La realidad cuántica

"Procura, pues, desviar tu corazón de lo visible y traspasarlo a lo invisible..."

Imitación de Cristo

Tomás de Kempis (siglo XV)

En la serie de posts "Entendiendo la mecánica cuántica" (partes I, II, III y IV) hemos repasado los hechos básicos de la teoría cuántica. En este post pretendo tratar, brevemente, las implicaciones filosóficas de la teoría, fundamentalmente respecto a la noción científica de realidad.

Realismo físico y objetividad

La postura respecto a la realidad de la mayoría de científicos consiste en postular que la naturaleza posee una realidad objetiva independiente de nuestras percepciones o de nuestros instrumentos, de modo que el objeto de la ciencia es describir esa realidad objetiva. Por otra parte las teorías platónicas sostienen que la realidad nunca podrá entenderse por ninguna teoría basada en la experiencia.

La postura científica expuesta usa el concepto de objetividad: es objetiva toda afirmación que sea válida para cualquier observador. Esta definición tiene alguna ambigüedad, ya que recurre a un observador, en principio un ser humano, para poder definir la realidad objetiva; esto pone al observador en una posición privilegiada como el validador de la realidad, y además obliga a distinguir entre observadores válidos y no válidos, por ejemplo exigiendo que tengan sentido común para entender lo observado. Por ello llamaremos objetividad débil a esta definición.

El principio de objetividad fuerte postula que toda afirmación respecto a la naturaleza debería ser independiente de los observadores, en el sentido de que no hará ninguna referencia a ellos, no los necesita. Ésta es la postura mayoritaria en la ciencia: las leyes de la ciencia describen la naturaleza en términos de objetividad fuerte.

La realidad fragmentada de la ciencia clásica

Es también habitual en la ciencia tener la visión analítica del Universo en la cual éste se descompone en un número inmenso de elementos simples, que pueden estudiarse por separado. Cada elemento ocupa en cada instante de tiempo un lugar definido en el espacio, y puede interactuar con los otros elementos de forma predecible. Es una visión atomista que llamaré postulado de la fragmentabilidad. Por ejemplo la teoría de campos electromagnéticos de Maxwell postula que un campo tiene unos valores en el tiempo y en el espacio que pueden cambiarse "aquí y ahora" sin afectar a los valores del campo en posiciones suficientemente lejanas, y por tanto sostiene la fragmentabilidad de la realidad.

Es interesante señalar que la fragmentación que propone la ciencia analítica probablemente esté relacionada con el funcionamiento básico de nuestra mente, que trabaja fundamentalmente así, descomponiendo la realidad en objetos independientes. Escribí sobre esto en un post anterior: ¿La mente está orientada a objetos?

Entonces, podríamos aventurar que la ciencia ha sido como es, con una visión fragmentada de la realidad, debido a que nuestra mente trabaja de forma natural de esa forma; esto es importante, pues la realidad en sí no tiene porqué ser fragmentable, con lo cual la ciencia nos estaría ofreciendo una visión distorsionada de la realidad. Probablemente es esto lo que sucedió hasta el descubrimiento de la Física cuántica, que nos forzó a revisar nuestro concepto, firmemente establecido hasta ese momento, de un Universo compuesto por fragmentos relativamente independientes.

Los límites de la fragmentación de la materia: Leibniz y Kant
El razonamiento filosófico ya hace milenios que trabajaba con el concepto de fragmentación de la realidad, de sus posibilidades y límites. Por razonamientos puramente filosóficos, Demócrito ya postuló los atomos, que consideró indivisibles e indestructibles, como componentes básicos de la materia, y desde el siglo XIX que sabemos que estuvo acertado en general, ¡2300 años más tarde! El proceso por el que llegó a tal conclusión en parte seguro que fue empírico, en el sentido de que observó las incesantes transformaciones de la materia, y como se formaban nuevas sustancias a partir de combinaciones de otras, en un proceso contínuo. Una forma eficaz de explicarlo era postulando los átomos como constituyentes de todo, y toda materia estaría formada por las virtualmente infinitas combinaciones posibles de esos átomos.

Claro que, con los átomos, también persistía un problema filosófico: ¿qué los hacía indestructibles? ¿Por qué tenían que serlo? ¿De qué estaban constituidos para ser eternos e indestructibles?

