomas? También podemos dudar de la lógica: ¿por qué debemos emplear las reglas lógicas clásicas, y no otras más modernas?

Por otra parte con los teoremas de Gödel quedó claro que la noción de la verdad matemática no puede reducirse a un sistema puramente formal, ya que ningún sistema lo suficientemente potente y consistente que sea recursivo (esto es necesario para axiomatizar la teoría elemental de la aritmética en el conjunto infinito de números naturales) podrá evitar tener declaraciones no demostrables por el sistema.

Como respuesta a este problema en las denominadas “matemáticas inversas”, se establece un sistema formal provisional ampliable con más axiomas, de forma que para cada teorema que se puede afirmar en el sistema base pero no es demostrable, el objetivo es determinar el sistema axiomático particular (más fuerte que el sistema de base) que es capaz de demostrar el teorema. En “Gödel, Escher,Bach”, cap. 15e, de Douglas Hofstadter se habla de este procedimiento en términos no técnicos (aunque tampoco sean triviales de entender).

Respecto a la relación existente entre sistemas formales y programación de ordenadores, hay una muy interesante línea de investigación a seguir, que nos lleva desde las máquinas de Turing, pasando por la teoría de la computabilidad, hasta la inteligencia artificial, sus posibles limitaciones y las posibles diferencias entre razonamiento humano y automático: en efecto, hay quien sostiene que los teoremas de Gödel, entre otros razonamientos, muestran la línea divisoria entre mente y máquina, mientras que otros pensadores sostienen que esa línea solo existe por motivos tecnológicos, de forma que en algún momento se podrá crear inteligencia artificial con las mismas propiedades que la humana. En la primera postura tenemos por ejemplo al físico matemático Roger Penrose (ver por ejemplo “La nueva mente del emperador”) y en la segunda al propio Hofstadter. Muy recomendable en este sentido el artículo “Gödel y Turing” del blog El Topo Lógico. En relación a los límites de la inteligencia artificial también hay artículos en este blog.

El enfoque platónico es difícilmente demostrable, ja que tiene un componente metafísico importante, al “elevar” a verdades universales los objetos matemáticos. Así como el formalismo muestra errores de concepto que nos han abierto nuevas líneas de investigación, el considerar el origen de la verdad matemática como inalcanzable, por tener una existencia propia, deja a mi entender al enfoque platónico más cerrado y más estéril en el sentido de producir ideas nuevas. Lo cual no quiere decir que sea falso ni cierto, quien sabe. Exponentes célebres de este enfoque son el propio Kurt Gödel y Roger Penrose.

En el otro extremo el intuicionismo al renunciar al estudio de los fundamentos de las matemáticas por considerarlo poco práctico cae en mi opinión en el mismo problema que el platonismo, privándonos de nuevas teorías que sí ha producido y sigue produciendo el formalismo.

Conclusión

Vemos pues que no hay respuesta a día de hoy a la pregunta original, ¿cómo se establece que una afirmación matemática es cierta o falsa? Podemos decir que los fundamentos de la matemática... ¡siguen aún sin fundamentos!

Espacio y tiempo: de la intuición a la visión de la ciencia

La intuición nos dice que las cosas reales existen en el espacio y en el tiempo. La Física, hasta Newton, estuvo de acuerdo con esa intuición, y también la Filosofía, con Kant, pero a partir de ahí se empieza a analizar el concepto en sí de espacio y tiempo, aumentando el número de dimensiones de tres a cuatro (espacio de Minkowski) y más dimensiones en otras teorías físicas, cuestionando la continuidad tanto del espacio como del tiempo y discutiendo si son finitos o infinitos. En este artículo describimos el cambio de paradigma.

Espacio y tiempo clásicos

El dios romano Jano, con una cara mirando al pasado y la otra al futuro, simboliza la idea clásica que todavía actualmente tenemos del tiempo, una sucesión continua e infinita de acontecimientos. No obstante, a poco que miremos con detenimiento ese concepto, empieza a mostrar incoherencias. ¿Qué es el presente? ¿Cuanto dura? ¿1 segundo quizás? De hecho el presente es la línea de separación entre el pasado y el futuro, y como línea no tiene extensión. Pero ahí hay una paradoja, pues el pasado ya no existe, el futuro tampoco todavía, y el presente es una linea divisoria sin extensión, o sea una construcción mental sin existencia real; por tanto, ¡nada existe!.

