Revisando a Werner Heisenberg: modelos de la realidad

Acabo de leer Encuentros y conversaciones con Einstein y otros relatos, de Werner Heisenberg (Alianza Editorial), uno de los padres de la Teoría Cuántica; buena parte de lo que se explica ya lo conocía, pero hay una parte que me ha llamado la atención, que es la que resumo aquí.

Un modelo de la realidad es un sistema conceptual por el cual nos representamos la realidad o parte de ella. Pueden ser abiertos o cerrados: los abiertos están de por sí sujetos a cambios y revisiones, se consideran incompletos, mientras que los cerrados tienen un conjunto de conceptos no contradictorios entre sí y confirmables empíricamente, y por ello se consideran completos y correctos, al menos dentro de sus límites de aplicación. Se los puede considerar idealizaciones de la experiencia, pues traducen la experiencia empírica en ideaciones conceptuales. De entre los modelos cerrados, destacamos los modelos científicos, construidos usando el método científico. Con ellos es sencillo descartar propuestas que son falsas, y tienen un gran poder de convicción. 

Es muy antiguo el dilema sobre si las ideas de un modelo son tan reales o incluso más que la realidad que representan, ya Platón se decantó por dar más importancia a las ideas universales subyacentes a la realidad observada. Actualmente ya nos hemos encontrado con que, para entender la realidad física en detalle, esto es, para desarrollar modelos rigurosos, precisos, detallados, matemáticos sobre la realidad observada, acabamos invariablemente recurriendo a abstracciones complicadas, nada intuitivas y ni siquiera imaginables o visualizables. Tomemos por ejemplo un mineral; su estudio en detalle nos lleva a su estructura molecular cristalina y a su composición química, avanzando más en el detalle, la estructura cristalina nos conduce a la teoría matemática de simetrías y de grupos de Galois, y su composición química en detalle nos lleva a su composición molecular, que a su vez nos lleva a los átomos que lo componen ... ¡y el modelo actual del átomo basado en mecánica cuántica no es nada intuitivo!

Tomemos ahora el modelo de la mecánica de Newton; es un modelo científico cerrado, todo el se basa en conceptos bastante simples, masa, velocidad, aceleración, inercia, fuerzas, ... con el que se han hecho predicciones muy precisas, en un campo de aplicación muy amplio, desde mecanismos de relojería hasta el movimiento orbital de planetas. Pero no es tan simple: incluso para situaciones en apariencia simples, se necesitan matemáticas complicadas; si estudiamos el movimiento de dos cuerpos que interactúan entre sí nos encontramos con un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que puede resolverse sin grandes complicaciones, pero si añadimos un tercer cuerpo, ¡el problema resultante es realmente complicado! 

Así que lo abstracto, no intuitivo, está presente incluso en modelos aparentemente simples. Escribimos sobre ello hace algún tiempo: ¿Podemos entender la Naturaleza sin complicadas Matemáticas?

¿Podemos entender la Naturaleza sin complicadas Matemáticas?

La Matemática está presente en todas las ciencias y técnicas, desde la Física hasta la Biología, incluso en ciencias sociales tiene un aporte importante, como en Economía o en Sociología. No obstante, se considera una de las materias más difíciles de los planes de estudio. Además, la complejidad del tratamiento matemático llega a ser muy alta incluso en casos aparentemente simples, dos ejemplos tomados de la Física:

Ejemplo 1: Cuerpos en interacción gravitatoria: La ley de Newton para la fuerza gravitatoria establece que dos cuerpos de masas m y M se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a la distancia que los separa, y se expresa con una ecuación simple:

F = m·M / d²

Con la ayuda de las ecuaciones de la mecánica, se plantea el problema del movimiento de dos cuerpos aislados (si no están aislados el problema se complica más) que interactúan entre sí gravitatóriamente (conocido como "problema de los dos cuerpos"), que resulta ser no trivial, ya que su solución analítica conduce a una familia de órbitas, que son curvas planas de segundo orden (cónicas), sólo con dos cuerpos ya tenemos un problema a nivel de primer ciclo de carrera universitaria.