En la teoría filosófica conocida por la monadología de Leibniz (para ver el razonamiento completo teneis por ejemplo el post substancias simples y compuestas) se postula que todo es compuesto o simple (indivisible), y por un razonamiento lógico se infiere que "toda substancia simple ha de se inmaterial y por tanto espiritual". En cambio Kant usando el mismo postulado  concluye que incluso las partes simples también deben ocupar un espacio, y siendo el espacio siempre divisible,  lo simple será divisible, y por reducción al absurdo, concluye que no existen las sustancias simples indivisibles.

La función de onda cuántica, ¿podría ser la "substancia simple" filosófica?
A principios de siglo XX lo indivisible creíamos que era el átomo, pero posteriormente los aceleradores de partículas han sido capaces de romper cualquier elemento constituyente de la materia, átomos, núcleos, partículas, todo. Así que parecía que era Kant quien tenía razón: no hay substancias simples indivisibles.  ¿Queda algo indivisible? Lo que nos queda como indivisible es algo sutil, como no  podía ser de otra manera: las funciones de onda cuánticas (ver si es necesario Entendiendo la mecánica cuántica III), que son a mi parecer los candidatos actuales a "substancias" simples, no materiales, indivisibles, espirituales según Leibnitz. Por combinación de funciones de onda  se forman estados compuestos, los cuales a su vez se combinan infinidad de veces para formar los objetos de nuestro mundo macroscópico habitual.

Además, las funciones de onda invalidan  la argumentación de Kant, según el cual las partes simples deben ocupar un espacio y por tanto serán divisibles, pero con las funciones de onda cuánticas es justamente al contrario: su caracter es no-local, ocupa todo el espacio, y por ello no puede ser dividido.  En cambio los estados compuestos por superposición de ondas, como más complejos son, más localizados en el espacio están; en el límite macroscópico estan muy localizados.

Se puede objetar que la función de onda es meramente un instrumento matemático sin existencia real y por tanto no puede ser considerada como el componente básico de la materia. Ésta es una confusión típica: la función de onda efectivamente tiene una expresión matemática que usamos para los cálculos, pero a la vez es la conceptualización de algo real que está allí, con lo que se puede interactuar en el laboratorio, y de hecho el nacimiento de toda la teoría cuántica fue experimental, no teórico ni filosófico. Se encontró que la naturaleza del mundo subatómico era no fragmentada.

Los límites de nuestro conocimiento de la realidad

Tenemos que toda la ciencia, excepto la Física cuántica, usa el postulado de la fragmentabilidad, y supone tambien cierto el principio de objetividad fuerte. El mundo cuántico no respeta ninguno de estos postulados: la no localidad implica la no fragmentabilidad, y además pierde sentido la noción de observador independiente de lo observado, pues la función de onda cuántica del objeto se superpone con la del observador, son no separables. Es por estas razones que se suele decir que no podemos entender realmente la Física cuántica. La forma "estándar" de afrontar esta "extrañeza" del mundo subatómico es la conocida por interpretación de Copenhague que nos dice que renunciemos a tener más conocimiento de la realidad más allá de la probabilidades que permite calcular la matemática de la mecánica cuántica. Han habido numerosas objeciones y contrapropuestas a esta concepción, entre las cuales destacaré la de David Bohm (en este blog he tratado de su teoría en diversas ocasiones).

Realismo no físico y teoría cuántica de campos

Recapitulando, tenemos que la ciencia ha conseguido analizar y dividir la materia hasta un grado impresionante (recordemos que un átomo tiene un tamaño típico de 10⁻⁸ cm, y que su núcleo es 10.000 veces menor), pero en ese proceso de división y análisis de los fragmentos resultantes, ¡ha llegado a perder los fragmentos! En efecto, las partículas muestran propiedades ondulatorias, lo cual implica que estan dispersadas por el espacio, ilocalizables, y lo que es peor, con posibilidad de interactuar instantáneamente desde lugares arbitrariamente alejados, algo más bien inconcebible según la ciencia clásica.

En un campo cuántico localmente se producen partículas, más o menos estables, que interactúan con la radiación y con elpropio campo.¿Qué son estas partículas realmente? Recordemos que son los constituyentes de toda la materia que nos rodea (y que nos forma). Pero por otro lado tenemos que, cuando estan aisladas, se deslocalizan, y sólo adquieren una posición cuando interactuamos con ellas en el proceso llamado medición. Dicho sea de paso, también hay teorías que relacionan este proceso de localización con la conciencia del sujeto que realiza la medición. La medición proporciona magnitudes, pero debido al principio de indeterminación, no podemos obtener el conocimiento simultáneo de ciertos pares de magnitudes, como la posición y la velocidad. Entonces cuando interactuamos con la partícula, sólo podemos obtener un conocimiento limitado de ella, de forma que para el experimentador tal partícula se reduce a algunas magnitudes denominadas observables, que estan relacionadas con propiedades, pero ¿propiedades de qué?