Parménides imaginaba el espacio como una eterna y omnipresente esfera en quietud absoluta en cuyo seno se contiene toda la materia. Siendo esta concepción parecida a la de Dios (eterno, omnipresente) han habido opiniones que los ha relacionado directamente, como por ejemplo Henry More. Además, se supone que los objetos y el espacio son conceptos independientes: los objetos ocupan espacio ya que es una de sus propiedades (volumen, pero también forma, masa, dureza, posición, etc.). Si movemos el objeto, el espacio que ocupaba sigue estando ahí, independiente.

Primera revisión del concepto clásico

En la Física clásica se trabaja con sistemas de coordenadas cartesianas, de forma que toda ley se enuncia usando un sistema de referencia espacial. En este marco, el espacio se define como diferencias de coordenadas, bien sea entre dos objetos o entre puntos de un objeto. El valor numérico de estas diferencias depende del sistema de referencia. El espacio ocupado por un objeto ya no se considera como una propiedad intrínseca del objeto sino como una descripción asociada al sistema de referencia escogido.

Espacio y tiempo mentales: fragmentación de conceptos

El concepto habitual de espacio nos viene dado por diversas experiencias sensoriales:

1. Las cosas reales, tangibles, “están ahí”
2. Los objetos tienen posiciones relativas entre sí, separadas por un espacio
3. Los objetos tienen un tamaño, y por tanto ocupan un espacio
4. Además, cuando vemos un paisaje extenso, o miramos al firmamento, experimentamos una sensación de espacio ilimitado

De forma muy similar experimentamos el tiempo sensorialmente, de forma que podemos trazar un paralelismo entre objetos e intervalos de tiempo:

1. La presencia de un suceso cualquiera, equivale al “estar ahí” de los objetos
2. El paso del tiempo entre dos sucesos viene a equivaler a el espacio que separa dos objetos
3. El tiempo que dura un suceso está relacionado con el tamaño de un objeto
4. Recordar un suceso pasado hace tiempo, o pensar en la eternidad se relaciona con el espacio extenso.

De hecho la mente tiene tendencia a interpretar los datos sensoriales en términos de objetos ordenados en el tiempo y situados en el espacio; éste último solo sirve de soporte, por así decirlo, lo relevante es siempre el objeto por delante del espacio. Discutí este comportamiento mental en un artículo anterior en este mismo blog.

Midiendo el espacio...se complica el modelo

Para medir las dimensiones de un cuerpo usamos simplemente una regla graduada; en casos más complicados usamos más tecnología: ultrasonidos para medir profundidades, luz láser para mediar exactamente la distancia a la Luna, etc. Todos estos métodos se basan en la existencia de una unidad ideal de longitud, el metro, respecto al cual se realizan las mediciones.

Pero he aquí que llegan los matemáticos con sus exactitudes y se plantean que las medidas anteriores se supone que se hacen siempre con la distancia más corta posible, pero ¿podemos estar seguros de que realmente lo estamos haciendo bien? Quizá confundamos la distancia a lo largo de nuestra linea de visión con la más corta posible. ¿Seran equivalentes? Lo más exacto será hacer mediciones entre dos puntos A y B según todos los caminos posibles, y definir la distancia entre A y B como la menor de todas las obtenidas.

Distintas trayectorias planas entre dos objetos A, B; la más corta define la distancia d(A,B)

Fijémonos en que la medición se hace comparando con un objeto de longitud conocida que hace de patrón de medida, una regla graduada por ejemplo. ¿Que pasará si la regla cambiase de tamaño según la dirección en que sea tendida? Por ejemplo en la trayectoria quebrada superior de la figura la regla podría alargarse, resultando una medida inferior a la obtenida en las trayectorias rectas. ¿Nos parece poco creíble esta posibilidad? Pensemos que la única superficie bidimensional en la que las propiedades geométricas son fijas cuando nos movemos por él es el plano. Sobre una superficie irregular las distancias variaran según las direcciones. Y si consideramos superficies tridimensionales tendremos la misma situación.