En general, dos cuerpos en movimiento sujetos a su fuerza mutua gravitatoria describen órbitas que son cónicas: circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas.

Ahora bien, si introducimos un tercer cuerpo (problema de los tres cuerpos), aislados para hacerlo más simple, ¡el problema se convierte en irresoluble!, y sólo podemos realizar simulaciones aproximadas por ordenador. 

Al tratar con el movimiento de tres cuerpos sometidos a interacción gravitatoria, nos encontramos con que es irresoluble matemáticamente, no podemos calcular sus trayectorias.

Ejemplo 2: Péndulo plano: si en un péndulo simple como el de la figura, esto es, con movimiento plano, con una cuerda inextensible con masa despreciable, y pequeña amplitud de oscilación,  aumentamos la amplitud, el péndulo deja de ser "simple" matemáticamente hablando, y para describir el ángulo que forma la cuerda con la vertical necesitamos usar funciones elípticas., que son funciones definidas a través de una integral (de tipo elíptico) demasiado complicada para resolverla analíticamente. Estamos de nuevo a nivel Universitario, a pesar de que el péndulo es, en apariencia, muy simple.

Péndulo simple, Fuente: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5316727

¿Hay alguna razón profunda que explique esta complejidad de la Naturaleza, que vemos incluso en casos muy simples? ¿Es acaso cierta la hipótesis neoplatónica, al afirmar que hay un "mundo de ideas" gobernando este "mundo de sombras"? Un mundo de ideas que sería muy matemático, muy complejo y muy exacto, si de él ha de emanar toda la complejidad que vemos. Veamos dos propuestas al respecto, que yo sepa, son propias, así que no puedo dar ninguna fuente bibliográfica para ellas.

Propuesta 1: la información incompleta necesita una matemática complicada

Personalmente creo que la Naturaleza es óptima, no desperdicia recursos, no hace las cosas complicadas porque sí; una posible explicación sería decir la complejidad que vemos la vemos debido a que nuestra mirada sólo ve parte del total, no es completa, y por tanto tiene que inferir desde la parte observada el comportamiento global. Esta explicación bebe de las fuentes de la Inferencia Estadística; en efecto, si queremos hacernos una idea, por ejemplo, de la intención de voto en una población de 100.000 habitantes, tomaremos una muestra, de por ejemplo 500 ciudadanos, y con sus datos inferiremos, más o menos, la intención de la población. El hecho de no tener toda la información complica las cosas: incluso para escoger cuales de los 100.000 habitantes van a ser encuestados tendremos que usar técnicas de muestreo estadístico, y después para estimar la intención de voto general necesitaremos las técnicas de Estadística Inferencial.

Estadística inferencial: técnicas matemáticas para poder escoger una muestra pequeña  que sea representativa de toda una población grande, y usarla para obtener conclusiones válidas de toda la población en estudio.

Está claro que, si encuestamos a todos los 100.000 habitantes, la complejidad se reduce a cero, pues tenemos todos los datos, no nos hace falta todo ese instrumental estadístico, aunque el coste puede ser inasumible en la práctica. En la ciencia en general ¿podemos encontrarnos en una situación parecida? Los datos experimentales no nos darían toda la información real disponible, por lo que para inferir regularidades, leyes, etc, necesitamos un aparato matemático potente.

 

Propuesta 2: Las leyes naturales son simples, nuestro enfoque es el complicado

Nuestra mente lo quiere controlar todo para que actúe en nuestro provecho; así, no nos basta con saber que el aire, pese a ser tan tenue, al moverse a gran velocidad puede generar una gran fuerza, queremos saber los detalles para ser capaces de fabricar molinos eólicos, alas de aviones, etc. Tampoco nos basta con saber que hay una fuerza natural intangible llamada electricidad que se manifiesta en las tormentas eléctricas, queremos controlarla hasta el punto de saber almacenarla, producirla y aprovecharla en motores eléctricos, en iluminación, etc.