Campo cuántico: partículas = modos locales

En los anteriores posts hemos hablado de la mecánica cuántica a un nivel básico; modernamente se ha desarrollado la teoría, y se han formulado variantes especializadas. La más general es la teoría cuántica de campos. En esta teoría, bien fundamentada en la actualidad, una partícula no es más que una propiedad de una realidad inmaterial, un modo de vibración de un "algo" subyacente, informe e ilimitado, que matemáticamente representamos con un campo: una regla de correspondencia que asigna unos valores a cada punto del espacio-tiempo. Vemos así que la investigación, lejos de resolver la pérdida de la objetividad y la localidad, al contrario, disuelve aún más los componentes de la materia considerándolos meramente propiedades observables de una realidad inmaterial que se extiende por todo el espacio. El gran reto de la Física del siglo XXI consiste en conseguir que esta teoría abarque a la gravedad y la relatividad general; es opinión generalizada que la gravedad debe ser cuantizada, y por tanto también el espacio-tiempo.

Ser

Recreación artística del ser ocupando todo

La física a partir del siglo XX nos ha mostrado que el objeto no es el ser. Ya se había filosofado sobre este tema ampliamente en la antigüedad; lo que no podían prever los filosófos es que finalmente se solucionaría la cuestión (metafísica) del ser y su materialidad o inmaterialidad de la mano de una ciencia experimental. Por esta razón creo (siguiendo a Bernard d'Espagnat) que hoy en día no se puede pensar sobre el mundo y su realidad para formarse una idea no superficial sin un conocimiento de la Física. Además el ser es no-separable y ocupa todo el espacio. Es curioso constatar en este punto la semejanza con ciertas concepciones místicas y de las filosofías orientales, que desde la antigüedad postulan que sólo hay un único ser; alguna cosa al respecto he escrito en el post Mística y ciencia. Quizá estas conclusiones no sean del agrado de ciertas mentes analíticas, en las que está instalado el materialismo, pero es lo que hay, o quizá mejor será decir es lo que és.



Bibliografía

• Bernard d'Espagnat: En busca de lo real. Alianza Universidad.
• Henry Margenau: La naturaleza de la realidad física. Tecnos.

Entendiendo la mecánica cuántica (IV)

"Su teoría es disparatada, pero no lo suficientemente disparatada para ser verdad."

Niels Bohr

En los tres post anteriores de este monográfico de mecánica cuántica vimos la dualidad onda-partícula, la cuantización de la energía, el principio de incertidumbre y el colapso de la función de onda. Ahora trataremos sobre cuando tenemos que aplicar la mecánica cuántica y cuando la clásica, veremos el principio de exclusión y sus consecuencias, y la misteriosa propiedad de "no localidad" que presenta el mundo cuántico. Con todo este material podremos discutir las profundas implicaciones que tiene la teoría cuántica en la comprensión de la realidad física.

El mundo clásico como límite del cuántico

De lo dicho hasta ahora, ondas de probabilidad, cuantización, principio de incertidumbre, parece seguirse que el mundo de lo muy pequeño sigue unas leyes diferentes de nuestro mundo habitual, pero no es así. De la misma forma que la teoría de la relatividad tiene efectos despreciables a velocidades muy inferiores a la de la luz, pero va cobrando importancia cuando consideramos velocidades mayores, también ocurre lo mismo con la mecánica cuántica, que tendrá efectos progresivamente más importantes a medida que los objetos que consideramos se reducen en masa y tamaño.

Por ejemplo, consideremos el principio de incertidumbre de Heisenberg que mencionamos en la parte III, que como decíamos prohíbe el conocimiento simultáneo de ciertos pares de magnitudes, como la posición y la velocidad. Matemáticamente podemos expresarlo en la forma