Para sistematizar las mediciones se introduce un sistema de referencia formado por tres direcciones llamadas ejes de coordenadas, y realizamos las mediciones a lo largo de cada eje, obteniendo las medidas$\; \Delta \mathrm{x,}$ Δy, Δz.Entonces en geometría Euclídea la distancia se define como

El porque se define así está directamente relacionado con una concepción particular del espacio, que se supone “plano” (isótropo e homogéneo, más exactamente).

Métricas del espacio

En dos dimensiones la distancia entre los puntos A y B en coordenadas cartesianas coincide con el teorema de Pitágoras

ds² = dx² + dy²

Si los ejes de referencia son rectilíneos pero se cortan en un ángulo cualquiera (coordenadas oblícuas) entonces la distancia será 

ds² = Adu² + Bdv² + Cdu·dv

donde du, dv son los intervalos de coordenadas y A, B, C valores reales. Si las coordenadas son sobre una superficie esférica tendríamos otra expresión, etc. La expresión general para la distancia viene dada por fórmula de Gauss:

ds² =g₁₁ dx² + g₁₂ dxdy + g₂₁ dydx + g₂₂ dy²

Las cuatro cantidades g vienen determinadas por la geometría de la superficie y de las coordenadas, y en conjunto se denominan métricadel espacio. En tres dimensiones tenemos 9 cantidades g, y cada conjunto de valores determinan una geometría del espacio. Se suelen representar matricialmente, por ejemplo la geometría euclídea se representa por:

1	0	0
0	1	0
0	0	1

En matemáticas podemos definir geometrías simplemente modificando los valores g, y estudiando después las propiedades resultantes; en Física procedemos al revés: los postulados, las leyes físicas y las observaciones empíricas nos imponen las métricas adecuadas.

Métrica relativista

Cuando se descubrió que la longitud de un cuerpo depende de la velocidad del observador, y que también las mediciones de tiempo quedan afectadas por el movimiento, quedó claro que tenian que revisarse los conceptos de espacio y tiempo; concretamente, la métrica ha de tener los coeficientes g variables según la velocidad del observador, es una geometría variable, que es diferente para cada observador según su velocidad relativa. Además, como el tiempo también depende de la velocidad, se incorpora en la métrica del espacio, que pasa a ser un espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Esta variabilidad de la geometría respecto al observador parece en primer término demasiado compleja; Minkowski observó en ella una importante propiedad: la cantidad ds² – c²dt², donde c es la velocidad de la luz, es invariante, su valor es el mismo para cualquier observador. De alguna manera, esta cantidad se comporta como la distancia en el espacio euclídeo, que es la misma para todos los observadores. Así pues podemos llamar a dS² = ds² – c²dt² la “distancia” en el espacio-tiempo. No debemos caer en el error de considerarla como un “invento matemático”, pues es real; es cierto que es una construcción, como la era también la distancia euclídea, pero se relaciona con el comportamiento observado de la naturaleza.

Espacio relacional y teoría de grupos

Ya hemos visto que la ciencia ha necesitado y empleado conceptos de espacio muy alejados de la simple visión intuitiva que usamos normalmente, y lo hemos explicado basándonos en las mediciones y las métricas. Imaginemos un cuerpo rígido que trasladamos y giramos de todas la formas posibles. Resulta ser que los infinitos movimientos posibles se pueden reducir a un conjunto finito y a combinaciones entre ellos; en matemáticas a un conjunto como éste con sus operaciones de combinación se le denomina un grupo. Además, resulta que el grupo de movimientos identifica a las propiedades del espacio tan bien como su métrica, siendo una forma alternativa de estudiarlo. 
Fijémonos en el detalle: podemos definir el espacio como un grupo de operaciones sobre cuerpos; o sea que el espacio no es independiente de los cuerpos que contiene, al contrario queda definido por ellos.

