En el anterior post hablamos de las trayectorias en el espacio-tiempo. En éste trataremos sobre el tiempo como coordenada, más específicamente, intentaremos explicar que significado tiene en Relatividad el considerar el tiempo como un número imaginario. Para ello comenzamos con un breve repaso de los números complejos, para el lector no iniciado, pasamos luego a la Relatividad Restringida (transformación de Lorentz y espacio-tiempo complejo de Minkowski) y terminamos con el tiempo imaginario en la Relatividad General.
Números reales y números complejos
Recordemos que los números reales representan un punto en una línia continua. Estan formados por la unión de los números racionales (aquellos que pueden expresarse como un cociente de enteros a/b) con los los números irracionales, que son aquellos que no pueden expresarse como un cociente, y en cambio tienen una expansión decimal a-periódica:
Ejemplos de racionales: 5/6, -1/2, 0, ...
Ejemplos de irracionales: 71/3 =1,91293118277239..., π
= 3,14159265358979
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Recta
real, mostrando algunos enteros e irracionales
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Una
propiedad fundamental de los reales es que el cuadrado de un número
real no puede ser un número negativo: x² > 0 , y si x² = 0 és
que x = 0.
Por
contraste, definimos los números
imaginarios como
aquellos que al elevarlos al cuadrado resulta un número negativo, z²
< 0. Para cada número real podemos asociar un número imaginario:
x
real <=> x·i imaginario, donde i² = -1 , es decir, i × i = -1
El
número i se llama la unidad
imaginaria.
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| Plano complejo: reales en eje horizontal, imaginarios en eje vertical |
Combinando
los reales y los imaginarios en un par (x, y) donde x es real e y es
imaginario, obtenemos un número complejo z = (x,y), que podemos
representar gráficamente en el plano usando el denominado diagrama
de Argand, en el cual
el eje horizontal representa la recta real, y el eje vertical la
recta imaginaria.
Los
números complejos tienen muchas propiedades interesantes, pero para
nuestros propósitos nos fijaremos en dos.
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| Módulo y argumento de z |
La
primera es que cada complejo z = (x,y) tiene asociado un módulo r
tal que r² = x² + y², y también un argumento: el ángulo θ con el eje real.
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| Producto de complejos |
La
segunda es que cuando multiplicamos dos complejos z*w con módulos r
y s argumentos A
y B respectivamente, obtenemos un complejo con módulo r*s y argumento A
+ B
.
Esto
puede verse como que el complejo w transforma al complejo z
multiplicando su módulo y girándolo un ángulo B.
Transformación de Lorentz
Volvamos
al espacio-tiempo, concretamente al definido por la Relatividad
restringida. Es sabido que en el origen de la teoría está la observación
experimental de que la velocidad de la luz c es la misma en cualquier
sistema de referencia (ver por ejemplo los experimentos de
Michelson-Morley).
Para
relacionar las coordenadas de un punto en dos sistemas de referencia
que estan en movimiento uno respecto al otro, de forma que se cumpla
la constancia de c, es necesario imponer que el tiempo no es
absoluto, sino que es diferente en cada referencia. La transformación
de Lorentz cumple con los requisitos. En la figura vemos el caso de
dos sistemas de referencia que se mueven paralelamente en la
dirección del eje x con velocidad v.
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| Sistemas de referencia en movimiento relativo |
Debido
a que el tiempo no es absoluto para todos las referencias, sino que
depende de ellos, la transformación de Lorentz opera en el
espacio-tiempo, con coordenadas (x,y,z,t). Su expresión para el caso de referencias que se mueven paralelamente en la
dirección del eje x con velocidad v es:
Espacio-tiempo
de Minkowski: tiempo imaginario
Vamos
a tratar de forma diferenciada a la coordenada temporal; supongamos
que el eje temporal no contiene números reales, sino imaginarios.
Para simplificar, sólo nos fijaremos en una dimensión espacial,
digamos x. Entonces los puntos del espacio-tiempo (x,t) son números
complejos. Además, fijaremos la unidad de longitud del eje t igual a
c, de forma que para un tiempo t, el punto correspondiente del eje t
será ict, donde i: unidad imaginaria.
¿Que
ventajas tiene esta suposición? Sea el suceso z=(x,t) en la
referencia 1; el mismo suceso en la referencia 2 tendrá coordenadas
z'=(x',t'), y vendrà dada por la transformación de Lorentz. Se
cumplen las siguientes propiedades:
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| Sucesos en el espacio de Minkowski |
En
la figura vemos un mismo suceso representado en tres referencias
distintas, resultando tres puntos A, A' y A'', con el mismo módulo
invariante s.
Algebraicamente,
podemos enunciar que la transformación de Lorentz es una
transformación ortogonal en el espacio de Minkowski.