Este control preciso requiere situarlo todo en unas coordenadas de espacio y de tiempo, así como conocer las leyes que, dadas unas causas, producen posteriormente unos efectos. La Naturaleza, de por sí, no calcula nada, no hay ningún "reloj cósmico" que va marcando unos tiempos a un "ordenador cósmico" el cual va produciendo efectos  a partir de las causas preexistentes. Hay unas leyes naturales, eso seguro, pero no tienen una expresión matemática (recordemos que estamos en la propuesta 2, no estoy afirmando, sino proponiendo); es cuando queremos colocar esas leyes en el marco de nuestro familiar espacio y tiempo cuando obtenemos complicadas leyes matemáticas. Nosotros hemos inventado el pensamiento matemático, la Naturaleza no lo necesita para nada, pues no hay ninguna mente racional dirigiendo los sucesos, simplemente suceden. Este enfoque está muy relacionado con el que expuse anteriormente en mi serie de artículos sobre el génesis y la evolución, especialmente en el último artículo, Génesis (III): ¿evolución o creación?.

Ciencia divulgativa

Quizás debido a esta complejidad matemática, hay mucha gente que ha renunciado a entender el mundo que le rodea, tanto el natural como el artificial; ¿cómo y por qué brilla el Sol, llueve, hierve el agua, vuelan los pájaros, etc? ¿cómo es posible que un tren de alta velocidad, de muchas toneladas de peso, se mueva impulsado por una "corriente" invisible? ¿cómo funciona la iluminación LED? etc, etc, etc. Es por esto que considero que deberíamos disponer de más ciencia y técnica divulgativa, explicando las cosas con rigor pero sin aparato matemático complicado, usando modelos simples. Los modelos son construcciones mentales que nos ayudan a entender un ente real; hay modelos que incorporan mucha matemática, otros en cambio son muy visuales y apelan a la lógica y a la imaginación. Creo que nos falta una buena producción divulgativa usando un mínimo de complejidad y un máximo de claridad; incluso me atrevo a decir que podrían usarse con éxito tales obras en entornos académicos, ya que suele pasar que se le dan al estudiante modelos muy matemáticos, de forma que se pierde en los detalles sin llegar a entender realmente el todo (la famosa frase de los árboles que impiden ver el bosque).

Recientemente he conocido el caso de un estudiante de una nueva modalidad de bachillerato (denominado internacional) que se suponía iba a ser innovador en el terreno pedagógico, pero a la hora de la verdad ha resultado ser más de lo mismo: pesados libros de texto y explicaciones del profesor en la pizarra; la novedad que he visto estriba en la complejidad: el estudiante de primer curso ha de enfrentarse, en la asignatura de Física, a la Relatividad Restringida, cosa que si se hiciera de modo divulgativo estaría muy bien, pero es que trabajan con transformaciones de Lorentz, algunas con demostraciones matemáticas incluidas, e incluso con diagramas de Minkowsi del espacio-tiempo; en vez de intentar hacer entender los fundamentos, se introduce más aparato matemático en el temario, más complejidad. Creo firmemente que este no es el camino correcto. Puede aprenderse mucha Física (o ciencia en general) sin complicaciones técnicas matemáticas, que pueden dejarse para los especialistas interesados en los detalles.

Ejemplo: el movimiento de fluidos por conductos es una rama de la Física y de la Ingeniería que produce ecuaciones realmente complicadas, teniendo un buen número de casos sin resolver, que se han de tratar con simulación por ordenador. Incluso casos simples como el flujo de un líquido por una tubería ancha, paralela al suelo, a baja velocidad, ya necesita usar ecuaciones que quedan fuera del entendimiento del lector no especialista (ecuaciones de Navier-Stokes).