En un próximo artículo hablaremos de la simetría, la continuidad y la infinitud del espacio-tiempo.

Fuentes: La naturaleza de la realidad física. Henry Margenau.

¿Es posible la conciencia artificial?

Resumen.

¿La inteligencia y la conciencia están relacionadas? La conciencia puede estar activada incluso sin contenidos en ella, así lo afirman los meditadores. Pero parece difícil de creer que podamos resolver un problema difícil sin estar conscientes. ¿Es la conciencia reducible a algoritmos de computador?

¿Qué es la conciencia y cómo se relaciona con el pensamiento?

Es difícil definir la conciencia pues no es ningún “objeto” sino más bien lo podemos considerar una experiencia subjetiva. Así, cuando despertamos sentimos que estamos conscientes, y en los primeros instantes del despertar todavía no hay pensamientos. ¿Qué relación hay entre pensamientos y conciencia? Podemos estar conscientes sin pensar, aunque no es fácil permanecer en ese estado, excepto quizás si somos meditadores experimentados. Y podemos pensar estando inconscientes: lo hacemos cada noche mientras dormimos, pues los sueños son pensamientos dirigidos por la mente inconsciente. Parece por tanto que pensamiento y conciencia son relativamente independientes.

Contenidos de la conciencia

Distingamos también la conciencia de los contenidos de la conciencia: la primera es el estado subjetivo que es necesario para "ser-consciente-de" los contenidos de la conciencia. ¿Y cuáles son estos contenidos? Evidentemente pueden contener nuestras percepciones sensoriales; de hecho pueden contener al propio cuerpo: somos conscientes de nuestro cuerpo a través de nuestros sentidos. También pueden contener nuestros recuerdos y nuestros pensamientos. Pero por otro lado la conciencia en sí puede experimentarse incluso sin tener ningún contenido, simplemente como conciencia pura, aunque de nuevo hay que decir que es un estado poco habitual excepto en los meditadores avanzados.

Inteligencia y conciencia

Por otro lado tenemos la inteligencia, que entendemos como la capacidad de percibir relaciones entre hechos, datos y conocimientos para generar nuevos conocimientos. Nos preguntamos ahora, ¿son independientes la inteligencia y la conciencia? De nuevo observamos que pueden haber momentos de una conciencia intensa sin que la inteligencia trabaje en absoluto. En cambio cuesta ver que la inteligencia pueda funcionar inconscientemente, pero no obstante es conocido el hecho de que hay personas que, para resolver un problema complicado que se ha resistido a ser resuelto después de arduas horas de trabajo consciente, se lo llevan a la cama (se suele decir que lo consultan con la almohada) y a veces resulta ser que sueñan con la solución y se despiertan recordándola... y quizá gritando ¡Eureka! Así que, aunque tampoco es habitual, parece ser que la inteligencia puede funcionar inconscientemente resolviendo incluso problemas complejos.

También es cierto que la conciencia tiene distintos grados: podemos estar desde totalmente inconscientes (sueño profundo, anestesia) pasando por semi-inconscientes (sueño ligero) hasta altamente conscientes (como cuando tenemos que afrontar una decisión difícil o un peligro físico). Y cuando dormimos y soñamos también podemos estar levemente conscientes, así que podríamos decir que cuando nos llevamos un problema a la cama quizá se resuelve con algún grado de conciencia, pues parece difícil aceptar que podamos resolver nada estando en la inconsciencia profunda.

Sabemos distinguir objetivamente la conciencia

Hemos definido la conciencia como una experiencia subjetiva, esto es, una percepción personal que sólo depende del propio sujeto y que no es verificable por otros sujetos, en contraste con las experiencias objetivas, que pueden ser compartidas y verificadas por diversos sujetos. Ahora bien, resulta que somos capaces de percibir directamente que alguna otra persona está realmente consciente o no lo está. Podemos decir que el hecho de que una persona esté consciente es un hecho objetivo, a pesar de que su propia conciencia sea una experiencia subjetiva. Debe de ser que hay un modo de comportamiento característico del estado consciente al que somos sensibles.