donde x es la posición, p es la cantidad de movimiento (que es igual al producto de la masa m por la velocidad v) y es la constante de Planck h dividida por 2π, que en el sistema internacional de unidades tiene un valor de 6,6·10⁻³⁴ J·s .  Observemos que la fórmula relaciona las incertidumbres de las magnitudes, de ahí los símbolos en forma de triángulo Δ. La constante h tiene un valor realmente pequeño: pensemos en un grano de arena fina, de diámetro 0,06 mm y 0,67 mg de peso, y con una indeterminación (error de medición) del 1%;  con estos valores la fórmula nos dice que la indeterminación en la velocidad  del grano de arena es de 7·10⁻²³ metros por segundo, o sea 0,00000000000000000000007 m/s,  un error absolutamente despreciable. Dicho de otro modo, podemos determinar la velocidad del grano de arena con una precisión prácticamente del 100% (del 99,99999999999999999999993%). También podemos visualizar lo pequeño de este error en la determinación de la velocidad pensando que un objeto que se moviese a 7·10⁻²³ m/s tardaría en avanzar un milímetro... ¡unos 5.000 millones de años!

Por otra parte si consideramos un electrón, moviéndose en una órbita de diámetro de dimensiones 10⁻⁸ cm, con una masa 9·10⁻²⁸ gramos, nos resulta una incertidumbre en la velocidad de unos 10⁶ metros por segundo, esto es ¡1000 kilómetros por segundo! Dicho de otra manera: si determinamos la posición no podemos tener ni idea de la velocidad del electrón.

Paquetes de ondas, estados cuánticos puros y compuestos

Paquete de ondas: hay oscilación apreciable
sólo en una región Δx, fuera de ella es
despreciable.

La relación de incertidumbre puede expresarse gráficamente imaginando que una partícula cuántica es una superposición de ondas tal que produce un paquete de ondas, una onda que tiene amplitud distinta de cero solo en cierta región pequeña del espacio; esta región se mueve con el tiempo, y podemos imaginar que se corresponde con la posición de la partícula, de hecho la partícula es el paquete de ondas. La indeterminación en la posición se corresponde con la anchura del paquete. En la figura la línea de puntos roja delimita la envolvente del paquete,  que se desplaza por el espacio con la denominada velocidad de grupo del paquete.

Superposición de ondas

Matemáticamente los paquetes de onda se forman por superposición de ondas distintas que interfieren entre sí.  Físicamente se denominan estados puros a las ondas componentes que al combinarse forman los estados compuestos, representados por paquetes de ondas. Cada estado puro tiene asociada una función de onda cuántica, y el estado compuesto es la suma de funciones de onda.
Hay una relación entre estos estados y el proceso de medición: si en un sistema en estado puro se efectúa una medición, el sistema pasa a estar en un estado compuesto: la medición destruye el estado puro. Por ejemplo  un electrón libre, antes de efectuar mediciones,  está en un estado puro, con una función de onda "simple" que se extiende por todo el espacio; en el momento de medirlo le forzamos a comportarse como partícula, con lo cual se convierte en un paquete de ondas localizado que es una mezcla de estados puros.

De la mecánica clásica de Newton a la mecánica cuántica

La ecuación fundamental de la mecánica de Newton relaciona la masa m  y la aceleración a de una partícula con la fuerza F que la impulsa, variable según la posición x:

F(x) = m·a(x) = m·d²x/dt² ,

donde hemos expresado la aceleración como la segunda derivada de la posición. Por otro lado la dinámica cuántica está determinada por la ecuación de Schrödinger que es

Hφ = i·h·dφ/dt,

donde φ es la función de onda de la partícula, relacionada con la probabilidad de encontrarla en una cierta posición,  H es el operador de Hamilton, relacionado con la energía de la partícula, y dφ/dt es la variación de φ con el tiempo. Con un poco de matemáticas que no detallaremos, esta ecuación se transforma en

F(X) = m·A(X) = m·d²X/dt²,

idéntica a la de Newton pero con los parámetros X, A que representan los valores medios de la posición x y la aceleración a. Esto tiene sentido pues trabajamos con probabilidades. Cuando lo aplicamos a un objeto grande, la onda tiene una posición definida y una probabilidad cercana al 100% de estar en esa posición, así que el valor medio coincide con el valor observado. De esta forma la mecánica clásica trabaja con valores medios muy estables y definidos, mientras que en la cuántica los valores oscilan según marcan las probabilidades dadas por la función de onda.

Evolución del paquete de ondas con el tiempo

Decíamos que el operador H está relacionado con la energía; supongamos que ésta sea constante, o sea independiente del tiempo. Entonces la ecuación de Schrödinger  que describe la evolución con el tiempo de la onda φ(x,t) al resolverla nos dice que, si el paquete de ondas está libre (no confinado), se irá expandiendo hasta ocupar todo el espacio, dejando de ser un paquete de ondas para convertirse en una onda libre. A este fenómeno se le llama difusión del paquete de ondas. En la práctica significa que, después de haber localizado una partícula con una medición, al pasar el tiempo la partícula vuelve a exhibir un comportamiento ondulatorio y le perdemos la pista: ya no podemos predecir su posición en el futuro, sólo la probabilidad de que esté en una posición.