Además,
si aplicamos dos transformaciones L y L' a un suceso z, L'(L(z)),
equivaldrá a girar el suceso un ángulo a + b, siendo a, b los ángulos
de giro de L y L' respectivamente. Una aplicación práctica de esta
propiedad es la deducción de la ley de adición de velocidades de
Einstein, que usando complejos y ángulos de giro no ofrece dificultad:
donde
u, u' son las velocidades de un móvil en la referencia 1 y 2, que se
mueven una respecto a otra con velocidad v. En la siguiente tabla
vemos el resultado de aplicar esta ley, para una velocidad v =0,5c, i
distintas velocidades u' (en múltiplos de c). Contrariamente a lo
que nos dice la intuición, u no es igual a la suma de v + u',
excepto para velocidades muy inferiores a c. La velocidad límite en
todo caso nunca supera a c.
Realmente,
¿qué significa un tiempo imaginario?
Podemos
pensar que el suponer un tiempo imaginario es un mero artificio
matemático útil para la deducción de fórmulas. ¿O bien tiene un
significado físico? Creo que en Física siempre podemos aprender
algo de la realidad si observamos atentamente el aparato matemático
utilizado. En el caso de los números complejos, las propiedades que
nos interesan son la rotación y la periodicidad.
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| Potencial e intensidad alternas. |
La
utilización de magnitudes complejas en Física es frecuente, pues es
conveniente usarlas cuando el fenómeno en estudio presenta
variaciones periódicas.
Por ejemplo en
corriente alterna la resistencia, denominada impedancia, al paso de
la corriente eléctrica en un circuito se considera que tiene dos
componentes, una real y otra imaginaria, z = a + ib, siendo a la
parte real del número complejo y b su parte imaginaria. Con ello
resulta que la diferencia de potencial y la intensidad de corriente
que circula no son constantes, sino que presentan oscilaciones
periódicas.
Los
fenómenos ondulatorios también se benefician de las propiedades
de los complejos; la ecuación del movimiento de una onda plana es:
Observemos
la unidad imaginaria i en el exponente, que indica que la amplitud u
es un número complejo. También en Mecánica Cuántica la
probabilidad de que un objeto cuántico se encuentre en un punto del
espacio-tiempo se expresa mediante una ecuación compleja:
De
nuevo, observemos la unidad
imaginaria i en el primer término del miembro de la derecha.
Así
pues, concluimos que los números complejos son útiles para expresar
oscilaciones periódicas así como giros de variables en el espacio.
Volvamos a la Relatividad.
Alternativa:
tiempo real, métrica no euclídea
Aunque
inicialmente tuvo éxito la introducción del espacio complejo de
Minkowski para trabajar con las ecuaciones relativistas, rápidamente
aparecieron nuevas tendéncias, entre las cuales la más aceptada fue
el volver a un espacio-tiempo real, pero abandonando el espacio
euclídeo. Recordemos que en un espacio euclídeo la ruta más corta
entre dos puntos es el segmento de recta que los une, y la distancia
entre esos dos puntos viene dada por la longitud del segmento, que es
lo que se denomina métrica Euclídea. Pero al introducir la
coordenada tiempo, y debido a la forma de la transformación de
Lorentz, forzosamente hemos de abandonar la métrica Euclídea en
favor de métricas más generales, como la métrica de Riemann. El
espacio de Minkowski, aunque complejo, es “plano”, no tiene
curvatura intrínseca, es Euclídeo.
Además,
como es sabido, la Relatividad General es básicamente una teoria
geométrica que utiliza un espacio-tiempo curvado por la gravedad,
por lo que el uso de métricas no Euclídeas es una forma de unificar
las dos teorias, la Relatividad Restringida y la General.
Más
modernamente resurgió el uso del tiempo complejo en Relatividad
debido principalmente a los trabajos de Stephen Hawking en
Relatividad Cuántica y en el estudio de singularidades
espacio-temporales: los agujeros negros y el big-bang. Lo vemos en el siguiente apartado.
Tiempo
imaginario y agujeros negros
Basándose
en consideraciones termodinámicas, y usando las ecuaciones de la
Relatividad General, Hawking y otros demostraron en 1973 que un
agujero negro tenia una temperatura (muy baja, de alrededor de 10⁻⁶
grados Kelvin), la cual cosa implica que debe radiar algo de energia,
al contrario de lo que se creia hasta entonces: que sólo captaba
materia y energia, sin emitir nada en absoluto.
Poco
tiempo después, en 1976, Gibson y Perry utilizaron números
complejos para resolver la ecuación de Einstein de la Relatividad
General,
Para el caso de un agujero negro,
vieron
que, por consideraciones de regularidad de la solución, y otras
consideraciones termodinámicas, el tiempo complejo, y por tanto periódico, tenia
un período T que... ¡era precisamente la temperatura de Hawking del
agujero negro!
Desde entonces se ha hecho habitual el uso del tiempo
imaginario en Cosmología Cuántica, tanto en el estudio de la Física
de los agujeros negros como en la del Big-Bang inicial. Así, en la
actualidad, encontramos consideraciones como:
“Si
hacemos la integral de camino en un espacio-tiempo plano con un
período T en la dirección del tiempo imaginario, obtenemos la
función de partición de la radiación de cuerpo negro de la
singularidad.”
La
Naturaleza del espacio y del tiempo, capítulo 3. Hawking-Penrose.
Espero
que después de la lectura de este post, la afirmación anterior sea
un poco menos oscura para los no iniciados, ¡aunque sea sólo en la
parte que menciona el tiempo imaginario!
Bibliografia