¿Por qué la naturaleza ha creado la conciencia? 

El cerebelo es nuestro cerebro "más antiguo", y capaz de llevar a cabo acciones muy complejas de forma automática e inconsciente. Quizá la evolución se podría haber detenido ahí, con criaturas dirigidas por mecanismos de control completamente inconscientes Pero no ha sido así, y la naturaleza ha decidido que evolucionen seres conscientes como nosotros ¿Por qué? Ha de haber alguna ventaja selectiva en la adquisición de conciencia. Una podría ser facilitar el desarrollo de la inteligencia, que tal como hemos especulado bien podría necesitar de la conciencia para funcionar. Otra no menos importante es el desarrollo de la auto-conciencia que nos lleva a reconocer nuestro propio “yo”.

Algoritmos, inteligencia artificial y conciencia 

Supongamos que somos capaces de fabricar un ordenador que sea una réplica exacta, en cada neurona y sinapsis, del cerebro. Es un enorme reto tecnológico, pero seguramente lograrlo sólo es cuestión de tiempo. ¿Esa réplica poseerá conciencia? Los defensores de la tesis denominada de “inteligencia artificial dura” sostienen que sí. Después de todo el negar esa posibilidad daría un estatus “inmaterial” a la conciencia que repugna a muchos pensadores. 

Por otro lado, ¿qué algoritmo se ejecutaría en ese cerebro electrónico? Hay evidencias que apuntan a que ningún algoritmo, por complejo que sea, puede simular la inteligencia y la conciencia humana. Tenemos por ejemplo las demostraciones matemáticas: la visión directa de la verdad que es necesaria para entender ciertas demostraciones matemáticas se ha demostrado que no es computable usando máquinas de Turing, que a su vez son capaces de simular a cualquier algoritmo imaginable. Por tanto no podemos programar un ordenador que sustituya a un matemático y demuestre teoremas (éste fue uno de los famosos problemas que David Hilbert propuso a principios del siglo XX, la automatización de las demostraciones, la respuesta fue negativa).

Por tanto suponiendo que consigamos fabricar un hardware que emule al cerebro humano, todavía nos quedaría el problema de cómo programarlo. Hay otro punto de vista que apoya la imposibilidad de que un algoritmo copie a la conciencia: los programas de ordenador se guían por leyes estrictamente lógicas (booleanas) mientras que las personas está claro que somos bastante ilógicos. Bromas aparte, la propia matemática tampoco puede reducirse a la lógica (otro de los problemas propuestos por Hilbert, Kurt Gödel demostró que no era posible), así que volvemos a encontrar que no podemos programar a un matemático. Evidentemente el razonamiento es generalizable a la ciencia en general: ver por ejemplo mi artículo “La ciencia va escasa de lógica”.

Conclusiones

Hemos definido la conciencia como una experiencia subjetiva, pero reconocible en otros sujetos. Parece ser que la inteligencia depende de la conciencia, pero no está clara la dependencia contraria. Por otro lado el contenido de la conciencia puede abarcarlo todo: el exterior, el propio cuerpo, los pensamientos y la noción del “yo”. Además la conciencia puede estar activada incluso sin contenidos en ella, así lo afirman los meditadores. La Naturaleza nos ha dotado de conciencia sin duda por que debe conllevar algunas ventajas evolutivas; hemos supuesto que son el desarrollo de la inteligencia y del auto-conocimiento del yo. Pero esta inteligencia consciente no es reducible a algoritmos de computador, y por tanto actualmente no vemos la posibilidad, ni siquiera en principio, de emularla artificialmente; seria necesario un nuevo paradigma de computación, distinto al de las máquinas de Turing actuales, y con una lógica distinta a las conocidas y usadas actualmente.

Referéncias:  La nueva mente del emperador, Roger Penrose.