Expansión de una función de onda libre con el tiempo t: inicialmente la probabilidad de
encontrar la partícula está confinada a una región estrecha, pero la evolución con
el tiempo predicha por la ecuación de Schrödinger va ampliando la región y finalmente
ocupará todo el espacio.

El principio de exclusión

Números cuánticos

El principio de exclusión fue descubierto por Pauli en 1925, resolviendo muchos problemas técnicos importantes de la época como por ejemplo  los detalles de la estructura atómica o de la valencia química. Pauli descubrió el principio en relación a los electrones, enunciando que no más de dos electrones de un átomo no pueden tener el mismo estado de movimiento. Este “estado” se definía en esa época con tres números, los números cuánticos: la distancia al núcleo (n), la medida de su momento angular (l) y un número que mide la orientación de la órbita del electrón en el espacio(m). En la figura se ilustra como afectan a la órbita los números l y m para un n fijado.

Así, en el Helio sus dos electrones tienen el estado (n,l,m)=(1,0,0), mientras que en el Litio, con tres electrones, no podemos tener el tercer electrón en el mismo estado (1,0,0), ha de ocupar el siguiente estado libre.

Posteriormente se añadió un cuarto número cuántico para describir la rotación del electrón alrededor de su propio eje, el denominado espín (s), con lo que el estado quedó definido por (n,l,m,s). De este modo, el principio de exclusión adoptó una forma más precisa: dos electrones de un átomo no pueden tener el mismo  conjunto de números cuánticos (n,l,m,s). En esta formulación, el principio permitió avanzar en el conocimiento de la estructura electrónica de los átomos, en el fundamento de la valencia química y en la espectroscopia y el magnetismo.

¿Pero porqué solo afecta a los electrones de un núcleo? Imaginemos que dos átomos están “cerca” (como sucede cuando forman una molécula), ¿como sabe un electrón que ha de obedecer al principio de “su” átomo y no al del vecino? Lo que sucede en realidad es que en este caso de proximidad de dos átomos se formulan números cuánticos relativos al conjunto de átomos, que son diferentes al de un átomo aislado, y el principio de exclusión se aplica entonces a todos los electrones en conjunto.

Otra generalización posterior estableció que la exclusión afecta a todas las partículas elementales que pertenecen a la clase denominada fermiones, los cuales son los constituyentes básicos de la materia; no se aplica en cambio a la otra clase existente de partículas, los bosones, que actúan como portadoras de fuerzas (por ejemplo es un bosón el fotón, el componente cuántico de la luz).

Cuasifuerzas y antisimetria
El principio de exclusión junto con la repulsión eléctrica impide que los átomos se interpreneten, ya que cunado los números cuánticos están ocupados por electrones ya no podemos añadir ninguno más. Esto sugiere que está en juego alguna fuerza repulsiva.

Usando funciones de onda y probabilidades, sean dos partículas materiales A y B con funciones de onda u(A) y v(B) . Las probabilidades de encontrar A y B  en las posiciones x(A) y x(B)  vienen dadas por u²(A) y v²(B) respectivamente. Según las reglas usuales de las probabilidades, la probabilidad de encontrar A en x(A) y B en x(B) simultáneamente es el producto de probabilidades u²(A)·v²(B) siempre que A y B sean independientes. Entonces si consideramos A y B como un sistema único de dos partículas, su función de onda sería

w(A, B) = u(A)·v(B)

Pero esta función conjunta de A y B no satisface el principio de exclusión, o sea que la naturaleza no se comporta así con las partículas materiales; hay que modificar la función para que adopte esta otra forma:

w(A,B) = u(A)·v(B) - u(B)·v(A)

Si las partículas A y B fueran idénticas en el sentido de tener el mismo estado  u(A) = v(B), es fácil ver que w(A,B) = 0 y por tanto la probabilidad de encontrar el sistema en cualquier posición sería cero. Esta es otra forma de enunciar el principio de exclusión. La función w(A,B) se dice que es antisimétrica debido a que si intercambiamos A y B obtenemos w(B,A) = - w(A,B).