Modelo para el flujo de fluidos. Pero esto no quiere decir que no seamos capaces de entender el detalle de lo que sucede en ese flujo, siempre que no queramos predecir exactamente, en el espacio y en el tiempo, las medidas de presión, velocidad, etc del fluido. Podemos usar un modelo simple: el imaginar que el líquido está compuesto por unas pequeñas esferas, invisibles a simple vista; tales esferas son muy fuertes, son casi incompresibles, no ceden bajo presión, pero pueden rodar y deslizar, entre ellas y con las paredes del recipiente; al hacerlo, se producen unos rozamientos, unas pérdidas de energía, debido a la viscosidad del líquido.

Un líquido en movimiento en una tubería recta, según el modelo de esferas; hay una presión P que mueve el fluido a la derecha, y unas resistencias Fr debido al roce del fluido con las paredes y Fv debido al roce entre las esferas (viscosidad del fluido), éste último es mucho menor que Fr, por lo que las velocidades de las esferas no son las mismas: son mayores en el centro de la tubería, y menores cerca de las paredes

En la figura anterior vemos un esquema de lo que sucede al aplicar una presión a un fluido usando el modelo de esferas; las velocidades de éstas no son todas iguales pues los rozamientos son mayores en las paredes que entre esferas, por lo que las velocidades varían de forma continua entre un máximo en el centro de la tubería y un mínimo cerca de las paredes.

Una presión perpendicular a la superficie del líquido no produce ningún cambio en él, ya que estamos presionando las esferas intentando aplastarlas, en cambio una presión tangencial desplaza las esferas, las hace rodar, y así el fluido en conjunto se mueve.

Izquierda: una fuerza tangencial, si no hay paredes que lo impidan, hace que las esferas rueden entre sí: el líquido se desplaza. Derecha: una fuerza perpendicular a la superficie de un líquido confinado no produce ningún movimiento, las esferas no pueden rodar libremente

Las esferas pueden rodar una contra las otras, o deslizar; en el primer caso, rodamiento, la pérdida por fricción no existe o es casi cero, en el caso de deslizamiento sí tenemos fricción apreciable, relacionada con la viscosidad del fluido. Cuando un fluido no puede moverse por estar confinado en un recipiente, ejercerá una presión sobre sus paredes.

La fuerza F sobre una esfera se transmite a las esferas próximas perpendicularmente a las superficies de separación entre ellas. Las esferas que tocan las paredes del recipiente transmiten esas fuerzas a las paredes, las cuales han de ejercer una fuerza resultante R sobre el líquido para mantenerlo confinado, si esa fuerza R es demasiado grande para el material del recipiente, éste se deformará y/o romperá debido a la presión excesiva del líquido.

Usando el modelo de esferas es fácil entender el principio de Pascal, tratado en todos los textos pre-universitarios de forma enunciativa, "la presión ejercida en cualquier lugar de un fluido encerrado e incompresible se transmite por igual en todas las direcciones en todo el fluido", se añaden fórmulas matemáticas, y se hacen problemas para ayudar a "entender" el principio, pero de hecho no suele explicarse por qué sucede.

Principio de Pascal: las esferas confinadas se transmiten la fuerza F, aplicada por un émbolo a la izquierda, entre sí y a las paredes del recipiente, el cual ha de responder con fuerzas opuestas para mantener el liquido confinado; al haber más esferas en la parte derecha, cada una ejerce la misma fuerza transmitida, y la fuerza total sobre el émbolo es mayor (en la figura, el doble) que la de la izquierda. No hay ninguna "magia en este aumento de fuerza aplicada, pues es el propio recipiente el que la realiza (suma de todas las contribuciones de las paredes).

Estoy convencido de que exponer la ciencia de forma comprensiva pero rigurosa, con ayuda de ilustraciones y animaciones, complementada con prácticas de laboratorio, y eludiendo en lo posible el uso de matemáticas, tendría un resultado positivo en la comprensión del estudiante e incluso podría aumentar el número de aspirantes a científicos, pues a todo el mundo le gusta entender de verdad el mundo que nos rodea.