La ciencia va escasa de lógica

Modelos científicos basados en datos

La ciencia relaciona las observaciones de la realidad con modelos interpretativos, los cuales se van adaptando conforme los datos no quedan suficientemente explicados por el modelo. Un ejemplo paradigmático lo encontramos en la mecánica celeste. Antiguamente se creia que la Tierra estaba en el centro del Universo, y los astros giraban alrededor de ella, y ésta creencia realmente se ajustaba a las observaciones de la época. Posteriormente Ptolomeo refinó el sistema para que encajara con las nuevas observaciones, más precisas, de los movimientos de los astros. Conforme se recogian más observaciones el modelo fallaba en explicarlas, hasta que Copérnico postuló que los planetas giraban alrededor del Sol; pero incluso esta teoria no podia explicar los detalles de los movimientos, hizo falta un Newton primero, con la teoria de la gravitación universal, y un Einstein después, con la relatividad general, para explicar con total precisión la mecánica celeste.

Modelos científicos basados en principios sutiles

Así pues, puede parecer que históricamente nos vamos acercando a la verdad científica guiados exclusivamente por los datos. Pero realmente no es así: la consisténcia interna de los modelos, la simplicidad y la elegáncia de formulación, e incluso la intuición también participan en la creación de modelos. De hecho la teoria de la relatividad general se concebió claramente a partir de estos principios; posteriormente pudo verificarse al explicar con alto grado de precisión las pequeñas desviaciones de la órbita del planeta Mercurio (denominada la precesión del perihelio), imposibles de justificar con la teoria Newtoniana. Hay muchos otros ejemplos de teorias predominantemente fundadas en principios más sutiles que los datos proporcionados por las observaciones.

Ciencia Platónica y ciencia positivista

Vemos pues que el método científico proporciona y transmite datos de observaciones, los hace corresponder con modelos que interpretan la realidad, los cuales se forman con ayuda de ciertos principios “inspiradores” que no dependen de los datos. Esquemáticamente:

Como los principios són independientes de los datos, de hecho són independientes de la realidad observable, así que les podemos adjudicar propiedades metafísicas, por decirlo así, en el sentido de los mundos de Platón, que formuló una división entre el mundo sensible y mundo inteligible. En el esquema platónico hay tres mundos relacionados:

Comparando con el esquema anterior podemos identificar los datos con el mundo material, los modelos con la mente y los principios inspiradores con el mundo de las ideas platónico.

Siguiendo este argumento, hay científicos que se declaran platónicos; lo más curioso es que abundan más en las matemáticas, que siendo la ciencia exacta por definición, puede parecer al no experto que deberia ser la ciencia menos propensa a prestarse a devaneos metafísicos. En el otro extremo, el positivismo defiende que la ciencia sólo debe basarse en datos, y suelen ser sus convencidos defensores los biólogos.

Los modelos han de ser lógicos para ser útiles

Parece muy evidente la exigencia de que los modelos científicos deban seguir las leyes de la lógica, ésto es, que puedan servir para enunciar proposiciones que han de poder ser ciertas o falsas, y que puedan combinarse, contradecirse o implicarse entre ellas. Por ejemplo, la proposición “un objeto dejado caer desde una altura de 100 metros llegará a la superfície terrestre en aproximadamente 4,5 segundos” ha de poderse verificar (lo haríamos con la teoria de la gravitación de Newton o de Einstein, dependiendo de la precisión requerida) y resultará ser o cierta o falsa. Posteriormente podríamos comprobarlo realizando el experimento, pero ésto no es necesario para establecer la coherencia lógica de una teoria. Por tanto el que un modelo sea tratable con la lógica es uno de los principios inspiradores que hemos mencionado, independientemente de los datos.

Lógica, sí , pero ¿cual lógica?

Desde Aristóteles hasta prácticamente la actualidad la ciencia se ha apoyado en la denominada lógica bivalente, en la cual una proposición sólo puede ser verdadera o falsa. Pero modernamente se han formulado otros paradigmas lógicos que se han revelado útiles en distintos campos del conocimiento. Citaremos la lógica trivalente, con tres posibles clasificaciones en la que una proposición puede ser verdadera, falsa o indefinida, la lógica polivalente, con "n" posibles clasificaciones, o la lógica difusa, con sólo dos valores pero dependientes entre sí. Ésta última lógica se aplica con éxito en inteligencia artificial, y la encontramos en dispositivos tan mundanos como son los sistemas de foco automático en cámaras fotográficas o en electrodomésticos.