Probabilidades de los estados de un sistema
de dos partículas que obedece al principio de
exclusión: en la diagonal estan los estados
idénticos con probabilidad nula, y en los
extremos los estados totalmente distintos con
mayor probabilidad.

Fijémonos en el detalle de que en la ecuación las partículas A y B se intercambian sus funciones u y v. Además, en cuanto a probabilidades, la fórmula implica que A y B no son independientes, hay una interacción entre A y B. Además, usando las expresiones de las funciones de onda en w(A,B) y realizando operaciones se llega a que es imposible (probabilidad = 0) que las partículas lleguen a juntarse, y tampoco pueden tener la misma velocidad. Así, dos partículas en principio libres se "evitan" entre sí, y el efecto parece que sea una fuerza de repulsión. Pero hay un detalle sutil: no podemos incorporar esa fuerza a la función de onda de la partícula, surge de la antisimetría impuesta por el principio de exclusión.
Podemos comparar el concepto con el de la fuerza de la gravedad en la teoría de la relatividad general: surge como consecuencia de la geometría del espacio-tiempo. Por esto las llamamos "cuasifuerzas". Tanto la cuántica como la gravedad, ¡se deducen de propiedades matemáticas!

 La "no localidad"
Podríamos pensar que los efectos del principio de exclusión son locales, en el sentido de que tiene efecto sólo cuando las partículas están cercanas; han habido intentos de explicar este principio cuántico y los demás acudiendo a teorías de variables locales "ocultas", que explicarían todo en términos de interacción local (cercana) pero que no hemos podido detectar aún (ocultas).

Pero no es así: el físico John S. Bell enunció y demostró su teorema que viene a decir:

"Ninguna teoría física de variables ocultas locales puede reproducir todas las predicciones de la mecánica cuántica"

El teorema implica que debemos aceptar que hayan interacciones a distancias arbitrarias entre partículas cuánticas, y estas interacciones han de ser instantáneas. Para entender la implicación de esta afirmación, supongamos que dos partículas que forman un sistema con función de onda w(A,B) (técnicamente diremos que tienen entrelazamiento cuántico) empiezan a separarse una de otra a toda velocidad, y eventualmente llegan a estar separadas por kilómetros de distancia; a pesar de ello, siguen formando un sistema entrelazado, de tal manera que ciertas mediciones efectuadas en una de las partículas, ¡afectaran instantáneamente a la otra! Esto será así independientemente de la distancia que las separa. Este hecho fue confirmado por Alain Aspect en una serie de experimentos.

Conclusiones
En los cuatro posts de esta serie dedicada a entender la mecánica cuántica hemos expuesto con un mínimo de matemáticas los fundamentos de la teoría. El próximo post será "menos físico" y más "filośofico", en el sentido de intentar mostrar las implicaciones de toda la teoría de cara a nuestro conocimiento de la realidad física.

Entendiendo la mecánica cuántica (III)

"Dios no juega a los dados con el universo"

Albert Einstein 

"Einstein, deje de decirle a Dios lo que tiene que hacer"

Niels Bohr, respondiendo a Einstein.

En la primera parte vimos los experimentos que llevaron a la idea de la dualidad onda-partícula, y en la segunda parte vimos porqué necesitamos la cuantización de la energía para entender la estabilidad de los átomos y el equilibrio entre materia y energia. Estas dos teorías, dualidad  y cuantización, parecen independientes, pero podemos relacionarlas, con lo cual obtendremos mayor comprensión.

Ondas libres y ondas estacionarias

Onda material libre (fuente: Wikipedia)

Una onda material, como por ejemplo las ondas en la superfície del agua, transmite un movimiento oscilatorio a las partículas a la que afecta, determinando la amplitud y la frecuencia de la oscilación. En la figura vemos una onda "cortada" en la dirección de propagación; la partícula se representa por el punto azul. Estamos suponiendo que la onda no encuentra ningún obstáculo para propagarse y que además no se atenúa.

Onda estacionaria (fuente:http://electron9.phys.utk.edu) 

Cuando la onda está confinada en un recipiente (pensemos en una piedra que dejamos caer en una balsa de agua) no puede propagarse libremente sino que rebota contra las paredes y retrocede; entonces los frentes de onda que retroceden interfieren con los que avanzan. Dependiendo de los parámetros en juego (dimensiones del recipiente, longitud de onda=distancia entre crestas) puede darse el caso de que la interferencia produzca oscilaciones estacionarias, en las que cada punto oscila siempre con una amplitud que va desde cero hasta un máximo.