Como último ejemplo, mencionaré el recurso didáctico del cómic: una forma amena, sencilla y no obstante rigurosa para estudiar historia, economía, ciencias, etc; en la ilustración vemos una página del cómic sobre economía Economix (fuente: http://economixcomix.com/), he de decir que me ayudó a entender la Economía mundial de forma sencilla y a la vez con un detalle que no había conseguido leyendo decenas de blogs y algún que otro libro de texto.

Economix: un (excelente) cómic sobre Economía

Conocimiento científico y realidad

Metodología científica y predicciones

Simplificando, la metodología científica la podemos sintetizar en un diagrama en el cual C son construcciones mentales (modelos) y P son percepciones dadas por la experiencia. Partimos de una percepción P1 que relacionamos con un concepto, el cual a su vez se relaciona con otros conceptos, de forma que seguimos una cadena conceptual, hasta que llegamos a enunciar una predicción relacionada con una percepción P2. 

 Por ejemplo, comenzamos con la percepción de un objeto que cae que será P1. Lo relacionamos con el concepto “aceleración”, que a su vez conecta con el concepto “aceleración de la gravedad”. Tomamos la aceleración de la gravedad como constante debido que la altura inicial del objeto es pequeña. Usando las ecuaciones de la dinámica de Newton calculamos su velocidad final y el hacemos la predicción del tiempo que tardará en llegar al suelo, que se relaciona con la percepción de la realidad P2. La construcción C simboliza todos los conceptos que hemos usado.

Algunos conceptos de C están totalmente incluidos en él, mientras que otros los están parcialmente; es el caso de considerar constante la aceleración de la gravedad cuando realmente es variable y depende de la distancia a la Tierra. También hay algunos conceptos que quedan totalmente fuera en esta construcción C, como puede ser la gravitación de la teoría de la relatividad general.

Para realizar predicciones científicas necesitamos pues los datos empíricos proporcionados por P1 y el conocimiento racional dado por las construcciones mentales.

Metodología científica y validación de teorías

El mismo esquema nos sirve para mostrar el proceso de validación de una teoría científica: la aceptamos provisionalmente y se comprueba que la predicción P2 se ajusta a los datos observados, confirmando o refutado la teoría.

El conocimiento científico se forma validando teorías. La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿cuantas comprobaciones son necesarias para aceptar una teoría? Pues la verdad es que en general los científicos no suelen ser muy estrictos en éste punto en concreto, frecuentemente unas cuantas observaciones cruciales son suficientes. Esto es así debido a que hay otro elemento a considerar, que es las relaciones establecidas entre los elementos de una teoría, su coherencia lógica, e incluso otras consideraciones más metafísicas como la “elegancia” o la “belleza” de la teoría. 

Un ejemplo bien conocido es la verificación de la teoría de la relatividad general: la teoría predecía una desviación de los rayos de luz en presencia de campos gravitatorios, que fue confirmada midiendo el desplazamiento aparente de una estrella en un eclipse solar. Sólo esta única comprobación se tomó como confirmación, siendo esto así en buena parte porque esta teoría se reconoce como una de las más bellas de la historia de la ciencia. Evidentemente de forma posterior se realizaron muchas otras verificaciones.

La realidad según la ciencia

La ciencia define una realidad dinámica, que crece y se modifica según nuestro conocimiento. Hemos establecido que los elementos que maneja son:

• datos o percepciones
• reglas de correspondencia entre datos y modelos
• modelos

Las reglas de correspondencia relacionan datos y modelos. Los modelos han de ser validados empíricamente, y ser consistentes lógicamente; también se pide que cumplan ciertos requisitos “metafísicos”. Entonces la ciencia va encajando nuevos modelos en los ya existentes. Nos preguntamos ahora, ¿son reales los modelos?, ¿o solo podemos considerar como reales los datos? ¿Y que podemos decir de las reglas de correspondencia?