Las matemáticas no se pueden reducir a lógica

Hablando en términos generales, la ciencia está enlazada con la lógica a través de las matemáticas, y éstas estan fuertemente orientadas a la lógica bivalente. En particular, la metodologia de demostración de teoremas denominada “de reducción al absurdo”, profusamente utilizada, se basa en la bivalencia. Ahora bien, a principios del siglo XX algunos de los más brillantes matemáticos (Russel, Whitehead, Cantor, …) intentaron ajustar a la lógica bivalente todos los fundamentos de las matemáticas, ¡y el resultado fue el fracaso! Una amena descripción la proporciona el cómic Logicomix del cual hay una reseña en este blog. Y todo parece indicar que no será posible conseguirlo nunca (ver por ejemplo los teoremas  de incompletitud de Gödel). Claro que hay ramas de la matemática que estan usando lógicas alternativas, como la matemática borrosa y sus aplicaciones a la economía, pero todo el aparato matemático clásico (álgebra, geometria, cálculo diferencial,...) es bivalente.

Estamos por tanto ante una situación un tanto paradójica:

• Exigimos a la ciencia que tenga una fundamentación lógica como premisa
• En general, introducimos la lógica en los modelos científicos usando matemáticas
• Pero la mayor parte de las matemáticas no tiene un fundamento lógico bien definido, al menos con la lógica clásica bivalente

¿Quizá la solución sea incorporar en el futuro en toda la matemática las lógicas modernas?

Logicomix: an epic search for truth

Leí este sensacional cómic el pasado mes de junio. Supe de él por la sección de cultura del periódico, y desde el primer momento pensé que pintaba bien, asi que lo busqué por Internet i lo encargué a una libreria inglesa en la versión original. Y no me defraudó, al contrario. De hecho yo ya habia leído con interés algunas publicaciones de Bertrand Rusell, tengo algún libro suyo per casa, así que sólo por eso el cómic ya me llamaba la atención, pero como decia, superó con mucho mis expectativas.

La línea argumental nos lleva desde la juventud de Russell, cuando su obsesión era la búsqueda de la verdad, de la verdad matemática para ser exactos, que centró en la lógica. Conforme avanzamos, vemos que esa búsqueda se imbrica con los fundamentos de la matemática y aparecen algunos de los grandes matemáticos de la primera mitad del siglo XX: Hilbert, Frege, Cantor, Whitehead, Poincaré, Gödel ... todos ellos tienen una participación en esa búsqueda de la verdad. En este nivel, la matemática se solapa con la filosofia, de modo que también participan algunos filósofos y sus ideas, como Ludwig Wittgenstein.

El mérito de Logicomix es que consigue introducir al neófito en la comprensión de los grandes avances de la matemàtica del siglo XX de forma amena, a la vez que muestra el viaje vital de Russell, desde su más bien triste infancia, pasando por sus diversos amorios, las dos grandes guerras, su pacifismo militante que le valió pena de cárcel, hasta su vejez, en la que realiza que su búsqueda de la verdad absoluta no ha sido todo lo fructífera que deseaba. 

Además, en mi caso particular he de reconocer que en buena parte comparto la inquietud de Russell por descubrir dónde está la línia divisoria entre verdad y falsedad; no solo tiene implicaciones filosóficas y morales, sino también científicas y técnicas. Hay todavia múltiples debates abiertos en este sentido; ¿puede un autómata reconocer la verdad? ¿se puede automatizar la demostración de teoremas matemáticos (como la del Teorema de Pitágoras, a² + b² = c², en la figura)? cuáles son los límites de la inteligéncia artificial? el reconocimento de la verdad, ¿sólo puede hacerlo un ser consciente?