A diferencia de las ondas libres, en las que todos los puntos oscilan con la misma amplitud, en la onda estacionaria hay puntos, denominados nodos, en los cuales la amplitud es cero, esto es, quedan inmóviles. El número de nodos también depende de los parámetros del sistema oscilante. Es un fenómeno bien conocido (y aprovechado) en acústica y en los instrumentos musicales, tanto de cuerda como de viento; en los instrumentos de viento las vibraciones son del aire, dentro de los tubos del instrumento, que hacen el papel de recipiente.

Las ondas estacionarias también pueden producirse con campos electromagnéticos; en este caso ya no podemos visualizar partículas oscilando, son los propios campos eléctrico y magnético los que oscilan, podiendo confinarlos en un recipiente aislante (dieléctrico). Una aplicación técnica son las guías de onda que mediante ondas estacionarias confinadas en una estructura  permiten transmitir señales electromagnéticas con una baja disipación.

Ondas estacionarias de probabilidad
Volvamos a la mecánica cuántica: recordemos que la dualidad onda-partícula se resolvió matemáticamente postulando que cada partícula tiene asociada una onda que nos permite calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en una posición en cada instante, esto es, una onda de probabilidad. La evolución temporal de esta onda viene dada por la ecuación de Schrödinger.

Para una partícula confinada en un recipiente, la solución de la ecuación produce probabilidades nulas para ciertas posiciones; podemos comparar la situación con las ondas estacionarias: es como si la onda de probabilidad "rebotara" en las paredes e interfiriera consigo misma, creando nodos estacionarios con amplitud de onda nula, que equivale a decir con probabilidad nula de que la partícula se sitúe en los nodos.

Si consideramos que el átomo es una forma de confinamiento de los electrones que contiene, tenemos que el electrón no podrá ocupar cualquier posición (órbita) sino sólo las permitidas por las ondas estacionarias de probabilidad que se generan al confinarlos. Es una explicación de porqué sólo se permiten ciertas órbitas electrónicas (y las energías asociadas) en los átomos. Esto nos permite relacionar las ondas de probabilidad que modelan las ondas-partículas con la cuantificación de la energía del átomo. Claro que en el caso de las ondas de probabilidad todo es más abstracto, como veremos a continuación.

Función de onda y su colapso en la medición

Pero, ¿qué es una onda de probabilidad? Es un ente matemático abstracto, que se denomina función de onda ,  un vector pero no de números reales sino de funciones definidas en un espacio de Hilbert H que representa los posibles estados físicos de la partícula o del sistema de partículas en consideración. La probabilidad de encontrar la partícula en un estado (posición, velocidad, energía, ...) se encuentra calculando el módulo del vector . El aparato matemático puede asustar un poco al no especialista, pero el concepto sí podemos tenerlo claro: se trata de reflejar matemáticamente la realidad experimental, que hemos visto que es extraña, con partículas sin trayectoria definida interfiriendo consigo mismas como si fueran ondas distribuidas por el espacio.

Colapso de la función de onda: al efectuar
una medición, por ejemplo de la posición,
la función de onda reduce su extensión al
punto resultado de la medición, "forzando"
a la partícula a tomar ese estado definido.

Un aspecto importante de la función de onda es que, como decíamos, nos da la probabilidad de encontrar al sistema en un cierto estado; pero para "encontrar" algo debemos buscarlo, y en este contexto esto equivale a realizar una medida sobre el sistema, para saber su posición, velocidad, energía, etc. Pues bien, al medir forzamos al sistema, que hasta ese momento estaba indefinido, pues sólo sabíamos de él por su función de onda, o sea por probabilidades, lo forzamos a definirse; ya no hay probabilidades, sino valores resultado de la medición. Si no tenemos probabilidades, no tenemos función de onda, se colapsa.
Por ejemplo, si medimos la posición de la partícula, la función de onda dispersa por todo el espacio colapsa para producir un valor de la posición. Por ejemplo, en el experimento de la doble rendija que consideramos en la primera parte para presentar la dualidad onda-partícula, la función de onda colapsa cuando la onda llega a la pantalla, ya que la obligamos a definir la posición en que la partícula choca con la pantalla.

El colapso de la función de onda ha traído numerosas interpretaciones y consecuencias que repasamos a continuación.