Realidad de datos y modelos

Es difícil separar los datos de los modelos, ya que se complementan. Para verlo, consideremos el modelo atómico de la materia.

Tal como fue imaginado por Demócrito, no se apoyaba en ningún dato sino más bien en argumentos filosóficos.

En cambio el modelo del átomo de Rutherford se enunció para explicar los datos experimentales de la época, los cuales indicaban que había una concentración de carga positiva en una pequeña área esférica (el núcleo) mientras que la carga negativa estaba dispersa a su alrededor. Este modelo fue una buena representación de la realidad durante un tiempo.

Cuando los experimentos se perfeccionaron tuvimos datos más precisos, y el modelo de Rutherford dejó de ser útil (en el esquema veríamos que la predicción para P2 deja de coincidir con el valor de P2). El siguiente modelo fue el átomo de Bohr en el que los electrones describían órbitas alrededor del núcleo,

Posteriores mediciones más precisas llevaron a revisar el modelo de nuevo para llegar al modelo actual de orbitales del átomo, que ahora mismo es lo más cercano a la realidad que tenemos, pero ¿será definitivo? ¿Hasta que punto podemos considerarlo "real"?

Podríamos pensar que las entidades físicas, permanentes, son independientes de la teorías, que van cambiando. Pero vemos que en la ciencia los datos tienen una precisión determinada, y esa precisión condiciona los modelos explicativos. Y también sucede que los modelos proporcionan predicciones de datos más precisos, o incluso de datos que pueden ser difícilmente verificables, como por ejemplo las ondas gravitatorias. ¿Son reales esos datos no verificados predichos por teorías confirmadas? No parece ser muy consistente decir que los datos son más reales que los modelos. Entonces podemos decir que nuestro conocimiento de las entidades físicas, las entidades mismas y los modelos de las entidades están entrelazados.

Por otro lado los idealistas de la ciencia creen que todos los modelos van evolucionando hacia unos modelos definitivos que expresaran la auténtica realidad, de forma que ya no serán necesarias posteriores revisiones; esto es indemostrable, y de todos modos no es importante para el desarrollo científico.

Realidad y reglas de correspondencia

¿Son reales los números, o son abstracciones mentales sin existencia real? Un número es una propiedad observable de una clase de objetos. El símbolo numérico (denominado numeral) es el objeto abstracto que se corresponde con una propiedad real de un objeto. Por ejemplo, una caja contiene tres lápices; el objeto caja tiene como propiedad observable el contener ese número de objetos, que relacionamos con el numeral “3”.

¿Podemos decir entonces que los números son reales siempre que estén en correspondencia con una propiedad de un objeto real? Como la estimación del número de partículas del universo es del 10⁸⁰, los números superiores a ese valor no serian reales; en particular los infinitos manejados en matemáticas serían sólo construcciones mentales.

De igual modo podemos razonar respecto a otras construcciones matemáticas. Los grupos de simetría matemáticos parecen ser entidades abstractas, pero las estructuras cristalinas de la naturaleza siguen esos grupos, así que hay una correspondencia, y podemos considerarlos reales en el sentido antes discutido.

Resumen

La epistemología es la doctrina de los fundamentos y métodos del conocimiento científico: analiza los criterios por los cuales se justifica el conocimiento. En este artículo hemos hablado de epistemología sin mencionarla explícitamente: la ciencia realiza predicciones que pueden usarse para fines prácticos y también para validar teorías científicas, en las cuales también valoramos su belleza, simplicidad, y otras cualidades “inmateriales”. Vemos como se forma el conocimiento científico validando teorías, produciendo predicciones, obteniendo nuevos datos más precisos y revisando de nuevo las teorías. Por último, vemos qué podemos considerar “real” en términos científicos.