El principio de incertidumbre
Una consecuencia de la medición y su efecto en la función de onda es que las propiedades que estamos acostumbrados a medir en nuestro mundo macroscópico no existen realmente, en el sentido de que no están definidas hasta que las medimos. Pero al medir colapsamos la función de onda, lo cual implica que nos quedamos sin la información que nos daba del estado del sistema, de hecho solo nos queda la magnitud medida. Por ejemplo, si medimos la posición de una partícula, perdemos todos los restantes parámetros como velocidad o energía; si medimos la velocidad, entonces sólo tendremos la velocidad, etc. Este principio, enunciado originalmente de una forma distinta, se debe a Heisenberg. Implica por tanto que nuestra capacidad de conocer el estado físico de un sistema está seriamente limitado. Más específicamente, prohíbe el conocimiento simultáneo de ciertos pares de magnitudes, como la posición y la velocidad.


La paradoja del gato de Schrödinger

Paradoja del gato de Schrödinger (Wikipedia)

Esta famosa paradoja surge cuando intentamos relacionar la función de onda, aplicable al microcosmos, con nuestro macrocosmos, y tiene que ver con los límites de aplicabilidad de la mecánica cuántica y el colapso de la función de onda. Imaginemos una habitación cerrada dentro de la cual situamos material radioactivo, un detector de radiactividad, un poderoso gas venenoso, y un gato.
El detector se activa cuando el material radioactivo emite radiación, cosa que puede suceder inmediatamente o después de un cierto tiempo, no podemos predecirlo pues es un fenómeno cuántico regido por su función de onda. El detector está conectado con una válvula que se abre cuando detecta radiación, dejando salir el gas venenoso y matando al pobre gato. No podemos ver el interior de la habitación pues está cerrada y no tiene ventanas.

En un momento dado, el que el gato esté vivo o muerto nos es desconocido, y depende enteramente de la función de onda del material radioactivo: si el detector mide radiación, se produce el colapso de la función, hay un estado definido, y el gato muere. Lo paradójico es que mientras esto no suceda, la función de onda está indefinida, y de hecho es una mezcla de estados posibles, algunos de los cuales implican que el gato está vivo, y otros implican que está muerto. De hecho según la mecánica cuántica el estado del gato está indefinido, como una "onda de probabilidad de estar vivo". Este hecho matemático se uso por los detractores de la mecánica cuántica como un argumento a favor de que la teoría está incompleta, pues produce paradojas.

Algunas interpretaciones del colapso de la función de onda
¿Qué más implica el colapso de la función de onda? Hay varias interpretaciones. La más pragmática seria decir que la función es un objeto matemático que nos da información en forma de probabilidades, de forma que cuando realmente medimos y conocemos el valor exacto, la función ha de desvanecerse pues ya no tenemos la información exacta; esta forma de verlo renuncia a dar un significado físico a la función de onda, sólo es una construcción matemática, y se la conoce como interpretación de Copenhague.

Desde otro punto de vista, la función de onda tiene un significado físico, pues puede causar interferencias, ondas estacionarias, etc., que afectan al estado real del sistema, produciendo las figuras de interferencia del experimento de la doble rendija o los niveles de energía cuánticos. Sería como el campo electromagnético, que no consideramos un objeto abstracto sino algo real con lo que se puede interactuar. Entonces ese ente físico que es la función de onda, que evoluciona según una ley física modelada por la ecuación de Schrödinger, colapsa por nuestro acto de medir: nuestra decisión de medir la posición produce una posición, si lo que decidimos es medir una velocidad entonces producimos una velocidad. De ahí que hayan interpretaciones  (Von Neumann, Wigner) que defienden la importancia de la conciencia en el acto de medir y colapsar la función de onda.

Interpretación de los muchos universos
de la paradoja de gato de Schrödinger:
el gato vive en unos universos y muere
en los otros (Wikipedia)

Aún otro modo de verlo es la interpretación de los muchos mundos, que sostiene que realmente la función de onda no se colapsa realmente, sino que en nuestro universo produce un resultado de la medida pero sigue existiendo en infinitos universos paralelos en los que no se ha realizado esa medida. Puede parecer una interpretación demasiada fantástica, pero de hecho está bien argumentada y es coherente.


Conclusiones
En esta tercera entrega hemos relacionado los hechos empíricos de la dualidad onda-partícula y los niveles energéticos de los átomos usando las funciones de onda, pero nos quedan abiertos numerosos interrogantes acerca del verdadero significado de la función de onda (que es lo mismo que decir de la mecánica cuántica). En la cuarta y última entrega veremos otro misterioso aspecto de la teoría, el entrelazamiento cuántico, y intentaremos sintetizar cómo todo lo expuesto afecta a la naturaleza de la realidad física.